安徽高三高中数学月考试卷带答案解析

安徽高三高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.在复平面上，复数对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2.“”是“”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则等于（）A．B．C．D．
4.给出30个数：1，2,4,7，……其规律是：第1个数是1；第2个数比第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3；……以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入（）
A．B．
C．D．
5.已知，且，则的最大值是（）
A．3B．C．4D．
6.如图所示，正方体的棱长为1，，是线段上的动点，过点做平面
的垂线交平面于点，则点到点距离的最小值为（）
A．B．C．D．1
7.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种是为（）
A．B．C．D．
8.如图，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成角为的平面所截，截面是一个椭圆，当为时，这个椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
9.在中，,,，则边上的高等于（）
A．B．C．D．
10.已知函数，若，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题
1.如图，已知点,点在曲线上，若阴影部分面积与面积相等，则
=________
2.直线（为参数）被曲线所截的弦长_____
3.在中，，,,，点满足，则的值为______
4.已知实数满足，则的最大值是_____
5.已知数列满足，给出下列命题：
①当时，数列为递减数列
②当时，数列不一定有最大项
③当时，数列为递减数列
④当为正整数时，数列必有两项相等的最大项
请写出正确的命题的序号____
三、解答题
1.已知函数，求函数的最小正周期；
当时，求函数的取值范围.
2.如图，ABCD是边长为2的正方形，,ED=1，//BD，且.
（1）求证：BF//平面ACE；
（2）求证：平面EAC平面BDEF;
（3）求二面角B-AF-C的大小.
3.前不久，社科院发布了2013年度“全国城市居民幸福排行榜”，北京市成为本年度最“幸福城”.随后，某师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后一位为叶）：
指出这组数据的众数和中位数；
若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）人选3人，记表示抽到“极幸福”的
人数，求的分布列及数学期望.
4.设函数.
（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；
（2）若在上为增函数，求正数的取值范围.
5.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，它的一个焦点恰好与抛物线的焦点重合.
求椭圆的方程；
设椭圆的上顶点为，过点作椭圆的两条动弦，若直线斜率之积为，直线是否一定经过一定点?若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由.
6.设满足以下两个条件得有穷数列为阶“期待数列”：
①，②.
（1）若等比数列为阶“期待数列”，求公比；
（2）若一个等差数列既为阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；
（3）记阶“期待数列”的前项和为.
（）求证：；
（）若存在，使，试问数列是否为阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.
安徽高三高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.在复平面上，复数对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】
【解析】由
所以对应的点为，
所以在复平面上对应的点位于第四象限.
故选.
【考点】复数的运算；复数的概念.
2.“”是“”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】由
所以“”是“” 充分而不必要条件
故选.
【考点】充分性和必要性.
3.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则等于（）A．B．C．D．
【答案】
【解析】因为角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，
所以
由
所以
故选
【考点】三角函数的定义；三角函数恒等变换.
4.给出30个数：1，2,4,7，……其规律是：第1个数是1；第2个数比第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3；……以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入（）
A．B．
C．D．
【答案】
【解析】由于要计算30个数的和，
故循环要执行30次，
由于循环变量的初值为1，步长为1，
故终值应为30，即①中应填写；
又由第1个数是1；第2个数比第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3；…故②中应填写
故选
【考点】循环结构.
5.已知，且，则的最大值是（）
A．3B．C．4D．
【答案】
【解析】由
所以
因为，，当且仅当，即时等号成立.
所以，即
解得：，所以的最大值为4
故选
【考点】基本不等式.
6.如图所示，正方体的棱长为1，，是线段上的动点，过点做平面
的垂线交平面于点，则点到点距离的最小值为（）
A．B．C．D．1
【答案】
【解析】连接,
由是正方体，得面
因为面，所以,所以与共面
因为都在平面，所以点在线段上，
则点到点距离的最小值为由向作垂线，即为的一条高
是以边长为的等边三角形，所以高为
故选
【考点】四点共面；棱柱的结构特征.
7.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种是为（）
A．B．C．D．
【解析】根据题意，分2步进行：
①将每个三口之家都看成一个元素，每个家庭都有种排法；
三个三口之家共有种排法，
②、将三个整体元素进行排列，共有种排法
故不同的作法种数为
故选．
【考点】排列、组合及简单的计数原理.
8.如图，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成角为的平面所截，截面是一个椭圆，当为时，这个椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由椭圆的性质得，椭圆的短半轴，
因为截面与底面所成角为，所以椭圆的长轴长，得
所以椭圆的离心率
故选
【考点】椭圆的几何性质.
