中考数学复习《勾股定理求最短路径》专项检测卷-附带答案

中考数学复习《勾股定理求最短路径》专项检测卷-附带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________
1．如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD的长分别为500m和700m，且C、D两地的距离为500m，天黑前牧童从A点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（）
A．2900m B．1200m C．1300m D．1700m
2．如图，圆柱体盒子放在水平地面上，该圆柱体的高为9cm，点M离盒底的距离为3cm，cm，一只蚂蚁沿着该圆柱体盒子的表面从点M爬行到点N，则该蚂蚁爬行的最底面半径为8
π
短路程为（）cm．
A．6B．10C．2√73D．6+16
π
3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别是20dm,3dm,2dm，A和B是这个台阶相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到B处去吃食物，则这只蚂蚁爬行的最短距离为（）
A．25dm B．26dm C．24dm D．27dm
4．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=7，BC=4，BF=6点M在棱AB上，且AM=1，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（）
A．10B．4√5C．6√2D．2√13
5．如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘AB=CD=20m．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（）m．（π取3）
A．30B．28C．25D．22
6．如图，在等腰直角△ABC中AB=BC=4，点D在边BC上且CD=1，点E，F分别为边AB，AC上的动点，连接DE，EF，DF得到△DEF，则△DEF周长的最小值为（）
A．5√2B．2√13C．3√7D．√6+2√2
7．如图，在RtΔABC中∠ACB=90°，AC=10，BC=12点D是ΔABC内的一点，连接AD，CD，BD满足∠ADC=90°，则BD的最小值是（）
A．5B．6C．8D．13
S矩形ABCD则点P 8．如图，在矩形ABCD中AB＝5 AD＝3．动点P满足S△PAB＝1
3
到A B两点的距离之和P A+PB的最小值为（）
A．√29B．√34C．√41D．√52
9．已知圆锥底面半径为1 母线长为4 地面圆周上有一点A一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线P A中点B则蚂蚁爬行的最短路程为（）
A．πB．√5πC．2√5D．2π
10．如图△ABC为边长3的等边三角形AD△BC于点D点E在AB边上且AE=1 P为线段AD上的一个动点则PB+PE的最小值是（）
√3 A．3B．√7C．√3D．3
2
11．如图在一个长为9m宽为6m的长方形草地上放着一根长方体木块它较长的边和草地的宽AD平行且长大于AD木块从正面看是边长为1m的正方形一只蚂蚁从点A出发到达点C处需要走的最短路程为（）
A．12m B．√157m C．6√5m D．13m
12．如图矩形ABCD中AB=4BC=6以A为圆心2为半径画圆A E是圆A 上一动点P是BC上一动点则PE+PD最小值是（）
A．4√2B．2√10C．8D．12
13．如图正方形ABCD中AB=4点E F分别在边AB BC上点P在对角线AC
上EF∥AC PE+PF=m．下列结论错误
．．的是（）
A．若BE=2则m的最小值为4B．若m的最小值为4 则BE=2
