分类讨论思想在高中数学解题中的应用

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解题技巧与方法
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㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０１
分类讨论思想在高中数学解题中的应用
分类讨论思想在高中数学解题中的应用Һ王军平㊀（甘肃省泾川县第一中学，甘肃㊀平凉㊀７４４３９９）
㊀㊀ʌ摘要ɔ随着素质教育理念的提出，我国教育行业发展走向新征程，教学重点在教师带来的教学新思路的基础上，提出了更高的要求．为做到促进学生全面发展，教师应当从思维训练入手，将学生带入自主学习的环境中．基于此，文章将从分类讨论思想着手，通过举例说明阐释其内涵，以及在高中数学解题中的应用，以期为其他教师训练学生思维提供参考．
ʌ关键词ɔ分类讨论思想；高中数学；解题应用
引㊀言
由于高中阶段的数学难度相对较大，学生在解题的过程中常出现没有思路的情况，而这反映出教师在日常教学中没能帮助学生开拓思维的弊病．因此，教师要积极就思维训练设计更适合开拓学生思维的教学活动．分类讨论思想在高中数学题目中渗透较深，大量题目都需要找准分类的标准进行讨论，这说明教师应当提升对此类问题的重视程度，并借助多种教学方法，化繁为简，降低解题难度，从而使学生在产生主观能动性的前提下参与到题目解答活动中，实现数学思维能力的提升．
一㊁分类讨论思想内涵（一）定义
所谓分类讨论思想指的就是在解决问题时，无法仅借助一种形式对结果予以确定，需要就未知量的取值范围进行讨论的解题思想．讨论的分类要从题目本身出发，利用分解的方式，将一个问题转变为多个小问题，从而逐一解决．此种数学思想在高中数学教学中对培养学生由复杂到一般㊁由整体到部分再到整体的思维模式起到了积极的作用，教师应当结合具体题目来培养学生自主解题的能力，并总结题目中有关分类讨论思想的具体应用．
（二）分类原则
结合实践教学，将分类讨论思想应用于高中数学题目的解答中，要求根据以下四个原则：（１）相称原则：要求最终得到的总情况与各类情况的总数和范围均一致；（２）互斥原
则：每一类别之间具备互不相容的特点，即范围之间不存在交集；（３）统一原则：分类标准要统一，不得出现多种分类标准；（４）层次原则：按照从大类到小类的顺序，先确定大类标准，而后在大类下继续细分，突显出分明的层次．
（三）一般步骤
由于含有参数是分类讨论思想应用的关键标志，所以文章要根据参数对题目中各条件的限制展开分析，分析每种情况下应当如何处理，从而得出在每种分类下的结果，最终得出将所有符合题目已知条件的结果整理成总体的结
论［４］．在实际教学中，学生在确定分类标准时出错较多，因此，教师要针对此类问题在日常教学中有意识的锻炼并引导学生总结隐藏分类标准㊁确定的着手点．在高中阶段，隐藏分类标准确定的着手点可从概念㊁运算㊁公式定理㊁图像特征和参数入手，例如：直线倾斜角㊁绝对值㊁分母不为零等，都可能成为分类标准的切入点，教师要结合具体问题引导学生总结，从而形成此类问题处理的数学模型．
（四）常见形式