9.在中，,,，则边上的高等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，在△ABC中，由余弦定理知，
即，，即，又，
设BC边上的高等于，由三角形面积公式，知
，解得.
故选
【考点】余弦定理；三角形面积公式.
10.已知函数，若，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【解析】函数的图像如下图所示：
由图知，成立的临界条件是：过原点作函数的切线的切线斜率，
因为，所以
满足成立的取值范围为
故选D
【考点】分段函数；导数的几何意义；数形结合.
二、填空题
1.如图，已知点,点在曲线上，若阴影部分面积与面积相等，则=________
【答案】
【解析】由
而
因为
所以，而，解得：
故答案为
【考点】定积分的应用.
2.直线（为参数）被曲线所截的弦长_____
【答案】
【解析】因为曲线
所以
所以曲线的直角坐标方程为，即
所以曲线为圆心，半径为的园；
由直线的参数方程，消去参数得
圆心到直线的距离
所以直线被园的截得弦长等于
故答案为.
【考点】直线的参数方程；极坐标方程；直线与园相交的弦长问题.
3.在中，，,,，点满足，则的
值为______
【答案】9
【解析】由得，点在线段上，如下图所示：
设，则，又，即，得，
所以，，
在中，，所以
因为，所以，故、、三点共线，
如图在线段上取一点，并设
因为
又在中，
所以
故答案为9.
【考点】三点共线的判定；向量的数量积.
4.已知实数满足，则的最大值是_____
【答案】21
【解析】不等式组表示的可行域如下图所示：
由，所以表示在可行域内取一点到直线的距离的
倍，
由图知，点到直线的距离最大，
所以
故答案为21
【考点】线性规划；点到直线的距离.
5.已知数列满足，给出下列命题：
①当时，数列为递减数列
②当时，数列不一定有最大项
③当时，数列为递减数列
④当为正整数时，数列必有两项相等的最大项
请写出正确的命题的序号____
【答案】③④
【解析】选项①：当时，，有，，则，即数列不是递减数列，故①错误；
选项②：当时，，因为，所以数列可有最大项，故②错误；
选项③：当时，，所以，即数列是递减数列，故③正确；
选项④：，当为正整数时，；当时，；当时，令，解得，，数列必有两项相等的最大项，故④正确.
所以正确的选项为③④.
【考点】数列的函数特征.
三、解答题
1.已知函数，求函数的最小正周期；
当时，求函数的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】(1)把函数使用公式展开得，化简得
，然后利用降幂公式得，最后得，即得函数的最小正周期；
（2）由（1）得，因为，所以，由三角函数的有界性得，所以，故函数的取值范围为.
（1）因为
，
所以函数的最小正周期.
（2）因为所以
所以,
所以,
所以函数的取值范围为.
【考点】三角恒等变换；三角函数的周期；三角函数的值域.
2.如图，ABCD是边长为2的正方形，,ED=1，//BD，且.
（1）求证：BF//平面ACE；
（2）求证：平面EAC平面BDEF;
（3）求二面角B-AF-C的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）记与的交点为，连接，则可证，又面，面，故平面；
（2）因⊥平面，得,又是正方形，所以，从而平面，又面,故平面平面；
（3）过点作于点，连接，则可证为二面角的平面角．在中，可求得，又，故，∴，即二面角的大小为；证明：（1）记与的交点为，连接，则
所以，又，所以
所以四边形是平行四边形
所以，
又面，面，
故平面；
（2）因⊥平面，所以,
又是正方形，所以，
因为面，面，
所以平面，
又面,
故平面平面；
（3）过点作于点，连接，
因为，面
所以面，
因为面,
所以
因为
所以面
所以
又
所以面
所以，即得为二面角的平面角．
在中，可求得，
又，故，
∴，即二面角的大小为；
【考点】线面平行的判定；面面垂直的判定；二面角的求解.
3.前不久，社科院发布了2013年度“全国城市居民幸福排行榜”，北京市成为本年度最“幸福城”.随后，某师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后一位为叶）：
指出这组数据的众数和中位数；
若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）人选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望.
【答案】（1）众数：8.6；中位数：8.75；（2）；（3）分布详见答案；期望为
【解析】（1）根据所给的茎叶图看出16个数据，找出众数和中位数，众数即为出现次数最多的数，中位数需要按照从小到大的顺序排列得到结论；
（2）由题意知本题是一个古典概型，至多有1人是“极幸福”包括有一个人是极幸福和有零个人是极幸福，根据古典概型公式得到结果，有一个是极幸福的概率为,有零个是极幸福的概率为，所以至多有1人是“极幸福”的概率为；
（3）由于从该社区任选3人，记表示抽到“极幸福”学生的人数，得到变量的可能取值是0、1、2、3，结合变量对应的事件，算出概率，写出分布列和期望．
（1）众数：8.6；中位数：8.75 ；
（2）设表示所取3人中有个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件，则
；
（3）的可能取值为0，1，2，3.