C．若BE=0.5则m的最小值为5D．若m的最小值为5 则BE=0.5 14．数形结合是数学的重要思想和解题方法如：“当0<x<12时求代数式√x2+4+√(12−x)2+9的最小值” 其中√x2+4可看作两直角边分别为x和2的Rt△ACP的斜边长√(12−x)2+9可看作两直角边分别是12−x和3的Rt△BDP的斜边长．于是将问题转化为求AP+BP的最小值如图所示当AP与BP共线时AP+BP为最小．请你解决问题：当0<x<4时则代数式√x2+1+√(4−x)2+4的最小值是（）
A．4B．5C．6D．7
15．如图有一条直角弯道河流河宽为2 A B两地到河岸边的距离均为1 AH= BF=1AD=7BE=9现欲在河道上架两座桥MN PQ使AM+MN+NP+
PQ+QB最小则最小值为()
A．√130B．√145+2C．14D．12
16．如图平行四边形ABCD中AB=12AD=10∠A=60°E是边AD上一点且AE=6F是边AB上的一个动点将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到EN连接BN CN则BN+CN的最小值是（）
A．3√21B．4√14C．14D．4√13
17．如图在平面直角坐标系xoy中点A C分别在坐标轴上且四边形OABC是边长
(x>0)的图像与BC，AB边分别交于E，D两点△DOE 为3的正方形反比例函数y=k
x
的面积为4 点P为y轴上一点则PD+PE的最小值为（）
A．3B．2√5C．3√2D．5
18．如图在平面直角坐标系中点A(3,a)是直线y=2x与直线y=x+b的交点点B 是直线y=x+b与y轴的交点点P是x轴上的一个动点连接P A PB则PA+PB 的最小值是（）
A．6B．3√5C．9D．3√10
19．如图已知正方形ABCD的边长是4 点E是AB边上一动点连接CE过点B 作BG△CE于点G点P是AB边上另一动点则PD+PG的最小值是（）
A．2√10−2B．4√3−2C．2√13−2D．2√14−2
20．如图① 在正方形ABCD中点E是AB的中点点P是对角线AC上一动点设PC=x PE+PB=y图②是y关于x的函数图象且图象上最低点Q的坐标为(m,2√5)则正方形ABCD的边长为（）
A ．2√2
B ．2√5
C ．4
D ．5
参考答案
1．解：如图 由题意得：DB ⊥CD AC ⊥CD A ′C =AC =500m BD =700m CD =500m
作A 点关于河岸的对称点A ′ 连接BA ′交河岸与P 则PB ＋P A ＝PB ＋P A ′＝BA ′时最短 过点A ′ 作A ′B ′⊥BD 交BD 延长线于点B ′
△四边形A ′B ′DC 是矩形
△A ′B ′=CD =500m DB ′=A ′C =500m
△BB ′＝BD ＋DB ′＝1200m
在Rt △A ′B ′B 中 BA ′=√BB ′2+A ′B ′2=√12002+500=1300m ．
故选：C
2．解：把圆柱侧面展开 展开图如图所示 点M N 的最短距离为线段MN 的长 △AM ＝9﹣3＝6（cm ） AN 为底面半圆弧长 AN ＝2×12•8π•π＝8（cm ）
在Rt△AMN 中
MN ＝√AM 2+AN 2=√62+82=10（cm ）．
故选：B ．
3．解：三级台阶平面展开图为长方形长为20dm 宽为（2+3）×3dm
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x dm
由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252
解得x=25．
故选：A．
4．解：如图1中把面ABFE与面EFGH沿EF展开
∵AM=1,AB=7,BC=4,BF=6,点N是FG的中点
∴MB=6,FN=2,BN=BF+FN=8,
∴MN=√MB2+BN2=10,
如图2 把面ABFE与面BCGF沿BF展开
同理可得：MP=8,PN=BF=6,
∴MN=√MP2+PN2=10,
如图3 把面ABCD与面BCGF沿BC展开
同理：MF=MB+BF=12,FN=2,
∴MN=√122+22=√148=2√37,
∵10=√100<√148=2√37,
所以一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N它需要爬行的最短路程为10.故选：A.
