北京市高二上学期期末考试数学卷理科

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北京市2022年高二上期末数学试卷(理科)含答案解析

高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知双曲线=1的一条渐近线方程为y=，则双曲线的焦距为（）A． B．2C．2 D．102．（5分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y=3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）如表是某单位1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x1234用水量y45a7由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程是，则a等于（）A．6 B．6.05 C．6.2 D．5.955．（5分）下列四个命题：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”②“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的必要不充分条件③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题④对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x+1≥0．其中，错误的命题个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣2，则a的值为（）A．4 B．8 C．D．7．（5分）某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则样本的容量为（）A．40 B．100 C．80 D．508．（5分）下列程序框图中，输出的A的值是（）A．B．C．D．9．（5分）若双曲线C1以椭圆C2：+=1的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=110．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（）A．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”B．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”C．“至少1名男生”与“全是男生”D．“至少1名男生”与“全是女生”11．（5分）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（）A．32 B．40 C．48 D．5612．（5分）设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知，|F2Q|＞|F2A|，点P是双曲线C右支上的动点，且|PF1|+|PQ|＞|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B． C．D．二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）.13．（5分）已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k=．14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的过焦点的弦为AB，且|AB|=9，x A+x B=6，则p=．15．（5分）某校开展“爱我漳州、爱我华安”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91．复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清．若记分员计算无误，则数字x应该是．16．（5分）设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为．三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17．（10分）已知集合Z={（x，y）|x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]}．（1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率；（2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率．18．（12分）命题p：；命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．19．（12分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，90）之间的频数，并估计该班的平均分数；（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．20．（12分）已知O为坐标原点，M是椭圆=1上的点，设动点P满足．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m（m≠0）与曲线C相交于A，B两个不同点，求△OAB 面积的最大值．21．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．22．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）过点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的上顶点作直线l交抛物线x2=2y于A、B两点，O为原点．①求证：OA⊥OB；②设OA、OB分别与椭圆相交于C、D两点，过原点O作直线CD的垂线OH，垂足为H，证明：|OH|为定值．高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知双曲线=1的一条渐近线方程为y=，则双曲线的焦距为（）A． B．2C．2 D．10【解答】解：曲线=1的一条渐近线方程为y=，可得：=，解得m=4，则b=2，a=3，∴c=．双曲线的焦距为2．故选：B．2．