安徽省届高三数学月联考试题 文(含解析)

2016届皖江名校联盟高三联考(12月)
文科数学
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第I 卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4
页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
(1)设集合P={y|y =2cosx}，Q={x ∈N|y =log 5（2-x ）}，则P ∩Q= A.{x|-2≤x ≤2) B.{x|-2≤x<2} C ．{0,1,2} D.{0,1}
(2)命题p ：存在x ∈[0，2
π
]，使sinx ；命题q ：命题“∃x o ∈(0，+∞)，lnx o =x o -1”
的否定是
∀x ∈(0，+∞)，lnx ≠x-1，则四个命题(⌝p) V(⌝q)、p ∧q 、(⌝p) ∧q 、p V （⌝q ）中，正确命题的个 数为
A.l B ．2 C ．3 D ．4 (3)已知数列{a n }的首项为2，且数列{a n }满足，,则a 2018为
A.2
B. 12-
C. 1
3
D.-3 (4)在△ABC 中，已知向量AB =(2，2)，||AC =2，AB AC ⋅= -4，则∠A= A.
56π B ．4π C ．23π D. 34
π
(5)设f (x ）= sinx+ cosx ，则f '(一
4
π）=
A B C ．0 D (6)定义在[-2，2]上的函数f(x)满足（x 1- x 2）[f(x 1)-f(x 2)]>0，x 1≠x 2，且f(a 2
-a>[(2a -2)，则
实数a 的范围为
A.[一l,2)
B.[0,2)
C.[0,1)
D.[一1,1)
(7)已知函数y=Acos （ax+ϕ）+b （a>0，0<ϕ<2
π）的图象如图所示，则ϕ可能是 A ．
12
π B ．
6
π C ．
4
π D ．
3
π
(8)在平面直角坐标系中，已知函数y=log a （x-2）+4（a>0，且a ≠l ）过定点P ，且角a 的终边过点P ，则3 sin2a+cos2a 的值为
A ．
3365 B ．6365 C ．135 D ．125
(9)已知实数x ，y 满足
，若目标函数z= x+3y 的最大值为
A ．-2
B ．-8
C ．2
D ．6
(10)已知正数的等比数列{a n }的首项a 1 =1，a 2·a 4 =16，则a 8= A ．32 B ．64 C ．128 D ．256
(11)已知函数f(x ）=e x
+elnx- 2ax 在xE(1，3)上单调递增，则实数a 的取值范围为
A ．（-∞, 326e e +)
B ．[326
e e
+,+ ∞) C.[- ∞,e ） D ．（-∞,e]
(12)已知函数f(x)=x 2
- 2ax +5（a>l ），g(x)=log 3x ，若函数f(x)的定义域与值域都是[1，
a]，且对于
任意的x 1，x 2∈[1，a+l]时，总有|f(x 1)-g(x 2)|≤t 2
+2t -1恒成立，则t 的取值范围为
A ．[1，3]
B ．[ -1，3]
C.[1,+ ∞)U （一∞，-3]
D.[3,+∞）U （一∞，-1]
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
考生注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试卷上作答无效．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．
(13)已知定义域为[a -2，2（a+l ）]的奇函数f(x)=x 3 +(b-2)x 2
+x ，则f(a)+f(b ）=____
(14)在平面直角坐标系内，已知B(-3，一)，C （3，，H(cosa ，sina)，则BH CH ⋅的最大值为 ．
(15)已知函数f(x ）=sinx+λcosx 的图象关于x=
4
π对称，把函数f(x ）的图象向右平移
6
π个
单位，横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，则函数g(x)取最大值时的x 为 。

(16)已知数列 {a n }中，满足a n a n+l =2S n （n ∈N*），且a l =1，则 2×a 1+22×a 2+…+22016
×a 2016= 。

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡 上的指定区域内．
(17)（本小题满分10分）
已知向量a=（
12，1
2cosx ）与向量b=(1，y)共线，设函数y=f(x ）． ( I)求函数f(x)的最小正周期及最大值；
(Ⅱ)已知△ABC 中的三个锐角A,B,C 所对的边分别为a ，b,c ，若角A 满足f(A 一
3
π）
=b=5，
c=8，D，E分别在AB，BC边上，且AB =4AD，BC =2BE，试求DE的长．
(18)（本小题满分12分】
已知a=（sinx，1
2
），b=（cosx,cos(2x+
6
)）f(x）=a·b+
3
2
．
(I)试求函数f(x)的单调递增区间；
(Ⅱ)若函数f(x）在y轴右侧的极大值点从小到大依次组成的数列为{a n}，试求数列{}的前
n项的和T n.