；
；
；
.
的分布列为：
所以.
【考点】数据特征；茎叶图；离散型随机变量的期望.
4.设函数.
（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；
（2）若在上为增函数，求正数的取值范围.
【答案】（1）最小值为，最大值为；（2）.
【解析】（1）当时，,其导函数，易得当时，，即函
数在区间上单调递增，又函数是偶函数，所以函数在上单调递减，在
上的最小值为，最大值为；
（2）由题得：在上恒成立，易证，若时，则，所以；若时，易证此时不成立.
(1)当时，, ，
令，则恒成立，
∴为增函数，
故当时，
∴当时，，∴在上为增函数，
又为偶函数，在上为减函数，
∴在上的最小值为，最大值为.
（2）由题意，在上恒成立.
（ⅰ）当时，对，恒有，此时，函数在上为增函数，满足题意；（ⅱ）当时，令，，由得，
一定，使得，且当时，，在上单调递减，此时
，即，所以在为减函数，这与在为增函数矛盾.
综上所述：.
【考点】函数的最值；函数的恒成立问题.
5.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，它的一个焦点恰好与抛物线的焦点重合.
求椭圆的方程；
设椭圆的上顶点为，过点作椭圆的两条动弦，若直线斜率之积为，直线是否一定经
过一定点?若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由.
【答案】（1）；（2）恒过一定点.
【解析】（1）可设椭圆方程为,因为椭圆的一个焦点恰好与抛物线的焦点重合，所以，又，所以，又因，得，所以椭圆方程为；
（2）由（1）知，当直线的斜率不存在时，可设，设，则，
易得，不合题意；故直线的斜率存在.设直线的方程为：，()，并代入椭圆方程，得：①，设，则是方程①的两根，由韦达定理
，由，利用韦达定理代入整理得，
又因为，所以，此时直线的方程为，即可得出直线的定点坐标.
（1）由题意可设椭圆方程为,
因为椭圆的一个焦点恰好与抛物线的焦点重合，所以，
又，所以，
又因，得，
所以椭圆方程为；
（2）由（1）知，
当直线的斜率不存在时，设，设，则，
，不合题意.
故直线的斜率存在.设直线的方程为：，()，并代入椭圆方程，得：
①
由得②
设，则是方程①的两根，由韦达定理
，
由得：
，
即，整理得
，
又因为，所以，此时直线的方程为.
所以直线恒过一定点
【考点】椭圆的标准方程；圆锥曲线的定点问题.
6.设满足以下两个条件得有穷数列为阶“期待数列”：
①，②.
（1）若等比数列为阶“期待数列”，求公比；
（2）若一个等差数列既为阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；
（3）记阶“期待数列”的前项和为.
（）求证：；
（）若存在，使，试问数列是否为阶“期待数列”？若能，求出所
有这样的数列；若不能，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）（）证明见解析；（）不能，理由见解析.
【解析】
（1）由阶“期待数列”定义，当，结合已知条件①求得等比数列的公比，若，由①得, ，得，不可能，所以；
（2）设出等差数列的公差，结合①②求出公差，再由前项和为求出首项，则等差数列的通项公式可求；
（3）（）由阶“期待数列”前项中所有的和为0，所有项的绝对值之和为1，求得所有非负项的和为，
所有负项的和为，从而得到答案；
（）借助于（）中结论知，数列的前项和为，且满足，再由，得到
，从而说明与不能
同时成立.
(1) 若，则由①
由，所以，得，
由②得或,满足题意.
若，由①得, ，得，不可能.
综上所述.
(2)设等差数列的公差为.
因为，所以.
所以.
因为，所以由，得.
由题中的①、②得
, ，
两式相减得, 即. 又,得.
所以.
(3) 记中非负项和为,负项和为.
则, 得.
（）因为，所以.
（）若存在，使，由前面的证明过程知：
，
且.
记数列的前项和为.若为阶“期待数列”，
则由()知, . 所以
因为，所以.
所以,.
又, 则.
所以.
所以与不能同时成立.
所以对于有穷数列,若存在，使，
则数列不能为阶“期待数列”.
【考点】数列的通项公式；数列与不等式的综合.。