（5分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y=3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，大圆的直径为y=3sin x的周期，且T==12，面积为S=π•=36π，一个小圆的面积为S′=π•12=π，在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：P===．故选：B．3．（5分）将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，基本事件总数n=6×6=36，∵方程ax2+bx+1=0有实数解，∴△=b2﹣4a≥0，∴方程ax2+bx+1=0有实数解包含的基本事件（a，b）有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共19个，∴方程ax2+bx+1=0有实数解的概率p=．故选：C．4．（5分）如表是某单位1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x1234用水量y45a7由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程是，则a等于（）A．6 B．6.05 C．6.2 D．5.95【解答】解：∵=（1+2+3+4）=2.5，=（4+5+a+7）=4+∴4+=2.5+3.05，解得：a=6.2，故选：C．5．（5分）下列四个命题：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”②“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的必要不充分条件③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题④对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x+1≥0．其中，错误的命题个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确，②由x2﹣3x+2＞0得x＞2或x＜1，即“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，故②错误，③若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故③错误，④对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x+1≥0．正确，故错误的个数为2个，故选：B6．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣2，则a的值为（）A．4 B．8 C．D．【解答】解：由抛物线y=ax2，得，由其准线方程为y=﹣2，可知抛物线开口向上，则a＞0．∴2p=，则．∴，得a=．故选：C．7．（5分）某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则样本的容量为（）A．40 B．100 C．80 D．50【解答】解：某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则10则，解得样本的容量n=100．故答案为：100．8．（5分）下列程序框图中，输出的A的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由程序框图可得：A i第一次循环后2第二次循环后3第三次循环后4…观察规律可知A的值为，可得：第九次循环后10不满足条件i＜10，跳出循环．则输出的A为．故选：A．9．（5分）若双曲线C1以椭圆C2：+=1的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：根据题意，椭圆C2：+=1的焦点坐标为（0，±3），长轴的端点坐标为（0，±5），若双曲线C1以椭圆C2的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的焦点为（0，±5），顶点为（0，±3），则双曲线中c=5，a=3，则b2=c2﹣a2=16，则双曲线的方程为：﹣=1，故选：B．10．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（）A．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”B．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”C．“至少1名男生”与“全是男生”D．“至少1名男生”与“全是女生”【解答】解：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，在A中，“至少1名男生”与“至少有1名是女生”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件，故B错误；在C中，“至少1名男生”与“全是男生”能同时发生，不是互斥事件，故C错误；在D中，“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件，故D正确．故选：D．11．（5分）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（）A．32 B．40 C．48 D．56【解答】解：设第一小组的频率为a，由频率分布直方图，得：a+2a+3a+0.0375×5+0.0125×5=1，a=0.125．∵第1小组的频数为6，∴报考飞行员的学生人数为：=48．故选：C．12．（5分）设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知，|F2Q|＞|F2A|，点P是双曲线C右支上的动点，且|PF1|+|PQ|＞|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B． C．D．【解答】解：令x=c代入双曲线的方程可得y=±b=±，由|F2Q|＞|F2A|，可得＞，即为3a2＞2b2=2（c2﹣a2），即有e=＜①又|PF1|+|PQ|＞|F1F2|恒成立，由双曲线的定义，可得2a+|PF2|+|PQ|＞3c恒成立，由F2，P，Q共线时，|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|=，可得3c＜2a+，即有e=＜②由e＞1，结合①②可得，e的范围是（1，）．