有效数字、准确数字、可靠数字辨析

有效数字、准确数字、可靠数字辨析
河北唐山师专魏日升
这“三种数字”在不同的学术领域的书籍中有不同的定义和使用方法．关于有效数字的定义经初步归纳有五种之多．如：
①有效数字等于准确数字加可疑数字，或可靠数字加可疑数字；
②有效数字为测量结果准确的位数加上不准确的一位，或可靠的位数加上可疑的一位；
③某近似数的最后一位是测量误差所在的数位，那么在这近似数里，从第一个不是零的数字起到这个数的末位止的所有数字都叫有效数字；
④有效数字是最后一位数的误差小于5的近似数；
⑤有效数字就是准确数字，等等．
究竟这种种说法是否都准确．究竟什么叫有效数字？有效数字、准确数字和可靠数字这“三种数字”之间究竟有什么异同？有什么联系？
1．关于有效数字
有效数字是反映近似数的．它的近似程度是以误差范围的大小来表示的．所以讨论物理测量中的有效数字问题总要与误差的性质，量具、仪表的精度等联系起来．误差有随机误差和系统误差，量具仪表有“精密度”、“准确度”和“精度”的描述．那么有效数字如何反映与这些概念的联系呢？现举例说明：
（1）用最小分度为1mm的米尺（即精密度为1mm）测得某物的长度为
63.8mm．其中63mm是从米尺中直接读出的，所以为可靠的，而0.8mm是估计读出的，可能是0.7mm，也可能是0.9mm，认为是可疑的．尽管是可疑的，但对测量结果来说，读出它要比不读出它精确些，所以它也是有意义的，是一位有效数字．精密度为1mm的米尺，其读数的误差范围一般定为±0.1mm，因此测得该物长度可用63.8±0.1mm表之．在相同条件下的多次测量中，误差的大小具有偶然性，一般说每次测量误差总是在精密度的±0.5个单位中重复出现，因而常视米尺的最大误差范围为±0.5mm．这说明用精密度为1mm的米尺测得的有效数字是反映随机误差的性质．象天平、游标卡尺、水银温度计、福廷式气压计等等也均如此．
（2）用“准确度”为2.5级、量程为0.6A的电流表测量电流，误差范围则由电表的基本误差决定．如该表的最大绝对误差为△I=k％×I m=±0.025×0.6A=
±0.015A=±0.02A．若测得I=0.56±0.01A，是两位有效数字，显然，其误差范围是由电表的准确度级别米决定的．所以电表测得的有效数字是反映系统误差的性质．电压表、多用表、讯号发生器、示波器、停表等也都是如此．
（3）用J2362型电阻箱，测量范围为0—9999Ω，准确度级别为0.1级（即其电阻值的相对误差为0.1％）．但在电阻箱上读得的任何一个数都是四位有效数字．如读得9000Ω和9.000Ω均为四位有效数字．这是为什么？因为有效数字的位数要由绝对误差所在位数决定．如：
R1=9000Ω
其绝对误差：△R=R1×k％
=9000×0.1％＝9.000Ω
∴R1=9000±9Ω（四位有效数字，误差所在的一位，在个位上）．
R2=9Ω．
其绝对误差：△R2=R2×k％＝9×0.1％＝0.009Ω
那么，R2=9.000±0.009Ω（四位有效数字，误差所在的一位，在千分位上）．
可见，在物理测量中对有效数字的理解就要从误差的性质和量具仪表的精度方面去理解．一般说，只要没有说明准确度等级的量具仪表就可视为随机误差起主导作用，而系统误差可略去不计．这样测得的有效数字反映量具仪表的精密度和随机误差的性质．同样，若已注明量具仪表的准确度等级，就可视系统误差起主导作用，随机误差可略去不计，这样测得的有效数字自然反映量具仪表的准确度和系统误差的性质．
2．关于准确数字
准确数字与准确数不同．准确数是反映某一量真正的数值，即与实际完全符合的数，而准确数字则是表示近似数的．其定义是：“某一近似数的绝对误差不大于末位数的半个单位，那么在这个近似数里从第一个不为零的数字起到这个近似数的末尾为止的每一个数字都叫准确数字”．显然，准确数字就是误差范围为末位数±0.5个单位的有效数字．我们常说取准确到某位数字，指的就是误差范围不超过那位数的半个单位的有效数字．这与数字上的四舍五入进位法是同一的．例如，某近似数为0.136，我们取准确到小数点后第二位，通过四舍五入则得0.14，其误差为±0.005，具体表示可以为：0.140±0.005，这就是用准确数字所表示的近似数．结合到测量上，如仍以米尺测得某物体长为63.8mm为例，它是用绝对误差不超过量具精密度的±0.5个单位表示的有效数字．若也用准确数字表示，应写成64.0±0.5mm．即是一个由准确到毫米的有效数字表示的近似数．
3．关于可靠数字
可靠数字与可靠数不同．可靠数是指能直接读出的数，它是表示近似数的一部分．可靠数字是有严格定义的近似数，其定义是：“某近似数的绝对误差不超过它的最末一位数的一个单位，那么在这个近似数里，从第一个不是零的数字起到这个数末位止的所有数字都叫做可靠数字”．再以前面用米尺测得物体长为63.8mm为例，若用可靠数字来表示，则应为63±1mm，这个6和3是可靠数字．即在毫米以下的那位数不必读出．根据有效数字的定义也可理解为两位有效数字．这与数字上的去尾法和收尾法是一致的．
