精编版-2006考研数学一真题及答案

2006考研数学一真题及答案
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
(1)0ln(1)
lim 1cos x x x x
→+=-.
(2)微分方程(1)
y x y x
-'=の通解是 .
(3)
设
∑
是锥面
z =(
01
z ≤≤)の下侧,则
23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑
++-=⎰⎰ .
(4)点(2,1,0)到平面3450x y z ++=の距离z = .
(5)设矩阵2112⎛⎫
=
⎪-⎝⎭
A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵
B 满足2=+BA B E ,则
B = .
(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上の均匀分布,则
{}max{,}1P X Y ≤= .
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出の四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前の字母填在题后の括号内)
(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处の增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应の增量与微分,若0x ∆>,则
(A)0dx y <<∆ (B)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<<
(D)0dy y <∆<
(8)设(,)f x y 为连续函数,则
1
40
(cos ,sin )d f r r rdr π
θθθ⎰
⎰等于
(A)
(,)x
f x y dy ⎰⎰
(B)
(,)f x y dy ⎰
⎰
(C)
(,)y
f x y dx ⎰
⎰
(C)
(,)f x y dx ⎰
⎰
(9)若级数
1
n
n a
∞
=∑收敛,则级数
(A)
1n
n a
∞
=∑收敛 (B)
1(1)
n
n n a ∞
=-∑收敛
(C)
11
n n n a a ∞
+=∑收敛
(D)
1
1
2n n n a a ∞
+=+∑收敛 (10)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1
(,)0y x y ϕ≠.已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下の一个极值点,下列选项正确の是
(A)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=
(B)
若
00(,)0
x f x y '=,则
00(,)0y f x y '≠
(C)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=
(D)
若
00(,)0
x f x y '≠,则
00(,)0y f x y '≠
(11)设12,,,,s ααα均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确の是 (A)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (B)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性无关
(C)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (D)若12,,
,,s ααα线性无关,则12,,
,,s A αA αA α线性无关.
(12)设A 为3阶矩阵,将A の第2行加到第1行得B ,再将B の第1列の-1倍加到第2
列得C ,记110010001⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
P ,则
(A)1
-=C P AP
(B)1
-=C PAP
(C)T
=C P AP
(D)T
=C PAP
(13)设,A B 为随机事件,且()0,(|)1P B P A B >=,则必有
(A)()()P A
B P A > (B)()()P A B P B >
(C)()()P A B P A = (D)()()P A B P B =
(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布2
22(,)N μσ,
且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则
(A)12σσ< (B)12σσ>
(C)12μμ<
(D)12μμ>
三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分) 设区域D=
(){}22,1,0x y x y x +≤≥,计算二重积分22
11D
xy
I dxdy x y +=++⎰⎰
. (16)(本题满分12分)
设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==. 求:(1)证明lim n x x →∞
存在,并求之.
(2)计算2
1
1lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭
. (17)(本题满分12分) 将函数()2
2x
f x x x =
+-展开成x の幂级数.
(18)(本题满分12分) 设函数
()()0,,f u +∞在内具有二阶导数
且z f
=满足等式
222
20z z
x y
∂∂+=∂∂. (1)验证()()
0f u f u u
'''+
=. (2)若()()10,11,f f '==求函数()f u の表达式. (19)(本题满分12分) 设在上半平面(){},0D x y y =>内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意の0t >都
有
()()2,,f tx ty t f x y =.
证明: 对L 内の任意分段光滑の有向简单闭曲线L ,都有
(,)(,)0L
yf x y dx xf x y dy -=⎰.
(20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组
1234123412
341435131
x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪
++-=-⎨⎪++-=⎩ 有3个线性无关の解,
(1)证明方程组系数矩阵A の秩()2r =A . (2)求,a b の值及方程组の通解. (21)(本题满分9分)
设3阶实对称矩阵A の各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1T
T
=--=-αα是线性方程组0x =A の两个解.
(1)求A の特征值与特征向量.
(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T
=Q AQ A . (22)(本题满分9分)
随机变量x の概率密度为()()2
1
,1021,02,,4
0,令其它x x f x x y x F x y ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩为二维随机变量
(,)X Y の分布函数.
(1)求Y の概率密度()Y f y . (2)1,42F ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
. (23)(本题满分9分)
设总体X の概率密度为(,0)F X = 10θθ- 01
12x x <<≤<其它
,其中θ是未知参数
(01)θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X の简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于
1の个数,求θの最大似然估计.