(19)（本小题满分12分）
在锐角△ABC中，内角A、B、C对边分别为a，b，c，已知
( I)求∠C；
(Ⅱ)求函数f(A)= +1的最大值．
(20){本小题满分12分）
已知函数f(x）为一次函数，且单调递增，满足f[f(x)]= 1
4
x一
3
4
，若对于数列{a n}
满足:a1= 1，
a n+1=f(a n)．
(I)试求数列{a n}的通项公式；
(Ⅱ)设bn=，数列{b n}的前n项的和为S n,求证：S n<4 (21)（本小题满分12分）
已知函数g(x)= 3
2
x3-9x2+
35
2
x-12 -m，三次函数f(x）最高次项系数为a，且f(x）
其三个零点分
别为1，2，3，f '(1)=4．
( I)求a的值；
(Ⅱ)若f(x)与g(x)的图象只有一个交点，求实数m的取值范围．
(22)（本小题满分12分）
已知函数f(x)=x2 +2（a+l）x+41nx.
(I)若函数f(x)是定义域上的单调函数，求实数a的最小值；
(Ⅱ)若函数f(x)>x 2
+2x 在[1，3]上恒成立，求实数a 的取值范围，
2016届皖江名校联盟高三联考
文科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

） 1. 【答案】B 【解析】
{|}2cos 22{|}P y y x y y ≤≤＝＝＝－，5{|()}2Q x y log x ＝
＝－，20,2,{|2}x x Q x x ∴-><∴=<{}{|}{22|}|22.2P Q y y x x x x ∴⋂==≤≤⋂<-≤<=
2.【答案】B
【解析】因为sin cos )4
x x x π
+=
+
≤p 为假命题; 特称
命题的否定为全称命题，根据命题的否定知命题q 为真命题，()()p q ⌝∨⌝真，p q ∧假，()p q ⌝∧真，()p q ∨⌝假故选B. 3.【答案】C 【解析】
1a =2，11
1
n n n a a a +-=
+，∴2a =13，∴3a =12-，∴4a =3-，∴5a =2
∴数列{n a }的周期4，∴201821
3
a a ==,故选C . 4. 【答案】D 【解析】
(2,2)AB =
,
2||2
AB ∴==,
||||cos 24
AB AC AB AC A A
⋅=⋅=⨯=-,
cos A =,0A π<<,3=4A π∴∠,故选D.
5.【答案】A 【解析】由()sin cos f x x x +＝，得()cos sin f x x x '-＝，.根据题意知 故选A.
6.【答案】C 【解析】函数()f x 满足在对于任意的12[2,2]x x ∈-、都有12()()f x f x <，
所以函数()f x 在[2,2]-上单调递增，2222222222a a a a a a
⎧-≤-≤⎪
∴-≤-≤⎨⎪-<-⎩
，
12
0212a a a a -≤≤⎧⎪∴≤≤⎨⎪<>⎩或，01a ∴≤<，故选C.
7.【答案】D 【解析】由图知T π=，2a ∴=，cos
2+=-13
π
ϕ⨯（），3
π
ϕ∴=
，故选D .
8.【答案】C 【解析】函数log (2)4a y x =-+过定点(3,4)P ，且4
t a n
3
α=， 223sin 2cos 26sin cos cos sin αααααα+=+-
=
∴24,2q q =∴=±，∴2q =-舍去，∴2q =，∴782128a ==，故选C.