5．解：其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F连接DF
△中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5cm的半圆
△BC=πR=2.5π=7.5cm AB=CD=20cm
△CF=2BC=15cm
在R t△CDF中DF=√CF2+CD2=√152+202=25cm
故他滑行的最短距离约为25cm．
故选C．
6．解：如图作点D关于AB的对称点G作点D关于AC的对称点H连接BG CH DH FH GH
∵∠ABC=90°点D与点G关于AB对称
∴∠GBE=∠ABC=90°
∴G B D C在同一条直线上
△在等腰直角△ABC中AB=BC
△∠A=∠ACB=45°
△BC=4CD=1
△由对称性可知：GB=DB=3CH=CD=1∠FCH=∠FCD=45°FH=FD EG=ED
∴∠HCG=90°GC=GB+BD+DC=3+3+1=7
∴GH=√GC2+CH2=√72+12=5√2
∴DE+EF+FD=GE+EF+FH⩾GH=5√2
∴△DEF的周长的最小值5√2．
故选：A．
7．解：如图取AC中点O连接DO．
∵∠ADC=90°
∴点D在以点O为圆心AC长为直径的圆周上运动且DO=1
2AC=1
2
×10=5
当O D B在同一直线上时OB最短此时BD=OB−OD=OB−5为最短．在RtΔOCB中
OC=5BC=12
则OB=√122+52=13
∴BD=OB−OD=OB−5=13−5=8
即BD的最小值是8．
故选：C．
8．解：设ΔABP中AB边上的高是ℎ．
∵SΔPAB=1
3
S
矩形ABCD
∴1
2AB⋅ℎ=1
3
AB⋅AD
∴ℎ=
2
3
AD=2
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上如图作A关于直线l的对称点E连接AE连接BE则BE的长就是所求的最短距离．
在RtΔABE中∵AB=5AE=2+2=4
∴BE=√AB2+AE2=√52+42=√41
即PA+PB的最小值为√41．
故选：C．
9．解：根据题意将该圆锥展开如下图所示的扇形
则线段AB就是蚂蚁爬行的最短距离．
△点B是母线P A的中点PA=4
△PB=2
△圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长
又△圆锥底面半径为1
△扇形的弧长=圆锥底面周长即l=2πr=2π扇形的半径=圆锥的母线=P A=4
由弧长公式可得：l=nπR
180=nπ×4
180
=2π
△扇形的圆心角n=90°
在Rt△APB中由勾股定理可得：AB=√PA2+PB2=√42+22=2√5所以蚂蚁爬行的最短路程为2√5
故选：C．
10．解：作E关于AD的对称点E′连接BE′交AD于P
则此时PE + PB有最小值PE+ PB的最小值=BE′
△AE′= AE= 1
△ CE'=3-1=2
作E'F△BC于F
△△ABC为等边三角形△C= 60°
△∠CE′F=30°
△CF=1
2
CE′=1 E′F=√CE′2−CF2=√22−12=√3
△AC= BC= 3
△BF=3-1= 2
BE′=√BF2+E′F2=√22+(√3)2=√7
△PE+ PB的最小值=√7
故选：B
11．解：由题意可知将木块展开如图
长相当于是AB+2个正方形的宽
△长为9+2×1＝11(m)；宽为6 m．
于是最短路径为：√62+112=√157(m)．
故选B．
12．解：如图作点D关于直线BC的对称点F连接AF交BC于点P交⊙A于点E
此时PE+PD最小等于AF−AE
△四边形ABCD是矩形AB=4BC=6
△AB=CD=4AD=BC=6
△DF=8∠ADF=90°
△AF=√AD2+DF2=√62+82=10
△AE+EF=10
△EF=10−2=8
△PE+PD的最小值为8
故选C．
13．解：如图根据正方形的对称性在AD上取点E关于AC的对称点G连接FG交AC 于点P
则PE=PG
△PE+PF=PG+PF=FG为m的最小值
△AG=AE=4−BE∠BAD=90°
△EG2=AE2+AG2=2AE2=2(4−BE)2
△EF∥AC
△∠BEF=∠BAC=45°∠BFE=∠BCA=45°
△BF=BE
△EF2=BE2+BF2=2BE2
△FG⊥AC
△EG⊥EF
△∠FEG=90°
△FG=√EF2+EG2=2√(BE−2)2+4
当BE=2时FG=2√(2−2)2+4=4
