金版教程2017高考数学文二轮复习讲义：第一编 数学思想方法 第一讲 函数与方程思想 含解析

第一讲函数与方程思想
思想方法解读
考点求最值或参数的范围
典例1 2015·山东高考]设函数f（x）＝错误!
则满足f(f（a））＝2f(a)的a的取值范围是( ）
A。

错误!B．0,1]
C.错误!D．1，＋∞）
解析] 由题意知，f(a）＝错误!
由f（a)<1，解得a〈错误!.
所以f（f(a))＝错误!
＝错误!
故当a〈错误!时，方程f（f(a）)＝2f（a）化为9a－4＝23a－1,即18a －8＝23a。

如图,分别作出直线y ＝18x －8与函数y ＝23x ＝8x 的图象，根据图
象分析可知，A 点横坐标为23，故a <23
不符合题意． 当错误!≤a 〈1时，方程f （f (a )）＝2f （a )化为23a －1＝23a －1，显然方程恒成立．
当a ≥1时，方程f (f (a ））＝2
f （a ）化为22a ＝22a ，显然方程恒成立．
所以a 的取值范围是错误!.
答案］ C
四类参数范围(或最值）的求解方法
（1）求字母(式子）的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子）为元的方程(组)，然后由方程(组）求得．
（2）求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等问题中的重要问题，解决这类问题一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式（组)
求解;其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后,应用函数知识求值域．
（3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决．（4）当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决．
【针对训练1】2016·西安模拟］已知f(x)＝ln x＋a（1－x)
（1）讨论f（x）的单调性;
(2)当f(x）有最大值，且最大值大于2a－2时,求a的取值范围．
解（1)f（x）的定义域为（0，＋∞）,f′(x)＝错误!－a。

若a≤0，则f′(x）>0,所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增．若a>0，则当x∈错误!时,f′(x）>0;当x∈错误!
时，f′(x）〈0.
所以f（x）在错误!上单调递增，在错误!上单调递减．
综上,当a≤0时，f（x）在(0，＋∞）上单调递增；
当a>0时，f（x）在错误!上单调递增，在错误!上单调递减．
(2）由(1）知，当a≤0时，f（x)在（0，＋∞)无最大值；当a>0时，f(x)在x＝错误!处取得最大值，最大值为f错误!＝ln 错误!＋a错误!＝－ln a＋a－1.
因此f错误!>2a－2等价于ln a＋a－1<0。

令g(a）＝ln a＋a－1,则g（a）在（0，＋∞）上单调递增，g(1)＝0.于是，当0<a〈1时，g（a）〈0；当a>1时，g(a)〉0.
因此，a的取值范围是（0,1）．
考点解决图象交点或方程根等问题
典例2 已知函数f(x)＝－x2＋2e x＋t－1，g(x)＝x＋错误!(x〉0)，其中e表示自然对数的底数．
（1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围;
(2）确定t的取值范围，使得g(x）－f（x）＝0有两个相异实根．解] （1）解法一：因为x>0，所以g（x)＝x＋错误!≥2错误!＝2e，等号成立的条件是x＝e.故g（x)的值域是2e，＋∞），因而只需m≥2e，g（x)＝m就有实根．
解法二：作出g(x)＝x＋错误!(x>0）的图象，如图所示,观察图象可知g（x)的最小值为2e，因此要使g（x)＝m有实根,则只需m≥2e.
解法三：由g(x)＝m,得x2－mx＋e2＝0，此方程有大于0的根，故错误!
学必求其心得，业必贵于专精
等价于｛m〉0，m≥2e或m≤－2e
故m≥2e。