故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）.13．（5分）已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k=．【解答】解：∵向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），∴=（4﹣k，﹣7，0），=（﹣2k，﹣2，0）．又A、B、C三点共线，∴存在实数λ使得，∴，解得．故答案为：﹣．14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的过焦点的弦为AB，且|AB|=9，x A+x B=6，则p=3．【解答】解：如图，∵AB过焦点F，且|AB|=9，x A+x B=6，∴|AB|=x A+x B+p=6+p=9，即p=3．故答案为：3．15．（5分）某校开展“爱我漳州、爱我华安”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91．复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清．若记分员计算无误，则数字x应该是1．【解答】解：由题意知去掉一个最高分94和一个最低分88后，余下的7个数字的平均数是91，即×（89+89+92+93+90+x+92+91）=91，∴636+x=91×7=637，解得x=1．故答案为：1．16．（5分）设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为+=1．【解答】解：由圆的方程可知，圆心C（﹣1，0），半径等于5，设点M的坐标为（x，y ），∵AQ的垂直平分线交CQ于M，∴|MA|=|MQ|．又|MQ|+|MC|=半径5，∴|MC|+|MA|=5＞|AC|．依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，且2a=5，c=1，∴b=，故椭圆方程为+=1，即+=1．故答案为：三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17．（10分）已知集合Z={（x，y）|x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]}．（1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率；（2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率．【解答】解：（1）设“x+y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0，2]，即x=0，1，2；y∈[﹣1，1]，即y=﹣1，0，1．则基本事件有：（0，﹣1），（0，0），（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），（2，1）共9个．其中满足“x+y≥0”的基本事件有8个，∴P（A）=．故x，y∈Z，x+y≥0的概率为．（2）设“x+y≥0，x，y∈R”为事件B，∵x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]，则基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分．基本事件如图四边形ABCD区域S=4，事件B包括的区域如阴影部分S′=S﹣=∴P（B）==．18．（12分）命题p：；命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：命题p：∀x∈R，x2+mx+1≥0为真，∴△=m2﹣4≤0⇒﹣2≤m≤2…（2分）命题q为真，即方程是焦点在y轴上的椭圆，∴0＜m＜2…（4分）又∵“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，∴p是真命题且q是假命题，或p是假命题且q是真命题…（6分）∴或…（10分），∴m的取值范围是[﹣2，0]∪{2}…（12分）19．（12分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，90）之间的频数，并估计该班的平均分数；（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．【解答】解：（1）由茎叶图知，分数在[50，60）之间的频数为2，频率为0.008×10=0.08，全班人数为；所以分数在[80，90）之间的频数为25﹣2﹣7﹣10﹣2=4，分数在[50，60）之间的总分为56+58=114；分数在[60，70）之间的总分为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456；分数在[70，80）之间的总分数为70×10+1+2+3+3+4+5+6+7+8+9=747；分数在[80，90）之间的总分约为85×4=340；分数在[90，100]之间的总分数为95+98=193；所以，该班的平均分数为；（2）将[80，90）之间的4个分数编号为1，2，3，4，[90，100]之间的2个分数编号为5，6，在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个，其中，至少有一个在[90，100]之间的基本事件有9个，∴至少有一份分数在[90，100]之间的概率是．20．（12分）已知O为坐标原点，M是椭圆=1上的点，设动点P满足．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m（m≠0）与曲线C相交于A，B两个不同点，求△OAB 面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设点P（x，y），M（x1，y1），由．，得x=2x1，y=2y1，因为点M在椭圆圆=1上，所以，故，即动点P的轨迹C的方程为．（Ⅱ）由曲线C与直线l联立得，消y得3x2+4mx+2m2﹣8=0，因为直线l与曲线C交于A，B两点，所以△=16m2﹣4×3×（2m2﹣8）＞0，又m≠0，所以0＜m2＜12．设设A（x3，y3），B（x4，y4），则，，因为点O到直线A：x﹣y+m=0的距离d=，|AB|===，所以S×=，×=2，当且仅当m2=12﹣m2，即m2=6时取等号，所以△OAB面积的最大值为221．