2020新课标高考数学(理)二轮总复习课件：1-3-2 锥体中的线面关系与计算

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新课标高考第二轮总复习•理科数学
(2)求二面角 D－PC－B 的余弦值． 解析：(2)以 O 为原点，OC，OD，OP 为坐标轴，建立如图所示坐标系，可知 C(1,0,0)， D(0,1,0)，P(0，0， 3)，B(1，－1,0)，对于平面 PDC，设其法向量 m＝(x，y，z)， ∴D→P＝(0，－1， 3)，D→C＝(1，－1,0)． ∴x－－yy＋＝03，z＝0， 取 z＝1，y＝ 3，x＝ 3. 则 m＝( 3， 3，1)．
3＝ 6
26，
在
Rt△ADG
中，sin∠ADG＝AAGD＝
6 4.
故
BC
与平面
PCD
所成角的正弦值为
6 4.
(12 分)
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【知规则·规范解答】
——采点得分说明
直接由 EC∥FB，得出 CE∥平面 PAB，即无“BF⊂平面 PAB，EC⊄平面 PAB”
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(2)若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M－PA－C 为 30°，求 PC 与平面 PAM 所成角的 正弦值． 解析：(2)如图，以 O 为坐标原点，O→B的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 O－xyz.
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所以 2
3a2－34|a2＋－34a| 2＋a2＝ 23，解得 a＝－4(舍去)，a＝43，
所以 n＝－83 3，433，－43.又P→C＝(0,2，－2 3)， 所以 cos〈P→C，n〉＝ 43，
所以
PC
与平面
PAM
所成角的正弦值为
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考点一 求与锥体有关的棱长或距离
[例 3] (2019·南昌调研)已知三棱锥 P－ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，△ABC
满足 AB＝2 2，∠ACB＝90°，PA 为球 O 的直径且 PA＝4，则点 P 到底面 ABC 的
距离为( )
A. 2
又 AC∩FG＝G，可得 EG⊥平面 AFC.
因为 EG⊂平面 AEC，所以平面 AEC⊥平面 AFC.
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(2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值． [解析] (2)如图，以 G 为坐标原点，分别以G→B，G→C的方向为 x 轴、y 轴正方向， |G→B|为单位长度，建立空间直角坐标系 G－xyz.
又 AE⊥EC，所以 EG＝ 3，且 EG⊥AC.
在 Rt△EBG 中，可得 BE＝
2，故
DF＝
2 2.
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在
Rt△FDG
中，可得FG＝6 .在直角梯形 BDFE 中，由 BD＝2，BE＝
2，DF＝
22，可得
EF＝3
2
2 .
从而 EG2＋FG2＝EF2，所以 EG⊥FG.
B．2 2
C． 3
D．2 3
[答案] B
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[解析] 通性通法：求锥体中的距离问题一般转化为解直角三角形，通过连接截面 圆圆心和球心构造直角三角形． 取 AB 的中点 O1，连接 OO1，如图，在△ABC 中，AB＝2 2，∠ACB＝90°，所以 △ABC 所在截面圆是以 AB 为直径的圆 O1，所以 O1A＝ 2，且 OO1⊥AO1，又球 O 的直径 PA＝4，所以 OA＝2，所以 OO1＝ OA2－O1A2＝ 2，且 OO1⊥底面 ABC， 所以点 P 到平面 ABC 的距离为 2OO1＝2 2.
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又 BC∥AD，BC＝12AD， ∴EF∥BC，且 BC＝EF， ∴四边形 BCEF 是平行四边形， ∴EC∥FB，(4 分) 又 BF⊂平面 PAB，EC⊄平面 PAB， ∴CE∥平面 PAB. (5 分)
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(2)求 BC 与平面 PCD 所成角的正弦值． [解析] (2)连接 AC，在等腰梯形 ABCD 中可知 AC⊥CD， ∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥CD， ∴CD⊥平面 PAC， ∴平面 PCD⊥平面 PAC，(6 分) 在平面 PAC 内作 AG⊥PC 于 G， 则 AG⊥平面 PCD，
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对于平面 BPC，设其法向量 n＝(a，b，c)， ∴C→P＝(－1,0， 3)，C→B＝(0，－1,0)，
∴y－＝x0＋， 3z＝0， 取 z＝1，x＝ 3，y＝0，则 n＝( 3，0,1)，
∴cos〈m，n〉＝|nn|··m|m|＝
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(1)证明：平面 AEC⊥平面 AFC；
[解析] (1)证明：连接 BD，设 BD∩AC＝G，连接 EG，FG，EF.
在菱形 ABCD 中，不妨设 GB＝1.由∠ABC＝120°，可得 AG＝GC＝ 3.
由 BE⊥平面 ABCD，AB＝BC，可知 AE＝EC.
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2．异面直线及其夹角 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．把异面直线平移到一个平面内， 这时两条直线的夹角(锐角或直角)叫做两条异面直线所成的角．如果所成的角是直 角，则称两条异面直线互相垂直． 3．用向量法求异面直线所成的角的方法 若异面直线 a，b 的方向向量为 a，b，所成的角为 θ，则 cos θ＝|aa|··|bb|.
