2007年高考数学试题分类汇编(立体几何)

2007年高考数学试题分类汇编（立体几何）一．选择题1．(2007安徽·文)设n m l ,,均为直线,其中n m ,在平面”“”“”“,n l m l l l a ⊥⊥⊥⊥且是是则内αα的（ ）(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件2．(2007安徽·文)把边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角,折成直二面角后,在A ,B ,C ,D 四点所在的球面上,B 与D 两点之间的球面距离为（ ） (A)22π(B)π(C)2π (D)3π 3．(2007北京·文) 平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） Ａ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥Ｂ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ Ｄ．存在两条异面直线a b a a b αβα⊂，，，∥，∥4．(2007福建·文) 如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E F G H ，，，分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（ ） Ａ．45Ｂ．60Ｃ．90Ｄ．1205．(2007广东·文) 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l nB ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥ C. 若,l n m n ⊥⊥，则//l m D ．若,//l l αβ⊥，则//αβ6．(2007湖北·文) 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为棱11AA BB ，的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(01)AG λλ=≤≤．则点G 到平面1D EF 的距离为（ ）7．(2007天津·文)设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题A FD BCG E 1BH1C1D1A是（ ）A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥C ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥8．(2007湖南·文) 如图1，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，E F ，分别是1AB ，1BC 的中点，则以下结论中不成立．．．的是（ ） A ．EF 与1BB 垂直 B ．EF 与BD 垂直 C ．EF 与CD 异面D ．EF 与11AC 异面9．(2007江西·文) 四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且2CD =，AD =在外接球面上两点A B ，间的球面距离是（ ） Ａ．π6Ｂ．π3Ｃ．2π3Ｄ．5π610．(2007全国Ⅰ·文)如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）Ａ．15Ｂ．25Ｃ．35Ｄ．4511．(2007全国Ⅱ·文)已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ） ABCD12．(2007陕西·文)Rt △ABC 的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面ABC 的距离是 （A ）5 （B ）6 （C ）10 （D ）12 (2007四川·文)如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 (A ）BD ∥平面CB 1D 1 (B)AC 1⊥BD(C)AC 1⊥平面CB 1D 1 (D)异面直线AD 与CB 所成的角为60° 二．填空题ABC 1A1C1D1BDE F1A1D1C 1BDBCA13．(2007天津·文)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．14．(2007全国Ⅰ·文)正四棱锥S ABCD -S ，A ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的体积为_________．15．(2007全国Ⅱ·文)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．16．(2007江西·文) 如图，正方体1AC 的棱长为1，过点作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ．有下列四个命题Ａ．点H 是1A BD △的垂心 Ｂ．AH 垂直平面11CB DＣ．二面角111C B D C --Ｄ．点H 到平面1111A B C D 的距离为34其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号） 三．解答题17．(2007广东·文) 已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主 视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视 图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD ;(1) ()1864643V =⨯⨯⨯= (2) 该四棱锥有两个侧面V AD. VBC 是全等的等腰三角形,且BC 边上的高为1h == 另两个侧面V AB. VCD 也是全等的等腰三角形,AB 边上的高为 25h ==因此 112(685)4022S =⨯⨯⨯⨯=+18．(2007北京·文) 如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB的中点．（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）求异面直线AO 与CD 所成角的大小．解法一：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥， BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角， CO BO ∴⊥，又AO BO O =，CO ∴⊥平面AOB ， 又CO ⊂平面COD ．∴平面COD ⊥平面AOB ．（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DEAO ∥， CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．在Rt COE △中，2CO BO ==，112OE BO ==，CE ∴=又12DE AO == ∴在Rt CDE △中，tan CE CDE DE ===∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为arctan3．解法二：（I ）同解法一．OCADBOCADBE（II ）建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则(000)O ，，，D ，(00OA ∴=，，(CD =-，cos OA CD OACD OA CD∴<>=，322==． ∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为 19．(2007福建·文) 如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小．解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ． ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AO ∴⊥平面11BCC B ． 连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为1BC CC ，的中点， 1B O BD ∴⊥，1AB BD ∴⊥．在正方形11ABB A 中，11ABA B ⊥， 1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设1AB 与1A B 交于点G ，在平面1A BD 中，作1GF A D ⊥于F ，连结AF ，由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A BD ． 1AF A D ∴⊥，xABD1A1C1BC ABCD1A 1C1BOFGAFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．在1AA D △中，由等面积法可求得AF =，又112AG AB ==sin 4AG AFG AF ∴===∠． 所以二面角1A A D B--的大小为arcsin解法二：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ． ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥． 