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）22．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）过点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的上顶点作直线l交抛物线x2=2y于A、B两点，O为原点．①求证：OA⊥OB；②设OA、OB分别与椭圆相交于C、D两点，过原点O作直线CD的垂线OH，垂足为H，证明：|OH|为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵e=，∴，则，又∵在椭圆上，∴，解得a=2，，∴椭圆的方程为；（Ⅱ）①证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2），依题意，直线l一定有斜率k，l的方程为y=kx+2，联立方程，消去y得：x2﹣2kx﹣4=0，∴x1x2=﹣4，则，∴=x1x2+y1y2=﹣4+4=0，∴OA⊥OB；②证明：设C（x3，y3）、D（x4，y4），直线CD的方程为y=mx+n，∵OA⊥OB，∴OC⊥OD，则x3x4+y3y4=0．联立，消去y得：（3m2+4）x2+6mnx+3n2﹣12=0，∴，，∴．由，得7n2=12（1+m2），即|n|=，∵OH⊥CD，∴．∴|OH|为定值．。

北京市海淀区2023-2024学年高二上学期期末练习数学试卷含答案

海淀区高二年级练习数学（答案在最后）2024.01考生须知1．本试卷共7页，共3道大题，19道小题．满分100分．考试时间90分钟．2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，请将本试卷交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.椭圆C ：2222x y +=的焦点坐标为（）A.(1,0)-，(1,0) B.(0,1)-，(0,1)C.()，)D.(0,，(【答案】B 【解析】【分析】先化为标准方程2212y x +=，求得222,1,1a b c ====，判断焦点位置，写焦点坐标.【详解】因为椭圆C ：2222x y +=，所以标准方程为2212y x +=，解得222,1,1a b c ===，因为焦点在y 轴上，所以焦点坐标为(0,1)-，(0,1).故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2.抛物线2y x =的准线方程是（）A.12x =-B.14x =-C.12y =-D.14y =-【答案】B 【解析】【分析】由抛物线的标准方程及性质，直接求解.【详解】由抛物线方程2y x =可知1212p p ==，，故准线方程为：124p x =-=-.故选：B.3.直线310x ++=的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.【详解】因为直线方程为310x +=，所以斜率k ==设倾斜角为θ，所以tan θ=，所以120θ=°，故选：C.4.已知点P 与(0,2),(1,0)A B -共线，则点P 的坐标可以为（）A.(1,1)- B.(1,4)C.1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D.(2,1)-【答案】B 【解析】【分析】三点共线转化为向量共线，利用共线条件逐个判断即可.【详解】设(,)P x y ，则(,2),(1,2)AP x y AB =-=--，由,,P A B 三点共线，则//AP AB，所以2(2)0x y -+-=，则220x y -+=.选项A ，21(1)250⨯--+=≠，不满足220x y -+=，故A 错误；选项B ，21420⨯-+=，满足220x y -+=，故B 正确；选项C ，12(1)2202⎛⎫⨯---+=≠ ⎪⎝⎭，不满足220x y -+=，故C 错误；选项D ，2(2)1230⨯--+=-≠，不满足220x y -+=，故D 错误.故选：B.5.已知P 为椭圆222:14x y C b+=上的动点．(1,0),(1,0)A B -，且||||4PA PB +=，则2b =（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合椭圆的定义，得到点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，进而求得2b 的值.【详解】因为(1,0),(1,0)A B -，可得2AB =，则||||42A PA PB B +>==，由椭圆的定义，可得点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，其中24,21a c ==，可得2,1a c ==，所以2223b a c =-=，又因为点P 在椭圆222:14x y C b+=，所以23b =.故选：C.6.已知三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由面面垂直的性质定理可证明“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件，由底面为正三角形的直三棱柱模型，可知“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.【详解】①已知侧面11ABB A ⊥底面ABC ，且侧面11ABB A 底面ABC AB =，又BC ⊂平面ABC ，若BC AB ⊥，则由面面垂直的性质定理可得BC ⊥平面11ABB A ，1BB ⊂平面11ABB A ，则1CB BB ⊥，所以则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件；②若三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，底面ABC 是正三角形，则1BB ⊥底面ABC ，1BB ⊂平面11ABB A ，则满足条件侧面11ABB A ⊥底面ABC .又BC ⊂平面ABC ，则1CB BB ⊥，但BC 与AB 不垂直.所以“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.综上所述，“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要不充分条件.