（2）若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，则函数g（x）与f(x）的图象有两个不同的交点．
因为f（x）＝－x2＋2e x＋t－1＝－（x－e)2＋t－1＋e2,所以函数f(x）图象的对称轴为直线x＝e,开口向下,最大值为t－1＋e2.
由题意，作出g（x）＝x＋错误!（x〉0)及f（x）＝－x2＋2e x＋t －1的大致图象，如图所示．
故当t－1＋e2>2e，即t>－e2＋2e＋1时，g（x)与f(x)的图象有两个不同的交点，即g(x)－f（x）＝0有两个相异实根．
所以t的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞）．
解决图象交点及方程根问题的方法
函数图象的交点、函数零点、方程的根三者之间可互相转化，解题的宗旨就是函数与方程的思想即方程的根可转化为函数零点、函数图象的交点，反之函数零点、函数图象交点个数问题也可转化
为方程根的问题．
【针对训练2】已知定义在R上的函数f(x）满足：f（x）＝错误!且f（x＋2）＝f(x），g(x)＝错误!，则方程f(x)＝g（x)在区间－5,1］上的所有实根之和为( )
A．－5 B．－6
C．－7 D．－8
答案C
解析g（x）＝错误!＝错误!＝2＋错误!，由题意知函数f（x)的周期为2，则函数f(x)，g（x)在区间－5,1]上的图象如图所示：
由图象知f(x)、g（x）有三个交点，故方程f（x)＝g（x）,在x ∈－5，1]上有三个根x A、x B、x C,且x B＝－3，错误!＝－2,x A＋x C＝－4，∴x A＋x B＋x C＝－7.
考点函数与方程思想在不等式中的应用
典例3 设函数f(x)＝cos2x＋sin x＋a－1,已知不等式1≤f(x）≤错误!对一切x∈R恒成立，求a的取值范围．
解］f(x）＝cos2x＋sin x＋a－1＝1－sin2x＋sin x＋a－1＝－错误!2＋a＋错误!.
因为－1≤sin x≤1，所以当sin x＝错误!时，
函数有最大值f（x)max＝a＋错误!，
当sin x＝－1时，函数有最小值f（x）min＝a－2。

因为1≤f（x）≤17
4
对一切x∈R恒成立，
所以f(x)max≤错误!且f(x）min≥1，
即错误!
解得3≤a≤4,
所以a的取值范围是3，4]．
不等式恒成立问题的处理方法
在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系,使问题更明朗化．一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．
【针对训练3】设f(x),g（x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x）＋f（x）g′(x）〉0，且g（－3）＝0，则不等式f（x)g（x)<0的解集是________．
答案（－∞，－3)∪（0,3）
解析
设F（x)＝f(x）g(x）,由于f（x),g（x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F（－x）＝f(－x)·g（－x）＝－f(x）g(x)＝－F(x），即F(x)在R上为奇函数．
又当x〈0时，F′(x）＝f′(x)g(x）＋f(x)g′（x)〉0,
所以x<0时，F(x)为增函数．
因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x〉0时,F（x)也是增函数．
因为F(－3)＝f(－3）g（－3)＝0＝－F(3)．
所以，由图可知F（x)<0的解集是（－∞,－3)∪（0,3）．
考点函数与方程思想在数列中的应用
典例4 2015·湖北高考]设等差数列｛a n}的公差为d，前n 项和为S n，等比数列｛b n}的公比为q,已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100。

(1)求数列｛a n}，｛b n}的通项公式；
(2)当d>1时，记c n＝错误!，求数列｛c n｝的前n项和T n。

解] （1）由题意有,错误!
即错误!
解得错误!或错误!
故错误!或错误!
(2）由d〉1,知a n＝2n－1,b n＝2n－1，故c n＝错误!，于是
T n＝1＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!,①
错误!T n＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!。