△A正确；
当FG=4时2√(BE−2)2+4=4
△√(BE−2)2+4=2
△(BE−2)2+4=4
△(BE−2)2=0
△BE=2
△B正确；
当BE=0.5时FG=2√(0.5−2)2+4=5
△C正确；
当FG=2√(BE−2)2+4=5时(BE−2)2+4=25
4
△(BE−2)2=9
4
△BE−2=±3
2
△BE=0.5,或BE=3.5
△D不正确．
故选：D．
14．解：如图所示
√x2+1可看作两直角边分别为x和1的Rt△ACP的斜边长
√(4−x)2+4可看作两直角边分别是4−x和2的Rt△BDP的斜边长．
△求√x2+1+√(4−x)2+4的最小值即求AP+BP的最小值
当AP与BP共线时AP+BP为最小即AB的长．
连接AB
△∠E=90°AE=AC+CE=AC+DB=3
△AB=√AC2+BE2=5
△代数式√x2+1+√(4−x)2+4的最小值是5．
故选：B．
15．解：延长AH到J使得AJ=MN=2延长BF到K使得BK=PQ=2连接JK交河道于点N′P′得到两座桥N′M′P′Q′此时AM′+M′N′+N′P′+P′Q′+BQ′的值最小．
△四边形AJN′M′是平行四边形
△AM′=JN′
同理：BQ′=P′K
延长AH交BK的延长线于点W．
△WH=BE=9WF=AD=7
△WJ=WH+AH−AJ=9+1−2=8WK=AD+BF−BK=7+1−2=6
在Rt△JWK中JK=√KW2+WJ2=√62+82=10
∴AM′+M′N′+N′P′+P′Q′+BQ′=HN′+2+N′P′+2+P′K=4+JK=14∴AM+MN+NP+PQ+QB的最小值为14．
故选：C．
16．解：取AB的中点G连接CE EG．
由已知得AG=AE=6∠A=60°
△△AEG是等边三角形
△∠AGE=∠AEG=60°．
△∠AEF+∠GEF=∠GEF+NEG=60°
△∠AEF=∠NEG．
△AE=EG NE=FE
△△AEF△△GEN
△∠A=∠NGE=60°
△∠BGN=60°．
△BG=EG∠BGN=∠NGE NG=NG
△△BNG△△ENG
△BN=EN．
要求BN+CN最小就是求CN+NE最小
即BN+CN=NE+CN≥CE．
作EH⊥CD交延长线于点H
△AB∥CD
△∠EDH=∠A=60°．
在Rt△DEH中DE=4∠DEH=30°
△DH=2EH=2√3
△CH=CD+DH=12+2=14．
在Rt△CEH中CE=√CH2+EH2=√142+(2√3)2=4√13．所以BN+CN的最小值是4√13．
故选：D．
17．解：∵正方形OABC的边长是3
∴点D的横坐标和点E的纵坐标为3
∴D(3,k
3)E(k
3
3)
∴BE=3−k
3BD=3−k
3
∵△ODE的面积为4
∴3×3−1
2
×3×
k
3
−
1
2
×3×
k
3
−
1
2
×(3−
k
3
)2=4
∴k=3或−3（舍去）
∴D(3,1)E(1,3)
作E关于y轴的对称点E′连接DE′交y轴于P则DE′的长=PD+PE的最小值
∵CE=CE′=1=AD
∴BE′=4BD=2
∴DE′=√BE′2+BD2=√42+22=2√5
即PD+PE的最小值为2√5
故选：B．
18．解：作点A关于x轴的对称点A′连接A′B如图所示：
则P A+PB的最小值即为A′B的长
将点A（3 a）代入y=2x
得a=2×3=6
△点A坐标为（3 6）
将点A（3 6）代入y=x+b
得3+b=6
解得b=3
△点B坐标为（0 3）
根据轴对称的性质可得点A'坐标为（3 -6）
△A′B=√32+(−6−3)2=3√10
△P A+PB的最小值为3√10．
故选：D．
19．解：如图：
取点D关于直线AB的对称点D′．以BC中点O为圆心OB为半径画半圆．
连接OD′交AB于点P交半圆O于点G连BG．连CG并延长交AB于点E．由以上作图可知BG△EC于G．
PD+PG=PD′+PG=D′G
由两点之间线段最短可知当点D′ G O三点共线时PD+PG最小．
△D′C′=4 OC′=6
△D′O=√42+62=2√13
△D′G=2√13−2
△PD+PG的最小值为2√13−2
故选C.
20．解：如图点D是点B关于直线AC的对称点连接DE交AC于点P
根据点的对称性PB=PD则y=PE+PB=PD+PE=DE为最小
故ED=2√5
设正方形的边长为a则AE=1
2
a
在Rt△ADE中由勾股定理得：DE2=AD2+AE2
即a2+(1
2a)
2
=(2√5)2
解得：a=4（负值已舍去）故选：C．。