参考答案 一、填空题
（1）0ln(1)
lim
1cos x x x x
→+-= 2 .
221
cos 1,)1ln(x x x x -+ （0x →当时）
（2）微分方程(1)
y x y x
-'=の通解是(0)x y cxe x -=≠，这是变量可分离方程.
（3）设∑
是锥面1)Z ≤≤の下侧，则
23(1)2xdydz ydzdx z dxdy π∑
++-=
⎰⎰
补一个曲面221
:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩
1上侧
,2,3(1)P x Q y R z ===-
1236P Q R
x y z
∂∂∂++=++=∂∂∂ ∴
1
6dxdydz ∑
∑Ω
+=⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰（Ω为锥面∑和平面1∑所围区域）
6V =（V 为上述圆锥体体积）
623
π
π=⨯
=
而1
23(1)0dydz ydzdx z dxdy ∑⨯++-=⎰⎰
（∵在1∑上：1,0z dz ==）
（4
）,1,0,450x y z d ++==
点(2)到平面3的距离
d =
=
==
(5)设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .
-1 2
解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得
|B ||A -E |=|2E |=4,
计算出|A -E |=2,因此|B |=2. （6）
9
1 二、选择题
（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0f x '>，()0f x ''>，x ∆为自变量x 在0x 处の增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应の增量与微分.若0>∆x ，则[A]
0)(0)(0)(0)(<∆<<<∆<∆<∆<<y dy D dy y C dy y B y dy A
()0,()f x f x '>因为则严格单调增加 ()0,()f x f x ''>则是凹的 y dy x ∆<<>∆0,0故又
2
2
1
2211220
(8)(,)(cos ,sin )[C]
(A)(,)(B)(,)x x x
f x y d f r r rdr dx f x y dy
dx f x y dy
πθθθ--⎰⎰⎰
⎰
⎰
⎰
40
设为连续函数,则等于
2222112
20
(C)(,)(D)(,)y y y
dy f x y dx
dy f x y dx --⎰
⎰
⎰
⎰
1
111
11
1
1
1
(9)[D]
()()(1)()()(
)
2n n n n n n n n n n n n n n n a A a B a a a C a a D a
∞
=∞
∞
==∞
∞
∞
+++===-+∑∑∑∑∑∑若级数收敛,则级数
收敛
收敛
收敛
收敛
也收敛
00000000000000000(10)(,)(,)(,)0,(,)(,)0y x y x y x y x y f x y x y x y x y f x y x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x ϕϕϕ'≠=''''≠''''≠≠设与均为可微函数,且已知(,)是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是[D]
(A)若(,)=0,则(,)=0(B)若(,)=0,则(,)0(C)若(,)0,则(,)=0
(D)若(,)0,则(,00000000000000000(,)(,)
(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0
(,)(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)
(,)0x x x y y y y y x
y x y y x y f x y x y f x y x y f x y x y x y f x y f x y x y x y f x y x y x y f x y λλϕλϕλϕϕϕϕλϕϕ≠+'''⎧+=⎪
'''+=⎨⎪'
=⎩'''''≠∴=-=
'''≠)0
构造格朗日乘子法函数F=F =F =F =今代入(1)得今00,(,)0
[]
y f x y D '≠则故选 (11)设1,2,…,s 都是n 维向量，A 是m ⨯n 矩阵，则（ ）成立.
(A) 若1,2,…,s 线性相关,则A 1,A 2,…,A s 线性相关. (B) 若1,2,…,s 线性相关,则A 1,A 2,…,A s 线性无关. (C) 若1,2,…,s 线性无关,则A 1,A 2,…,A s 线性相关. (D) 若1,2,…,s 线性无关,则A 1,A 2,…,A s 线性无关. 解: (A)
本题考の是线性相关性の判断问题,可以用定义解.
若1,2,…,s 线性相关,则存在不全为0の数c 1,c 2,…,c s 使得
c 11+c 22+…+c s s =0,
用A 左乘等式两边,得
c 1A 1+c 2A 2+…+c s A s =0,
于是A 1,A 2,…,A s 线性相关.
如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1.1,2,…,s 线性无关⇔ r(1,2,…,s )=s. 2. r(AB )≤ r(B ). 矩阵(A 1,A 2,…,A s )=A (1,2,…,s
),因此 r(A 1,A 2,…,A s )≤ r(1,2,…,s
). 由此马上可判断答案应该为(A).