故选：B.7.在空间直角坐标系O xyz -中，点(2,3,1)-P 到x 轴的距离为（）A.2B.3C.D.【答案】D 【解析】【分析】结合空间直角坐标系，数形结合利用勾股定理求解点(2,3,1)-P 到x 轴的距离.【详解】在空间直角坐标系O xyz -中，过P 作PH ⊥平面xOy ，垂足为H ，则PH x ⊥轴，在坐标平面xOy 内，过H 作1HP x ⊥轴，与x 轴交于1P ，由(2,3,1)-P ，则1(2,0,0)P -，(2,3,0)H -，由1PH HP H = ，PH ⊂平面1PHP ，1HP ⊂平面1PHP ，则x 轴⊥平面1PHP ，1PP ⊂平面1PHP ，则x 轴1PP ⊥，故1PP即点(2,3,1)-P 到x 轴的距离，则1PP ==故选：D.8.已知双曲线222:1y C x b-=的左右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，以1A F 为直径作圆，与双曲线C 的右支交于两点,P Q ．若线段PF 的垂直平分线过2A ，则2b 的数值为（）A.3B.4C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】由双曲线方程得1a =，结合圆的性质及线段垂直平分线的性质得2A 是1A F 的中点，得到,a c 关系求c ，进而求出2b .【详解】由双曲线222:1y C x b-=，得1a =，12(1,0),(1,0),(,0)A A F c -，由题意，点P 在以1A F 为直径的圆上，则1A P PF ⊥，取PF 的中点M ,由线段PF 的垂直平分线过2A ，则2A M PF ⊥，则12//A P A M ，故2A 是1A F 的中点，122A A A F=且12222,1A A a A F c a c ===-=-，所以12c -=，解得3c =，故222918b c a =-=-=.故选：C.9.设动直线l 与()22:15C x y ++= 交于,A B 两点．若弦长AB 既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l 的方程可以是（）A.2x y a +=B.2ax y a +=C.2ax y +=D.x ay a+=【答案】D 【解析】【分析】由动直线恒与圆相交得直线过圆内一定点，再验证弦长取最值即可.【详解】()22:15C x y ++= ，圆心(1,0)C -，半径5r =，选项A ，由直线2x y a +=斜率为12-，可得动直线为为平行直线系，圆心(1,0)C -到直线20x y a +-=的距离15a d --=当6a ≤-或4a ≥时，5d ≥A 错误；选项B ，由直线2ax y a +=可化为(2)0a x y -+=，则直线恒过(2,0)，因为()2215+>，点(2,0)在圆外，故直线不一定与圆相交，故B 错误；选项C ，由直线2ax y +=恒过(0,2)，点(0,2)在圆上，当12a =时，直线方程可化为240x y +-=，此时圆心(1,0)C -到直线240x y +-=的距离1455d r --===，圆与直线相切，不满足题意，故C 错误；选项D ，由直线方程x ay a +=可化为(1)0x a y +-=，则直线恒过(0,1)M ，且点M 在圆C 内，故直线恒与圆C 相交，当直线过圆心C 时，弦长最长，由(1,0)-在直线(1)0x a y +-=上，可得1a =-，AB 取到最大值；如图，取AB 中点T ，则CT AB ⊥，圆心到直线的距离d CT CM=≤AB ==，当d 取最大值CM 时，弦长最短，即当直线与CM 垂直时，弦长最短，由CM 的斜率为01110CM k -==--此时直线斜率为11k a==，即当1a =时，AB 取到最小值.故D 正确.故选：D.10.如图，已知菱形ABCD 的边长为2，且60,,A E F ∠=︒分别为棱,AB DC 中点．将BCF △和ADE V 分别沿,BF DE 折叠，若满足//AC 平面DEBF ，则线段AC 的取值范围为（）A. B. C.2,⎡⎣ D.2,⎡⎣【答案】A 【解析】【分析】借助空间直观想象，折叠前在平面图形中求出AC 的长度，折叠过程中证明平面//EAB 平面FDC ，面面距离即为AC 的最小值，由此得到AC 的范围.【详解】折叠前，连接,AC BD .由题意，在菱形ABCD 中，2AB BC ==，18060120ABC ∠=-= ，则由余弦定理得，22212cos 44222122AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以，AC =，故在折叠过程中，AC ≤.折叠后，若//AC 平面DEBF ，则AC ⊄平面DEBF ，则AC <BD 项错误；折叠前，在菱形ABCD 中，2BA BD ==，60DAB ∠= ，则ABD △是正三角形，由,E F 分别为棱,AB DC 中点，则,,//DE AB BF DC AB DC ⊥⊥，所以//DE BF .折叠后，,,DE AE DE EB AE EB E ⊥⊥= ，又AE ⊂平面EAB ，且EB ⊂平面EAB ，则DE ⊥平面EAB ，同理BF ⊥平面FDC ，所以平面//EAB 平面FDC ，则平面EAB 与平面FDC 的距离即为22DE =⨯=，由点A ∈平面EAB ，点C ∈平面FDC ，则AC ≥.在折叠过程中，当60DFC AEB ∠=∠= 时，由,AE EB DF FC ==，则,EBA DFC 均为正三角形，可构成如图所示的正三棱柱DFC EBA -，满足//AC 平面DEBF ，此时AC DE ==.所以AC A 正确，C 项错误.故选：A.第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.双曲线22:14y C x -=的渐近线方程为_________．【答案】2y x =±【解析】【分析】利用双曲线的性质即可求得渐近线方程.【详解】由双曲线的相关知识可知：1a =，2b =所以焦点在x 轴双曲线的渐近线方程为：2by x x a=±=±故答案为：2y x=±12.如图，已知E ，F 分别为三棱锥D ABC -的棱,AB DC 的中点，则直线DE 与BF 的位置关系是__________（填“平行”，“异面”，“相交”）．【答案】异面【解析】【分析】假设共面推出矛盾.【详解】假设直线,DE BF 共面，EB ⊂平面DEBF ，由A EB ∈，则AB ⊂平面DEBF ，同理，DC ⊂平面DEBF ，故,AB CD 共面，这与D ABC -是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线,DE BF 异面.