在高中数学中，分类讨论思想应用的形式包括：（１）一元二次方程：根据ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０具体的方程参数，确定根的个数，此时需要就ａ是否为零展开讨论；（２）集合：针对无法确定集合是否为空集的情况加以讨论，按照Ａ＝∅和Ａʂ∅进行分类；（３）二次函数：一般在对称轴确定的环节需要应用此种思想，因题目中含有参数无法确定对称轴所在范围，需要按照对称轴在限定区间的中间㊁左侧和右侧加以讨论；（４）分段函数：题目中给出分段函数的对应表达式，需要按照各个区间段分类，讨论自变量在哪一区间内，而后继续求值；（５）对数函数和指数函数：题目中关于底数并未明确，因此要按照ａ＞１和０＜ａ＜１进行讨论；（６）奇偶性：含有参数的函数中要按照参数对于结果的影响进行分类；（７）复合函数：一般见于三角函数和其他函数构成的复合函数中，按照三角函数不同区间的单调性进行分类；（８）直线方程：直线方程表达式由点斜式确定的题目中，按照是否存在斜率进行分类；（９）圆相切：按照外切和内切进行分类；（１０）圆
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锥曲线：由于焦点位置影响解析式，所以需要按照焦点的可能区域进行分类．除此以外，还要从焦点的位置加以考虑，按照落在ｙ轴和ｘ轴进行分类；（１１）数列：题目中给出求和公式，要求得出通项表达式，此时需要按照ｎ进行分类；（１２）切点方程：按照点Ｐ是否为切点进行分类；（１３）双曲线：在题目中并未明确渐近线形成的角度，需要按照不同的角度进行分类；（１４）单调性：按单调递增和单调递减进行分类［６］．
二㊁分类讨论思想在高中数学解题中的应用（一）在三角函数中的应用
给出题目：ｆｘ()＝ｓｉｎ５π６－２ｘ()
－２ｓｉｎｘ－π４
()ｃｏｓｘ＋３π
４
()
，
当ｘɪπ１２，π
３
[]，可以得到Ｆｘ()ｍｉｎ
＝－４λｆｘ()－ｃｏｓ４ｘ－π
３
()＝
－
３
２
，求出λ的值．首先，需要化简原式，通过化简得到：ｆｘ()＝ｓｉｎ５π６
－２ｘ()－２ｓｉｎｘ－
π４(
)ｃｏｓｘ＋３π４()
＝ｓｉｎ２ｘ－π
６
()，带入到Ｆｘ()中，得
到Ｆｘ()＝－４λｆｘ()－ｃｏｓ４ｘ－π３()＝－４λｓｉｎ２ｘ－π
６()－
１－２ｓｉｎ２
２ｘ－π６()[]＝２ｓｉｎ２
２ｘ－π６()－４λｓｉｎ２ｘ－π
６
()－１＝２ｓｉｎ２ｘ－π
６
()－λ[]２
－１－２λ２
，结合题目中的已知条件ｘɪ
π１２，π３[]，得到０ɤ２ｘ－π６ɤπ２，求出０ɤｓｉｎ２ｘ－π
６
()ɤ１．由此需要就λ的值予以讨论［７］．
（１）当λ＜０时，ｓｉｎ２ｘ－π６
(
)＝０时，Ｆｘ()
ｍｉｎ
＝－１，但这与
已知条件中Ｆｘ()ｍｉｎ＝－３
２
不符，舍去；（２）当０ɤλɤ１，ｓｉｎ２ｘ－π６
(
)＝λ时，Ｆｘ()
ｍｉｎ
＝－１－λ２＝－
３２．求得λ＝１２
或λ＝－
１２（不符，舍去）；（３）当λ＞１时，ｓｉｎ２ｘ－π６
(
)＝１时，
Ｆｘ()ｍｉｎ＝１－４λ＝－３２，求得λ＝５
８＜１，不符合讨论范围舍去．
最终，λ＝１
２
．
此题的解题思路是先将原式化简，将转变为二次函数，根据复合函数的性质和对称轴参数的特征，对取值范围展
开讨论，最终得出相应的结论．在此类问题的处理上，教师要指导学生对由三角函数转变为二次函数后依旧要根据三角函数的相应性质解决问题的关联关系予以深化，同时提醒学生注重知识间的联系，构建整体思维，避免出现碎片化的处理方式，强化构建系统数学理论［８］．