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[自我总结] _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________
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(1)证明：PO⊥平面 ABC；
解析：(1)证明：因为 AP＝CP＝AC＝4，O 为 AC 的中点，所以 OP⊥AC，且 OP ＝2 3.
连接 OB.因为 AB＝BC＝ 22AC，所以△ABC 为等腰直角三角形， 且 OB⊥AC，OB＝12AC＝2. 由 OP2＋OB2＝PB2，知 OP⊥OB. 由 OP⊥OB，OP⊥AC，AC∩OB＝O， 知 PO⊥平面 ABC.
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类型二 与锥体有关的面面关系及异面直线形成的角
突破异面直线所成的角与向量夹角 [例 2] 如图，四边形 ABCD 为菱形， ∠ABC＝120°，E，F 是平面 ABCD 同一侧 的两点，BE⊥平面 ABCD，DF⊥平面 ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
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由A→P·n＝0，A→M·n＝0，得a2xy＋＋24－3za＝y0＝，0，
可取 n＝( 3(a－4)， 3a，－a)，
所以 cos〈O→B，n〉＝2
2 3a－4 3a－42＋3a2＋a2 .
由已知得|cos〈O→B，n〉|＝ 23，
3 3.
|AE||CF|
易知直线 AE 与直线 CF 间的夹角为锐角，
所以直线
AE
与直线
CF
所成角的余弦值为
3 3.
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2．如图，多边形 ABCDE 中，∠ABC＝90°，AD∥BC，△ADE 是正三角形，AD＝ 2，AB＝BC＝1，沿直线 AD 将△ADE 折起至△ADP 的位置，连接 PB，PC，构成 四棱锥 P－ABCD，使得 PB＝ 5.
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由(1)可得 A(0，－ 3，0)，E(1,0， 2)，F－1，0， 22，C(0， 3，0)，所以A→E＝
(1， 3， 2)，C→F＝－1，－ 3， 22.
故|cos〈A→E，C→F〉|＝
→→ |A→E·C→F| ＝
4 ＝2 7·2
7
7 .
∵二面角
D－PC－B
为钝角，∴其余弦值为－2
7
7 .
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【悟方法·善于总结】 1．空间两个向量的夹角 已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB 叫做 向量 a 与 b 的夹角，记作〈a，b〉，其范围是 0≤〈a，b〉≤π. 如果〈a，b〉＝π2，则称 a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b.
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3．若球面上四点 P，A，B，C 构成的线段 PA，PB，PC 两两垂直，且 PA＝a，PB ＝b，PC＝c，则 4R2＝_a_2_＋__b_2＋__c_2_，把有关元素“补形”成为一个球内接长方体(或 其他图形)．
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扣1分 (1)没有证明过程，直接得出∠ADG 即为直线 AD 与平面 PCD 所成的角扣 2 分
(2)其余各步均正确，求解 BC 与平面 PCD 所成角的正弦值错误扣 3 分
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1. (2018·高考全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥 P－ABC 中，AB＝BC＝2 2 ，PA＝PB＝ PC＝AC＝4，O 为 AC 的中点．
专题三 立体几何 第二讲 锥体中的线面关系与计算
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1．正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是 底面__中__心__，这样的棱锥叫做正棱锥． 2．正棱锥的性质：各侧棱长度__相__等__，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三 角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高． 棱锥的高、斜高和斜足与底面中心连线组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和 侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形．
类型一 锥体中的线面关系及线面角计算 突破锥体概念及线面角 [例 1] (本题满分 12 分)(2019·绍兴三模)如图，四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，BC∥AD，且 PB＝AD＝2AB＝2BC＝2CD，E 是 PD 的中点．
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(1)求证：CE∥平面 PAB； [解析] (1)证明：如图，取 PA 中点 F，连接 EF，BF， ∵E 为 PD 的中点， ∴EF∥AD，且 EF＝12AD，(2 分)
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(1)求证：平面 PAD⊥平面 ABCD； 解析：(1)证明：取 AD 的中点 O，连接 PO，OB，OC. 可知 PO⊥AD，PO＝ 3，OB＝ 2，又∵PB＝ 5， ∴PO2＋OB2＝PB2. ∴PO⊥OB，OB∩AD＝O， ∴PO⊥平面 ABCD，PO⊂平面 PAD. ∴平面 PAD⊥平面 ABCD.
3 4.
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【悟方法·善于总结】 求锥体中线与面所成角的正(余)弦值，务必指明或求出所需的各量，并代入公式计 算，做到作、证、算于一体．
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[自我总结] _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________
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故∠ADG 即为直线 AD 与平面 PCD 所成的角，(8 分)
而 BC∥AD，所以 BC 与平面 PCD 所成角也等于∠ADG，
不妨设 AD＝2，
在 Rt△ACD 中，AC＝ADsin 60°＝ 3，
在 Rt△PAC 中，PC＝
PA2＋AC2＝
6，AG＝PAP·CAC＝
由已知得 O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，－2,0)，C(0,2,0)，P(0,0，2 3)，A→P＝(0,2,2 3)， 取平面 PAC 的法向量O→B＝(2，0,0)． 设 M(a,2－a,0)(0＜a≤2)， 则A→M＝(a,4－a,0)． 设平面 PAM 的法向量为 n＝(x，y，z)．