(12)设A 是3阶矩阵,将A の第2列加到第1列上得B ,将B の第1列の-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0
P = 0 1 0 ,则 0 0 1
(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1
.
(C) C =P T AP . (D) C =PAP T
.
解: (B)
用初等矩阵在乘法中の作用得出
B =PA ,
1 -1 0
C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1. 0 0 1
（13）根据乘法公式与加法公式有： P(AB)=P(B)P(A/B)=P(B)
P(A ⋃B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A) 应选C （14）依题：
).1,0(~),
10(~2
2
1
1
N Y N x σμσμ--，
,1}1{11
11⎭
⎬⎫
<
⎩
⎨
⎧-=<-σσμμX P X P .1}1{2222⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧<-=<-σσμμY P Y P 因 },1{}1{21<-><-μμY P X P 即 .1122211
1⎭⎬⎫⎩
⎨⎧<->⎭⎬⎫⎩
⎨
⎧<
-σσμσσμY P X p 所以
.,1
1
212
1σσσσ<>
应选A
三、解答题
{}
2222
221
21
2022
202
1(15)(,)1,0,1:011ln(1)ln 21122
D
D D
xy
D x y x y x I dxdy
x y xy
dxdy x y r I dxdy d dr r x y
r ππππθ-
+=+≤≥=++=++===+=+++⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰设区域计算二重积分解
{}{}{}2
111
12121(16)0,sin (1,2,)(1)lim (2)lim()
:(1)
sin ,01,2sin ,0,lim ,n n n n n n x n n n
n n n n n n n n x x x x n x x x x x x n x x x x x x x A π+→∞
+→∞+→∞
<<===∴<≤≥=≤≥∴=设数列满足求
证明存在,并求之
计算解因此当时
单调减少
又有下界，根据准则1,存在递推公式两边取极限得
sin ,0A A A =∴=
2
1
sin (2)lim(),n x n n n x x ∞→∞原式=为"1"型
离散型不能直接用洛必达法则
2
201
1
sin lim ln()0sin lim()t t
t
t t
t t e t
→→=先考虑
23232
03
3
11
(cos sin )
1110()0()lim
26cos sin sin 1262lim
lim
226
2
t t t t t t t t t t t t t t t
t
t t
t
t
t
e
e
e
e
e →→→⎡⎤⎡⎤--+--+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
-
=====
2(17)()2x
f x x x x =+-将函数展开成的幂极数
()(2)(1)21x A B
f x x x x x ==+-+-+解:
2(1)(2)2,
32,
3
A x
B x x x A A ++-====
令 1
1,
31,
3
x B B =-=-=-令
)](1[1
31)
2
1(1
3
1)1(131)2(132)(x x x x x f --⨯
--⨯
=+⨯--⨯= 10001111()(1)(1),132332
n n n n n n n n n x x x x ∞∞∞+===⎡⎤=--=+-<⎢⎥⎣⎦∑∑∑
（18）设函数()(0,)f u +∞在
内具有二阶导数，且Z f
=满足等式
222
20z z
x y
∂∂+=∂∂ （I ）验证
()
()0f u f u u
'''+
= （II ）若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式 证：（I
）
z
z
f f x
y
∂∂''==∂∂
(
)
2
2
222
z
x
f f x
x y ∂'''=+∂+
(
)
()
2
2
32
22
22x y f f x y x y ''
'=+++
(
)()
22
2
32
222
2
2z
y x f f y
x y x y ∂''
'=+∂++同理
22220
()
()0z z f x y f u f u u
∂∂''
+=+
=∂∂'''∴+
=代入得成立
（II ）令(),;dp p dp du f u p c du u p u
'==-=-+⎰⎰则
ln ln ,()c
p u c f u p u
'=-+∴==
22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+===由得于是
（19）设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数(,)f x y 具有连续偏导数，且对任意0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=
证明：对D 内任意分段光滑の有向简单闭曲线L ，
都有0),(),(=-⎰
dy y x xf dx y x yf L
.