故答案为：异面.13.经过点(0,1)A 且与直线:210l x y +-=垂直的直线方程为_______________．【答案】210x y -+=【解析】【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式方程可得出所求直线的方程.【详解】直线:210l x y +-=的斜率为12-，则与直线:210l x y +-=垂直的直线的斜率为2，则直线方程为12(0)y x -=-，即210x y -+=.故答案为：210x y -+=14.作为我国古代称量粮食的量器，米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．右图是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱台，测量得其内高为12cm ，两个底面内棱长分别为18cm 和9cm ，则估计该米斗的容积为__________3cm ．【答案】2268【解析】【分析】先画出正四棱台的直观图，再利用台体的体积公式即可求解.【详解】根据题意，正四棱台的直观图如下：由题意可知，高112cm OO h ==，下底面正方形的变长9cm AB =，其面积()219981cmS =⨯=，上底面正方形的变长18cm AB =，其面积()221818324cm S =⨯=，由台体的体积公式可得，该正四面体的体积:()()()3121181324122268cm 33V S S h =++=⨯++⨯=.故该米斗的容积为32268cm .故答案为：2268.15.已知四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，其对角线AC 和BD 交于原点O ，且斜率之积为13-．给出下列四个结论：①四边形ABCD 是平行四边形；②存在四边形ABCD 是菱形；③存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒；④存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=．其中所有正确结论的序号为__________．【答案】①③④【解析】【分析】利用椭圆的对称性判断①；利用菱形的对角线互相垂直可判断②；利用正切函数的和差公式与性质判断③；利用斜率关系得到22||||OA OB +的表达式，然后利用基本不等式求22||||AC BD +的最大值，可判断④.【详解】因为四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，AC 和BD 交于原点O ，由椭圆的对称性可知OA OC =且OB OD =，所以四边形ABCD 是平行四边形，故①正确；假设对角线AC 和BD 的斜率分别为12,k k ，若四边形ABCD 是菱形，则其对角线互相垂直，即121k k ×=-，而这与1213k k ⋅=-矛盾，所以不存在四边形ABCD 是菱形，故②错误；不妨设直线AC 的倾斜角为α，直线BD 的倾斜角为β，且αβ>，则12tan ,tan 0k k αβ==>，又1213k k ⋅=-，则1213k k =-，则()122122tan tan 31tan tan 1tan tan 123k k AOD k k k k αβαβαβ⎛⎫--∠=-===-- ⎪++⎝⎭3tan1202≤-⨯=︒，又0180AOD ︒<∠<︒，则90120AOD ︒<∠<︒，所以存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒，故③正确；直线AC 的方程1y k x =，直线BD 的方程2y k x =，由12212y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22122x k x +=，即122122k x =+，可得1222212A C x k x =+=，同理可得2222212B D x k x =+=，则()()22122222221212212111||221212121k kOA OB k k k k +++=+=++++++，由1213k k ⋅=-，得222119k k =，令()22121,09k t k t t==>，则22211119||||222221199t t t ttOA OB +=+++++=+++()()()92221123321922192t t t t t t +-+-=++=+++++2552181321813116333355t t t t t ++++=+=+≤++=，当且仅当218t t =，即221211,33t k k ===时，等号成立；于是()()()22222264||224||5AC BD OA OB OA OB +=+=+≤，当且仅当221213k k ==，即四边形ABCD 矩形时，等号成立，所以存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点睛：本题结论④的解决关键是利用弦长公式得到22||||AC BD +关于t 的表达式，从而利用基本不等式即可得解.三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切．（1）直接写出圆心C 的坐标及r 的值；（2）直线:3410l x y --=与圆C 交于两点,A B ，求||AB ．【答案】（1）圆心(2,0)C ，2r =（2）【解析】【分析】（1）由圆的方程得圆心坐标，结合图形，圆与y 轴相切得半径；（2）法一由弦长公式求解；法二利用几何法勾股定理求解.【小问1详解】圆222:(2)(0)C x y r r -+=>，则圆心(2,0)C ，因为圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切，则半径2r =.【小问2详解】由（1）知，圆的方程为22:(2)4C x y -+=，圆心(2,0)C ，半径为2.法一：设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22341024x y x y --=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得2257010x x -+=，2(70)42548000∆=--⨯=>，则1212141,525x x x x +==，所以12AB x=-===法二：圆心(2,0)C到直线:3410l x y--=的距离12d==<，则AB===故AB=.17.