（二）在集合中的应用
给出题目：已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ２－ｘ－２＝０｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ２＋ｘ＋ａ＝０｝，ａɪＲ，ＡɣＢ＝Ａ，求ａ的取值范围．
首先，提问学生：此题可从哪个已知条件入手？学生通过观察，发现其中集合Ｂ与集合Ａ之间存在着联系，Ｂ⊆Ａ，
如若想要求出ａ的取值范围，需要就集合Ｂ中的元素情况加以分析．引导学生借助分类讨论的思想，以小组为单位尽可能地选择不同的方法，求出ａ的取值范围．学生经过讨论，给出两种求解的方法［９］．
方法一㊀结合题目中的已知条件，求出集合Ａ中的元素，得到Ａ＝ｘ｜ｘ２－ｘ－２＝０{}＝－１，２{}，因为ＡɣＢ＝Ａ，得出Ｂ⊆Ａ，分类讨论集合Ｂ的可能情况：（１）当Ｂ＝∅，说明ｘ２＋ｘ＋ａ＝０没有实数根，进而得到Δ＝１－４ａ＜０，ａ＞
１
４
；（２）当集合Ｂ中元素总数为１时，说明方程ｘ２＋ｘ＋ａ＝０有相等的两个实根，即Δ＝１－４ａ＝０，则ａ＝
１４，求出集合Ｂｘ｜ｘ２＋ｘ＋１
４
＝０{}
＝－１２{}，但集合Ｂ中的元素不包含在集合Ａ中，说明与题意
不相符，舍掉；（３）当集合Ｂ中元素总数为２时，说明Ｂ＝－１，２{}，则两个元素是方程的两个实根，但经过计算－１＋２＜
０，不符合Δ＞０的条件，也不符合条件，舍去．因此，确定此题
中ａ的取值范围
１４
，＋ɕ()．方法二㊀直接对集合Ｂ的可能情况分类讨论，具体来讲为：（１）当Ｂ＝∅，Δ＝１－４ａ＜０，ａ＞１
４
与题意相符；（２）当Ｂ＝－１{}，
Δ＝１－４ａ＝０－１()２＋－１()＋ａ＝０
{
，不存在满足此条件的ａ；
（３）当集合Ｂ＝｛２｝时，
Δ＝１－４ａ＝０（２）２
＋（２）＋ａ＝０
{
，不存在满足此条件
的ａ；（４）当集合Ｂ＝｛－１，２｝时，
Δ＝１－４ａ＞０－１＋２ʂ－１
{
，不存在满足此条件的ａ．因此，满足题目条件ａ的取值范围是
１４
，＋ɕ()．以上两种方法都能够求出最终的结果，但结合学生在
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实际计算中的情况来看，使用方法一时需要先认真观察两个集合，明确各个元素所代表的具体含义，分析确定限定元素的条件．在此题中，出现了方程，其是否具备实数根以及实数根的具体值代表相应的元素，并且因方程中存在着未知量，需要结合未知量讨论可能性，分类的关注点应当在判别式上．使用方法二的过程中，部分学生反映对于元素最多只有两个的分类数量可直接确定，不易遗漏，但元素数量增多时，使用此种方法就会出现分类不清，遗漏其中的可能情况．此时，教师可引导学生通过简单的列举，找出元素数量与讨论可能情况数量之间的关系．经过分析，发现讨论可能情况总量可用２ｎ表示，其中ｎ为元素数量，而在实际应用中也可按照此公式来检查是否遗漏分类．
（三）在不等式中的应用
给出题目：解关于ｘ的不等式ａｘ２＋（１－ａ）ｘ－１＞０的解集．
首先将原式变为：（ｘ－１）（ａｘ＋１）＞０，运用分类讨论思想，针对的（ｘ－１），（ａｘ＋１）具体范围予以讨论．并且由于ｘ前有系数ａ，需要先对ａ的范围进行讨论．引导学生自行就对应的可能范围进行分析，得出以下几种分类情况：（１）当ａ＝０时，原式变为：ｘ－１＞０，则求得的解集为ｘ＞１；（２）ａʂ０时，