11.【答案】D 【解析】依题意，()'e 20x
e
f x a x =+-≥在(1,3)x ∈上恒成立，即22x e e a x
≤+
在(1,3)x ∈上恒成立，令()22x e e g x x =+
，则2()22x e e g x x '=-，令2()22x e e
h x x =-，则3()02x e e h x x '=+>，2()(1)022x e e
g x g x ''=-≥=()g x ∴在(1,3)x ∈上单调递增，
1a g e ≤=（）故选D.
12.【答案】C 【解析】
1a >()f x ∴在区间[1,]a 上单调递减，
22
(1)125,,2()1251
f a a a a f a a a =-+=⎧⎧∴∴=⎨⎨=-+=⎩⎩，所以2
()(2)1,f x x =-+ 3()log g x x =，在[1,3]上的1()2,0()1f x g x ≤≤≤≤，所以12max ()()2f x g x -=，
2221223013t t t t t t +-≥⇒+-≥⇒≥≤-或.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

将答案填在题中的横线上。

） 13.【答案】10【解析】定义域为[2,2(1)]a a -+的奇函数，满足2[2(1)]
020a a a a -=-+⎧⇒=⎨
-<⎩
，
因为()f x 为奇函数，满足()()20f x f x b -=-⇒-=，所以3
()f x x x =+，
()()(0)(2)10f a f b f f +=+=.
14
【答案】19【解析】由题意：
(3,(3,B C ---，(cos ,sin ),H αα
(cos 3,sin 33),(cos 3,sin BH CH αααα=++=-+ (cos 3,sin 33)(cos 3,sin 33)BH CH
αααα∴=++-+
22cos 9sin
27ααα=-+++1919α=+≤
15. 【答案】54,6x k k Z π
π=+∈【解析】(0)(
)2f f π
=，可得1λ=，所以
()s i n c o 2s i n ()4f x
x x x π=+
+，向右平移6
π
，横坐标扩大到原来的2倍得到函数
11()sin()sin()246212g x x x πππ
=+-=+，函数()g x 取最大值时，
1524,21226x k x k k Z πππ
ππ+=+⇒=+∈.
16. 【答案】2017201522⨯+【解析】
1121121112,2,222n n n n n n n n n n n n n a a S a a S a a a a S S a +++++++++==-=-=，
2135212,1,3,5,,21;
n n k a a a a a a k +--=====-
2422,4,
,2.k n a a a k a n ===∴=；
22311212222,2222n n n n n n S a a a S a a a +=⨯+⨯+
⨯=⨯+⨯+
+⨯相减可得，
120172016(1)22,201522n n S n S +=-⨯+∴=⨯+.
三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
E
D
C
B
A
17.【解析
】（1）
,a b 共线，可得
11
(sin )022y x x -=，则s i n 3c o s
2s i n ()3y x x x π==+，所以函数的最小正周期为221
T π
π==，当
2,6
x k k Z
π
π=+
∈时，
m
()2
f x
=， ------------------6分 （2
）()3
f A π
-
=
2sin()333
A A A π
ππ
-
+===， 313111
()424242
DE DB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=
+=+-=+， -------8分 平方可得
2222221111111161()8
585cos 421644164434DE AB AC AB AC AB AC π=+=++=⨯+⨯+⨯⨯⨯=
，
故
2
DE =
.
---------------10分
18.【解析】（1）
1(sin ,),(cos ,cos(2))26
a x
b x x π
==+，
313113
()sin cos cos(2)sin 2cos(2)22622262
f x a b x x x x x ππ=+=+++=+++
31sin(2)223
x π=++ 函数的单调递增区间5222,,2321212
k x k k x k k Z πππππ
ππππ-≤+≤+-
≤≤+∈， 所以单调递增区间为
5[,]()1212
k k k Z ππππ-+∈.
--------------------6分 （2）31()sin(2)223f x x π=
++取到极大值时22,3212
x k x k πππ
ππ+=+=+，所以 1211
,,(1)12121212
n a a a n n πππππππ==+=+-=-，
设2
1
111
1111
1111()(1)11212
1212
n n n b a a n n n n π+=
==
--
+--+-，则 121111
11
1111111111111111121112121212
1212
n n T b b b n n =++
+=
-+-++
--+-+-+--+-
111441111121111212
n
n n =
-=+-+- .