②
①－②可得
错误!T n＝2＋错误!＋错误!＋…＋错误!－错误!＝3－错误!，
故T n＝6－错误!.
数列问题函数(方程）化法
数列问题函数(方程)化法形式结构与函数(方程)类似，但要注意数列问题中n的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤是:
第一步：分析数列式子的结构特征．
第二步:根据结构特征构造“特征"函数（方程),转化问题形式．第三步:研究函数性质．结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究．第四步:回归问题．结合对函数(方程）相关性质的研究,回归问题．
【针对训练4】2016·东城模拟］已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列．
(1）若a1＝2,且a2，a3,a4＋1成等比数列，求数列{a n}的通项公式
a n；
(2)在(1）的条件下，数列｛a n}的前n项和为S n，设b n＝错误!＋错误!＋…＋错误!，若对任意的n∈N＊，不等式b n≤k恒成立,求实数k的最小值．
解(1)因为a1＝2,a2，3＝a2·（a4＋1），又因为｛a n}是正项等差数列，故公差d≥0，
所以（2＋2d)2＝（2＋d)（3＋3d），
解得d＝2或d＝－1（舍去）,
所以数列｛a n｝的通项公式a n＝2n.
(2)因为S n＝n(n＋1）,
b n＝错误!＋错误!＋…＋错误!
＝错误!＋错误!＋…＋错误!
＝错误!－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!
＝错误!－错误!＝错误!＝错误!，
令f(x）＝2x＋1
x（x≥1），
则f′(x）＝2－错误!，当x≥1时,f′（x)〉0恒成立,
所以f(x)在1,＋∞)上是增函数，
故当x＝1时，f(x）min＝f(1）＝3,
即当n＝1时，(b n)max＝错误!,
要使对任意的正整数n，不等式b n≤k恒成立，则须使k≥(b n)max
＝错误!，
所以实数k的最小值为错误!。

考点函数与方程思想在解析几何中的应用
典例5 2015·陕西高考］已知椭圆E:x2
a2＋错误!＝1(a>b〉0)的
半焦距为c,原点O到经过两点(c,0)，（0,b）的直线的距离为错误!c。

(1)求椭圆E的离心率；
（2)如图，AB是圆M：（x＋2)2＋（y－1)2＝错误!的一条直径,若椭圆E经过A，B两点,求椭圆E的方程．
解］（1)过点(c，0)，(0，b）的直线方程为bx＋cy－bc＝0，则原点O到直线的距离d＝错误!＝错误!，
由d＝错误!c,得a＝2b＝2错误!，解得离心率错误!＝错误!。

（2)解法一：由(1)知,椭圆E的方程为
x2＋4y2＝4b2.①
依题意,圆心M(－2，1)是线段AB的中点，且|AB|＝错误!.
易知，AB与x轴不垂直,设其方程为y＝k（x＋2)＋1，代入①得（1＋4k2）x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0。

设A(x1，y1),B（x2，y2)，
则x1＋x2＝－错误!，
x1x2＝错误!.
由x1＋x2＝－4,得－错误!＝－4，
解得k＝错误!.从而x1x2＝8－2b2.
于是｜AB|＝错误!｜x1－x2｜
＝错误!错误!＝错误!。

由|AB|＝错误!，得错误!＝错误!,解得b2＝3。

故椭圆E的方程为x2
12
＋错误!＝1。

解法二:由（1）知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.②
依题意，点A，B关于圆心M(－2,1)对称，且｜AB|＝10。

设A(x1，y1)，B（x2，y2),则
x错误!＋4y错误!＝4b2，x错误!＋4y错误!＝4b2，
两式相减并结合x1＋x2＝－4,y1＋y2＝2,得
－4(x1－x2)＋8(y1－y2）＝0。

易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，
所以AB的斜率k AB＝错误!＝错误!。

因此直线AB的方程为y＝错误!(x＋2）＋1，代入②得
x2＋4x＋8－2b2＝0.
所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2.
于是|AB|＝错误!｜x1－x2|
＝错误!错误!＝错误!。