已知直线:1l y kx=+经过抛物线2:2C x py=的焦点F，且与C的两个交点为P，Q．（1）求C的方程；（2）将l向上平移5个单位得到,l l''与C交于两点M，N．若24MN=，求k值．【答案】（1）24x y=（2）k=【解析】【分析】（1）由直线l与y轴交点得焦点F，待定p可得方程；（2）联立直线l'与抛物线C的方程，由已知弦长利用弦长公式建立关于k的方程，求解可得.【小问1详解】抛物线2:2C x py=的焦点F在y轴上，直线:1l y kx=+，令0x=，得1y=，则焦点(1,0)F，所以12p=，即2p=，所以抛物线C的方程为24x y=；【小问2详解】直线:1l y kx=+向上平移5个单位得到:6l y kx'=+，由246x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消y 得24240x kx --=，设直线l '与C 交于两点1122(,),(,)M x y N x y ，则216960k ∆=+>，且12124,24x x k x x +==-，MN =====，由24MN =，化简整理得427300k k +-=，解得210k =-（舍）或23k =，所以k =.18.如图，四棱锥E ABCD -中，⊥AE 平面,,,2,1ABCD AD AB AD BC AE AB BC AD ⊥====∥，过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于点M ，N ．（1）求证：AD MN ∥;（2）记二面角A DN E --的大小为θ，求cos θ的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）由线面平行判定定理与性质定理可证；（2）建立空间直角坐标系，设[],0,1BM BE λλ=∈，利用法向量方法，用λ表示两平面法向量夹角的余弦，再由向量夹角与二面角大小关系求cos θ最大值.【小问1详解】因为//AD BC ，AD ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以//AD 平面BCE .因为过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于,M N ，所以//AD MN ；【小问2详解】因为⊥AE 平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，又因为AB AD ⊥，如图，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,0,1)B C E D ，所以(0,2,1),(2,2,2),(2,2,0),(0,0,1)ED EC BE AD =-=-=-=，设[],0,1BM BE λλ=∈，则(2,0,0)(2,2,0)(22,2,0)AM AB BM λλλ=+=+-=-，设平面AND 即平面AMND 的法向量为111(,,)m x y z =，则1110(22)20m AD z m AM x y λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x λ=，则11y λ=-，于是(,1,0)m λλ=-；设平面END 即平面ECD 的法向量为222(,,)n x y z =，则22222202220n ED y z n EC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令21y =，则222,1z x ==-，于是(1,1,2)n =-，所以cos ,m nm n m n ⋅===⋅，因为[]0,1λ∈，所以cos ,,36m n ⎡∈--⎢⎣⎦，由二面角A DN E --的大小为θ，根据(,1,0),(1,1,2)m n λλ=-=- 的方向判断可得π,m n θ=-，所以，当12λ=时，cos θ的最大值为33.19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，离心率()()0001,,02e P x y y =≠为椭圆上的动点，直线,PA PB 分别交动直线x t =于点C ，D ，过点C 作PB 的垂线交x 轴于点H ．（1）求椭圆E 的方程；（2）HC HD ⋅是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．【答案】19.22143x y +=20.存在；12【解析】【分析】（1）由离心率及顶点坐标结合222b c a +=即可求解；（2）结合两点式得直线,PA PB 方程，进而得到点,C D 坐标，由直线CH 与直线PB 垂直得到直线CH 的斜率，结合点斜式得直线CH 的方程，进而的到点H 坐标，结合数量积的坐标运算及二次函数的最值即可求解.【小问1详解】由12ce a==，又两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，则2,1a c ==，2223b a c =-=，故椭圆E 的方程为22143x y +=；【小问2详解】()()000,0P x y y ≠为椭圆上的动点，则02x ≠±，故直线,PA PB 的斜率存在且不为0，则直线PA ：0022y x y x +=+，即00(2)2y y x x =++，则点00(,(2))2y C t t x ++，则直线PB ：0022y x y x -=-，即00(2)2y y x x =--，则点00(,(2))2y D t t x --，则直线CH 的斜率为002x y -，故直线CH ：00002(2)()2y x y t x t x y --+=-+，令0y =,得2020(2)4H t y x t x +=+-，又()00,P x y 在椭圆上，则2200143x y +=，整理得()2020344x y -=，所以36(2)44H t x t t -=-+=，则6,04t H -⎛⎫⎪⎝⎭，所以()22200020004(2)(2)3636(36),,4242164t y t y t y t t t HC HD x x x -⎛⎫⎛⎫+-+++⋅=⋅=+ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭ ()22234(36)3(6)1216416t t t -+-=-=-+综上，存在6t =，使得HC HD ⋅有最大值12.确，运算要细心，是中档题.。