在正三棱柱111ABC A B C -中， 平面ABC ⊥平面11BCC B ，AO ∴⊥平面11BCC B ．取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA 的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B ，，，(110)D -，，，1(02A ，(00A ，1(120)B ，，， 1(12AB ∴=，，(210)BD =-，，，1(12BA =-．12200AB BD =-++=，111430AB BA =-+-=， 1AB BD ∴⊥，11AB BA ⊥． 1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设平面1A AD 的法向量为()x y z =，，n ．(11AD =-，，1(020)AA =，，． AD ⊥n ，1AA ⊥n ，100AD AA ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，，n n 020x y y ⎧-+=⎪∴⎨=⎪⎩，，0y x =⎧⎪∴⎨=⎪⎩，．令1z =得(=，n 为平面1A AD 的一个法向量．由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A BD ，1AB ∴为平面1A BD 的法向量．cos <n，1113222AB AB AB ->===n n ． ∴二面角1A A D B --的大小为 20．(2007安徽·文) 如图，在三棱锥V ABC -中，VC ABC ⊥底面，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，π02VDC θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭∠．（I ）求证：平面VAB ⊥平面VCD ；（II ）试确定角θ的值，使得直线BC 与平面VAB 所成的角为π6．解法1：（Ⅰ）AC BC a ==∵，ACB ∴△是等腰三角形，又D 是AB 的中点， CD AB ⊥∴，又VC ⊥底面ABC ．VC AB ⊥∴．于是AB ⊥平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ） 过点C 在平面VCD 内作CH VD ⊥于H ，则由（Ⅰ）知CD ⊥平面VAB ． 连接BH ，于是CBH ∠就是直线BC 与平面VAB 所成的角．依题意π6CBH ∠=，所以在CHD Rt △中，sin 2CH a θ=； 在BHC Rt △中，πsin62a CH a ==， sin 2θ=∴． π02θ<<∵，π4θ=∴． 故当π4θ=时，直线BC 与平面VAB 所成的角为π6． 解法2：（Ⅰ）以CA CB CV ，，所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)(00)(00)000tan 222a a C A a B a D V θ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，于是，tan 22a a VD θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，022a a CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，(0)AB a a =-，，．从而2211(0)0002222a a AB CD a a a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭，，，，··，即AB CD ⊥．同理2211(0)tan 0022222a aABVD a a a a a θ⎛⎫=--=-++= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，··，即AB VD ⊥．又CDVD D =，AB ⊥∴平面VCD ．又AB ⊂平面VAB ．∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB VD ==，··n n ．得0tan 0222ax ay a a x y az θ-+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，．可取)θ=n ，又(00)BC a =-，，，于是πsin62BC BC a θ===n n ···， 即sin 2θ=π02θ<<∵，π4θ∴=．故交π4θ=时，直线BC 与平面VAB 所成的角为π6． 解法3：（Ⅰ）以点D 为原点，以DC DB ，所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)000000222D A a B a C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，0tan 22V a θ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，，，于是0tan 22DV a θ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，，，002DC a ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，，，(00)AB =，．从而(00)AB DC =，·0002a ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，，·，即AB DC ⊥．同理(00)0tan0AB DVθ⎛⎫==⎪⎪⎝⎭，，·，即AB DV⊥．又DC DV D=，AB⊥∴平面VCD．又AB⊂平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD．（Ⅱ）设平面VAB的一个法向量为()x y z=，，n，则由00AB DV==，··n n，得tan0θ=⎨+=⎪⎩，．可取(tan01)nθ=，，，又0BC a⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，，，于是tanπ2sin62aBCBC aθθ===nn···，即πππsin0224θθθ=<<，，∵∴=．故交π4θ=时，即直线BC与平面VAB所成角为π6．21．(2007湖南·文) 如图3，已知直二面角PQαβ--，A PQ∈，Bα∈，Cβ∈，CA CB=，45BAP∠=，直线CA和平面α所成的角为30．（I）证明BC PQ⊥；（II）求二面角B AC P--的大小．解：（I ）在平面β内过点C作CO PQ⊥于点O，连结OB．因为αβ⊥，PQαβ=，所以COα⊥，又因为CA CB=，所以OA OB=．而45BAO∠=，所以45ABO∠=，90AOB∠=，从而BO PQ⊥，又CO PQ⊥，ABCQαβPA所以PQ ⊥平面OBC ．因为BC ⊂平面OBC ，故PQ BC ⊥． （II ）解法一：由（I ）知，BO PQ ⊥，又αβ⊥，PQ αβ=，BO α⊂，所以BO β⊥．过点O 作OH AC ⊥于点H ，连结BH ，由三垂线定理知，BH AC ⊥． 故BHO ∠是二面角B AC P --的平面角．由（I ）知，CO α⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=，不妨设2AC =，则AO 3sin 302OH AO ==． 在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=，所以BO AO == 于是在Rt BOH △中，tan 2BOBHO OH∠===． 故二面角B AC P --的大小为arctan 2．解法二：由（I ）知，OC OA ⊥，OC OB ⊥，OA OB ⊥，故可以O 为原点，分别以直线OB OA OC ，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）．因为CO a ⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=．不妨设2AC =，则AO 1CO =． 在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=， 所以BO AO == 则相关各点的坐标分别是(000)O ，，，0)B ，，(0A ，(001)C ，，．所以(3AB =，，(0AC =． 设1n {}x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，由1100n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得00z =+=⎪⎩，取1x =，得1n =．易知2(100)n =，，是平面β的一个法向量．设二面角B AC P --的平面角为θ，由图可知，12n n θ=<>，．Q所以1212cos ||||5n n n nθ===故二面角B AC P --的大小为arccos5． 22．(2007江苏)如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体，点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==，（1）求证：1,,,E B F D 四点共面；（4分） （2）若点G 在BC 上，23BG =，点M 在1BB 上，GM BF ⊥，垂足为H ，求证：EM ⊥面11BCC B ；（4分）（3）用θ表示截面1EBFD 和面11BCC B 所成锐二面角大小，求tan θ。