原式变为：（ｘ－１）（ａｘ＋１）＞０，令（ｘ－１）（ａｘ＋１）＝０，得出ｘ１＝１，ｘ２＝－
１
ａ
．在得出此结果后，提问：ａ的值是否会对不等式解集范围的确定产生影响？在问题的引导下，学生能够对ａ
的取值范围分类讨论：当ａ＜０时，ｘ１＞ｘ２，原不等式解集是：
ｘ｜ｘ＜－１ａ，或ｘ＞１{}；当ａ＞０时，ｘ１
＞０，ｘ２
＞０．继续讨论：当
ｘ１＝ｘ２时，ａ＝－１，不等式的解集为？；当ｘ１＞ｘ２时，ａ＜－１，不等式的解集为ｘ｜－１
ａ
＜ｘ＜１{}
；当ｘ１＜ｘ２，－１＜ａ＜０，不等式的解集
为ｘ｜１＜ｘ＜－
１ａ
{}
．综合以上的分类讨论结果，可以得出原不
等式的最终解集：当ａ＝０时，解集为｛ｘ｜ｘ＞１｝；当－１＜ａ＜０，｛ｘ｜ｘ＞１｝；当ａ＝－１时，解集为∅；当ａ＜－１时，解集为ｘ｜
１
ａ
＜ｘ＜１{
}
．在此题的教学中，教师发现学生对分类的节点确定存在着一定的问题，说明其对于二次项系数前存在参数的不等式掌握的程度不足，这就需要教师在展示此题目前，给出简单的可通过直接判断得出不等式为一元一次或者一元二次的题目，从而在学生脑海中形成两种不同类型不等式的
具象化特征，以便于在讨论时分步讨论．分类讨论思想是高中阶段中解决问题的常见思想，为帮助学生生成有关此类题型的模型，教师要在题目讲解完毕后，利用思维导图将此类题型的处理流程予以展示．在此题中，需要就一元二次不等式含参数的题型对应的讨论顺序加以整理，具体来讲：首先要讨论是否存在二次项系数为零的情况；其次，要表示出判别式，并与零比较大小；最后，判断是否存在实根，比较两个实根大小．而学生只有掌握了此种类型题目的求解模型，才能在学习导数的过程中，轻松的求出单调区间．
结束语
综上所述，由于高中数学的整体难度较大，所以教师在开展教学环节时要从学生的个人发展入手，通过完善教学设计的方式，关注学生思维的进步．分类讨论思想对于学生利用辩证思维看待事物起到促进作用，通过强化其辩证思维可塑造其人格的特点，足以看出在教学中引入分类讨论思想的必要性和重要价值，因此教师在讲解与此种思想相关的题目时，要注重引导，引导学生通过自主学习和小组讨论的形式自行确定分类标准并总结解题模型，如此可有效塑造健康人格．
ʌ参考文献ɔ
［１］孙玲．数学思想方法在高中不等式教学中的应用研究［Ｊ］．科技资讯，２０２０，１８（３４）：１０５－１０７．
［２］陈秀君．浅析分类讨论思想在函数单调性讨论中的应用［Ｊ］．科学咨询（教育科研），２０２１（０４）：１１１－１１２．
［３］赵晓玲．高三数学答题 会而不对 现象的对策研究［Ｊ］．吉林省教育学院学报，２０２１，３７（１１）：１１－１４．
［４］石苍松．试论分类讨论思想在高中数学教学中的应用策略［Ｊ］．才智，２０２０（０９）：１５９．
［５］王秋华．高中数学课堂教学中分类讨论思想的应用初探［Ｊ］．中国新通信，２０２０，２２（１１）：１４７．
［６］付泽．数学思想在高中解析几何中的运用［Ｊ］．科技资讯，２０２０，１８（３０）：２５４－２５６．
［７］徐佳环．分类讨论思想在数学解题方式中的应用研究［Ｊ］．佳木斯职业学院学报，２０１９（０１）：１５９－１６０．
［８］王和玲．高考数学教学思想和解题方法的研究及探索［Ｊ］．华夏教师，２０１９（１０）：９１－９２．
［９］顾菊美．数学思想方法在高中函数教学中的有效渗透［Ｊ］．华夏教师，２０１９（２２）：４４－４５．。