----------------------12分
19.【解析】由
sin sin sin B c b a A C c b +-=++，由正弦定理得：,
b c b a
a c c
b +-=++，化简即为
2
2
2
a b c ab +-=，再由余弦定理可得2221
cos 22
a b c C ab +-=
=， 因为0C π<<，所以3
C π
∠=
. ------------------------6分
（2
）2222(cos sin 122)()1sin 1cos (2)4A A f A A cos A sinAco A
sA A π
=-+=+
--=-
在锐角ABC ∆中，
6
2
A π
π
<<
，
3212
4
4
A π
π
π<-
<
故当32,4
2
8
A A π
π
π
-
=
=
时，max ()f A --------------------12分
20.【解析】（1）设()(0)f x ax b a =+>，
1313
()(0)[()],()4444
f x ax b a f f x x a ax b b x =+>=
-∴++=-， 2
1434a ab b ⎧=⎪⎪⎨
⎪+=-⎪⎩，1212a b ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩或123
2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪
⎩，舍去，故11()22f x x =-，---2分 11122n n a a +=
-,11
1(1)2
n n a a +∴+=+， 数列{1}n a +是公比为1
2，首项为2的等比数列， --------------------4
分
1211
12(),()122
n n n n a a --∴+=⨯=-
-------------------------------6分 （2）由1122n n b na n =
+可得，11()2
n n b n -= 可得0211111
1()2()3()()2222
n n S n -=⨯+⨯+⨯++ ①
则23111111()2()3()()22222
n
n S n =⨯+⨯+⨯++ ② ②-①
可得
021111111()()()()()222222
n n n S n -=++++- 12
42n n n S -+∴=-， 4,02
21<∴>+-n n S n ---------------------12
分
21.【解析】（Ⅰ）依题意，函数()()()()()()212332
3f x a x x x a x x x =---=-+-，
故()()()(
)2
'23332f x a x x x x ⎡⎤=--+-+⎣
⎦
，
故()'124f a ==，解得2a =； -------------------------- 4分
（Ⅱ）依题意，f(x)与
g(x)的图像只有一个交点，即方程
3219()()3022f x g x x x x m -=
-++=有且仅有一个实根，令3219
()322
h x x x x =-+； ()()()
223931293
'6132222
x x h x x x x x -+=-+==--，
------------------------6分
故当1x <或3x >时，函数()h x 单调递增，当13x <<时，函数()h x 单调递减；
故函数()h x 的极大值为()12h =，极小值为()30h =， ---------------------------8分
故若方程()()f x g x =有1个根，故02m m -<->或，即20m m <->或， 即
实
数
m
的取值范围为
()()
,20,-∞-+∞
U . ----------------------------------------12分 22.【解析】（Ⅰ）因为2()2(1)4ln (0)f x x a x x x =+++>，
所以x
x a x x a x x f 4)1(224)1(22)(2
+++=+++=' ，若函数)(x f 是定义域上的单调函
数，则
)(≥'x f 恒成立，即04)1(222≥+++x a x 在
)
,0(+∞上恒成立.所以
0442)]1(2[2≤⨯⨯-+a 或0)1(≤+-a ，
解得122122-≤≤--a 或1-≥a ，
所以122--≥a ，故函数()f x 是定义域上的单调函数， 则
实
数
a
的最小值
1
22--.
-----------------5
分
（Ⅱ）函数2()2f x x x >+在区间[1,3]上恒成立，即24ln 0ax x +>在[1,3]上恒成立.即
2ln x
a x
>-
在区间[1,3]上恒成立； 令
2ln ()x
g x x
=-，
2
2ln 2()x g x x -'=
，
---------------------------------8分
令()0g x '=，x e =，在区间[1,]e 上()0g x '<，在区间[.3]e ()0g x '>
，
max 2ln 3
(1)0,(3)0,()0,03
g g a g x a ==-
<>=∴>
---------------------------------10分 综
上
所
述
，
实
数
a
的取值范围为0
a >.
-------------------------12分。