由|AB|＝错误!,得错误!＝错误!，解得b2＝3。

故椭圆E的方程为错误!＋错误!＝1。

函数与方程思想在解析几何中的应用
（1)利用方程求椭圆离心率的方法
第一步：设椭圆的标准方程错误!＋错误!＝1。

第二步：转化几何、向量、三角等关系为数量关系．
第三步：利用方程思想建立a、b、c的关系式．
构建离心率e＝错误!或e＝错误!(a>b>0）．
（2)解析几何中的最值问题
解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关系，将目标量表示为一个（或者多个）变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决．
(3）解析几何中的范围问题的解题步骤
第一步：联立方程．
第二步：求解判别式Δ.
第三步：代换．利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系,将其代换．第四步:下结论．将上述等量代换式代入Δ〉0或Δ≥0中,即可求出目标参数的取值范围．
第五步:回顾反思．在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的关键环节．
【针对训练5】已知椭圆C：错误!＋错误!＝1(a>b>0）的离心率为错误!，左、右焦点分别为F1、F2，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．
（1）求椭圆C的标准方程;
(2)设Q为椭圆C上不在x轴上的一个动点，过点F2作OQ的平行线交椭圆C于M、N两个不同的点,记△QF2M的面积为S1，△OF2N的面积为S2，令S＝S1＋S2，求S的最大值．
解（1）由题意知e＝错误!＝错误!,
所以e2＝错误!＝错误!＝错误!，
即a2＝2b2,又以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆为x2＋y2＝b2，且与直线x－y＋2＝0相切，所以b＝错误!＝错误!，所以a2＝4，b2＝2，故椭圆C的标准方程为错误!＋错误!＝1.
（2）设M(x1,y1)，N(x2，y2），直线OQ:x＝my，则直线MN：x ＝my＋错误!，
由错误!得(m2＋2)y2＋2错误!my－2＝0，
y1＋y2＝－错误!，y1y2＝－错误!.
所以｜MN｜＝错误!|y2－y1｜
＝错误!错误!
＝错误!错误!
＝错误!，
因为MN∥OQ,所以△QF2M的面积等于△OF2M的面积，S＝S1＋S2＝S△O MN，
因为点O到直线MN：x＝my＋错误!的距离d＝错误!，
所以S＝错误!|MN｜·d＝错误!×错误!×错误!＝
错误!。

令m2＋1＝t，则m2＝t2－1（t≥1），S＝错误!＝错误!,
因为t＋错误!≥2错误!＝2（当且仅当t＝错误!,即t＝1，也即m＝0时取等号）,所以当m＝0时，S取得最大值 2.
考点函数与方程思想在平面向量中的应用典例6 已知e1，e2是单位向量，e1·e2＝错误!。

若向量b满足b·e1＝2，b·e2＝错误!，且对于任意x，y∈R，｜b－（x e1＋y e2)｜≥｜b－（x0e1＋y0e2)|＝1（x0，y0∈R），则x0＝______，y0＝________,｜b|＝________.
解析] 问题等价于｜b－（x e1＋y e2）|当且仅当x＝x0，y＝y0时取到最小值1，
即|b－（x e1＋y e2）|2＝b2＋x2e错误!＋y2e错误!－2x b·e1－2y b·e2＋2xy e1·e2＝｜b|2＋x2＋y2－4x－5y＋xy在x＝x0,y＝y0时取到最小值1,
又|b｜2＋x2＋y2－4x－5y＋xy＝x2＋（y－4)x＋y2－5y＋|b|2＝
2＋错误!（y－2)2－7＋|b|2，
错误!
所以错误!解得错误!
答案］ 1 2 2错误!
函数与方程思想在平面向量中的应用策略平面向量问题的函数(方程)法是把平面向量问题，通过模、数量积等转化为关于相应参数的函数(方程)问题,从而利用相关知识结合函数或方程思想来处理有关参数值问题．其一般的解题要点如下：（1)向量代数化，利用平面向量中的模、数量积等,结合向量的位置关系、数量积公式等进行代数化，得到含有参数的函数（方程)．(2）代数函数(方程)化，利用函数（方程）思想,结合相应的函数(方程）的性质来求解问题．
(3)得出结论，根据条件建立相应的关系式，并得到对应的结论．
【针对训练6】已知e1,e2是平面两个相互垂直的单位向量，若向量b满足｜b|＝2，b·e1＝1，b·e2＝1，则对于任意x，y∈R，|b－（x e1＋y e2)｜的最小值为________．
答案错误!
解析|b－(x e1＋y e2)|2＝b2＋x2e错误!＋y2e错误!－2x b·e1－2y b·e2＋2xy e1·e2＝|b｜2＋x2＋y2－2x－2y＝(x－1)2＋（y－1)2＋2≥2,
当且仅当x＝1，y＝1时，｜b－（x e1＋y e2)｜2取得最小值2，此时｜b－（x e1＋y e2）|取得最小值错误!，故填错误!。