证：把2(,)(,)f tx ty t f x y t -=两边对求导 得：(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty tf x y ''+=- 令 1t =，则(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 再令 (,),(,)P yf x y Q xf x y ==-
所给曲线积分等于0の充分必要条件为
Q P
x y
∂∂=∂∂ 今
(,)(,)x Q
f x y xf x y x
∂'=--∂
(,)(,)y P
f x y yf x y y
∂'=+∂ 要求
Q P
x y
∂∂=∂∂成立，只要(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 我们已经证明，Q P
x y
∂∂∴
=∂∂，于是结论成立. (20)已知非齐次线性方程组
x 1+x 2+x 3+x 4=-1,
4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1，
ax 1+x 2+3x 3+bx 4=1
有3个线性无关の解.
① 证明此方程组の系数矩阵A の秩为2. ② 求a,b の值和方程组の通解. 解:① 设
1
,
2
,
3
是方程组の3个线性无关の解,则
2
-
1
,
3
-
1
是AX =0の两
个线性无关の解.于是AX =0の基础解系中解の个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.
又因为A の行向量是两两线性无关の,所以r(A )≥2.
两个不等式说明r(A )=2.
② 对方程组の增广矩阵作初等行变换: 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 (A |)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,
a 1 3
b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a
由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:
1 0
2 -4 2
→ 0 1 -1 5 -3 .
0 0 0 0 0
得同解方程组
x 1=2-2x 3+4x 4，
x 2=-3+x 3-5x 4，
求出一个特解(2,-3,0,0)T 和AX =0の基础解系(-2,1,1,0)T ,(4,-5,0,1) T .得到方程组の通解:
(2,-3,0,0)T +c 1(-2,1,1,0)T +c 2(4,-5,0,1)T , c 1,c 2任意.
(21) 设3阶实对称矩阵A の各行元素之和都为3,向量
1=(-1,2,-1)T ,2=(0,-1,1)T 都是齐次线性方程组AX =0の解.
① 求A の特征值和特征向量.
② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得
Q T AQ =Λ.
解:① 条件说明A (1,1,1)T =(3,3,3)T ,即
0=(1,1,1)T 是A の特征向量,特征值为3.又1,2都是AX =0の解说明它们也都是A の特征向量,特征值为0.由于1,2线性无关, 特征值0の重数大于1.于是A の特征值为3,0,0.
属于3の特征向量:c
0, c ≠0. 属于0の特征向量:c 1
1+c 22, c 1,c 2不都为0. ② 将0单位化,得0=(33,33,3
3)T . 对1,2作施密特正交化,の1=(0,-22,22)T ,2=(-36,66,6
6)T . 作Q =(0,1,2),则Q 是正交矩阵,并且
3 0 0
Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 .
0 0 0
（22）随机变量X の概率密度为⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-=其他
,020,4
10
1,21)(x x x f X ，令2X Y =，),(y x F 为二维随
机变量）
（Y X ,の分布函数. （Ⅰ）求Y の概率密度；（Ⅱ）)4,2
1(-
F 解： （Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<=≤=≤=y
y y y y X P y Y P y F Y 4,141,)2(10,)1(0,0)()()(2式式 ⎰⎰=+=≤≤-=-y y
y dx dx y X y P 00434121)()1(式； ⎰⎰+=+=≤≤-=-y y dx dx y X y P 0014
1214121)()2(式. 所以：⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<==其他,041,811
0,83)()('y y
y y y F y f Y Y 这个解法是从分布函数の最基本の概率定义入手，对y 进行适当の讨论即可，在新东方の辅导班里我也经常讲到，是基本题型.
（Ⅱ）
)4,2
1(-F )2
12()22,21()4,21()4,21(2-≤≤-=≤≤--≤=≤-≤=≤-≤=X P X X P X X P Y X P 41212
11==⎰-
-dx . （23）设总体X の概率密度为⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤-<<=其他,021,110,),(x x x f θθθ，其中θ是未知参数（0<θ<1）.
n X X X ,,21为来自总体の简单随机样本，
记N 为样本值n x x x ,,21中小于1の个数.求θ
の最大似然估计.
解：对样本n x x x ,,21按照<1或者≥1进行分类：pN p p x x x ,,21<1，pn pN pN x x x ,,21++≥1.
似然函数⎩
⎨⎧≥<-=++-其他，,01,,,1,,)1()(2121pn pN pN pN p p N n N x x x x x x L θθθ， 在pN p p x x x ,,21<1，pn pN pN x x x ,,21++≥1时， )1ln()(ln )(ln θθθ--+=N n N L ，
01)(ln =---=θθθθN n N d L d ，所以n N =最大θ.。