综上所述，不难看出，上述“三种数字”都是表示近似数的一套科学记数法．只是根据不同情况和需要来截取不同误差范围而规定的三个名词．这就是“三种数字”的区别和联系．在物理测量中，通常提的有效数字是指绝对误差为量具精密度±0.1个单位的有效数字；准确数字是绝对误差不超过量具精密度±0.5个单位的有效数字；可靠数字是绝对误差不超过量具精度1个单位的有效数字．事实上，在物理测量中也经常运用“三种数字”．在一般情况下的读数采用绝对误差为量具精密度±0.1个单位的有效数字．但根据量具的精密度和对被测量的精确度要求不高等原因，也常用准确数字和可靠数字记数．如使用的仪器和量具的精密度较高，一般就采用准确数字记数法，不再仔细读出估读数字，即用准确数字记数法．又如被测的量较大，对测量的精确度要求不高或因光线不充足原因就可采用可靠数字记数法．如用米尺测几米长的物体时，一般读到毫米数量级就完全可以了．所以在测量中要对具体问题作具体分析，灵活运用，才能收到好的效果．
在弄清有效数字、准确数字和可靠数字的区别和联系的基础上，让我们分析一下，前面所列举的那些有效数字的各种定义和说法是否恰当．我们认为列举的五种说法只有第三种说法是正确的，其余说法都不够确切和严格．第一种说法，是把有效数字和准确数字、可靠数字的概念混淆了．因为可靠数字已有明确定义，如上述63±1mm，63中的“3”已是可疑的了，那么在“3”下面再取一位可疑数字，自然就没有意义了．第二种说法没有直接提出准确数字和可靠数字，只提“准确的位数”、“可靠的位数”所以比第一种说法似乎要好一些，但也不够确切．至于第四和第五种说法显然是不恰当的．而第三种说法之所以正确，是因为有效数字的最后一位是测量误差所在的一位，也正是有效数字一位可疑数字的位数．这样，就把量具仪表的精度、测量误差和被测对象联系起来，充分反映近似数记数法的普遍意义．
出师表
两汉：诸葛亮
先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。

诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。

宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。

若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。

侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。

将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。

亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。

先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。

侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。

臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。

先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。

后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。

先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。

受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。

今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。

此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。

至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。

愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。

若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。

臣不胜受恩感激。

今当远离，临表涕零，不知所言。