【最新资料】北京市海淀区高二上学期期末考试数学(理)试题(含答案)

高考数学最新资料海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）20xx.01学校班级姓名成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）抛物线22y x =的准线方程是 ( )（A ） 12x =（B ）12y = （C ）12x =- （D ）12y =-（2）若直线10x ay ++=与直线20x y ++=平行，则实数a = ( ) （A ）12-（B ）2- （C ）12（D ）2 （3）在四面体O ABC -中，点P 为棱BC 的中点. 设OA =a , OB =b ，OC =c ，那么向量AP 用基底{,,}a b c 可表示为（）（A ）111222-+a +b c（B ）1122-+a +b c （C ）1122+a +b c（D ）111222+a +b c（4）已知直线l ，平面α.则“l α^”是“$直线m αÌ，l m ^”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）若方程22(2)1mx m y +-=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（）（A ）(1,)+∞ （B ）(0,2) （C ）(1,2)（D ）(0,1)（6）已知命题:p 椭圆的离心率(0,1)e ∈，命题:q 与抛物线只有一个公共点的直线是此抛物线的切OABCP线，那么（）（A ）p q ∧是真命题（B ）()p q ∧⌝是真命题（C ）()p q ⌝∨是真命题（D ）p q ∨是假命题（7）若焦距为4的双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的实轴长为（）（A ）（B ） 4 （C ）（D ） 2 （8）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．则下列命题中假命题．．．是（）（A ）存在点E ，使得11A C //平面1BED F （B ）存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F （C ）对于任意的点E ，平面11A C D ⊥平面1BED F （D ）对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）在空间直角坐标系中，已知(2,1,3)=-a ，(4,2,)x =-b .若^a b ，则x = . （10）过点(1,1)且与圆2220x x y -+=相切的直线方程是 .（11）已知抛物线C ：24y x =，O 为坐标原点，F 为C 的焦点，P 是C 上一点. 若OPF ∆是等腰三角形，则PO = .（12）已知点12,F F 是双曲线C 的两个焦点，过点2F 的直线交双曲线C 的一支于,A B 两点，若1ABF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为 .F ED 1C 1B 1A 1DCBA（13）如图所示，已知点P 是正方体1111ABCD A B C D -的棱11A D 上的一个动点，设异面直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α的最小值是 .（14）曲线C 是平面内与定点(2,0)F 和定直线2x =-的距离的积等于4的点的轨迹.给出下列四个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于x 轴对称； ③曲线C 与y 轴有3个交点；④若点M 在曲线C 上，则MF的最小值为1). 其中，所有正确结论的序号是___________．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点 (4 0)A ，，动点M 在y 轴上的正射影为点N ，且满足直线MO NA ⊥.（Ⅰ）求动点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）当π6MOA ∠=时，求直线NA 的方程.(16)（本小题共11分）已知椭圆C ：22312x y +=，直线20x y --=交椭圆C 于,A B两点.（Ⅰ）求椭圆C 的焦点坐标及长轴长；（Ⅱ）求以线段AB 为直径的圆的方程.(17)（本小题共11分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB BC ⊥，PD DC ⊥，且1A PPC =（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B PD C --的余弦值；（Ⅲ）棱PD 上是否存在一点E ，使直线EC 与平面BCD 所成的角是30？若存在，求PE 的长；若不存在，请说明理由．(18)（本小题共12分）已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>经过如下五个点中的三个点：1(1,)2P --，2(0,1)P ，31(,)22P ，4(1,2P ，5(1,1)P . （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设点A 为椭圆M 的左顶点，, B C 为椭圆M 上不同于点A 的两点，若原点在ABC ∆的外部，且ABC ∆为直角三角形，求ABC ∆面积的最大值.海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准 20xx ．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （9）103 （10）10y -= （11）32或1（12（13 （14）①②④ 注：（11）题少一个答案扣2分.三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设(,)M x y ，则(0,)N y ，(,)OM x y =，(4,)NA y =-.……………………2分因为直线MO NA ⊥，所以 240OM NA x y ⋅=-=，即24y x =. ………………………4分所以动点M 的轨迹C 的方程为24y x =（0x ≠）. ………………………5分（Ⅱ）当π6MOA ∠=时，因为 MO NA ⊥，所以 π3NAO ∠=. 所以直线AN 的倾斜角为π3或2π3.当直线AN 的倾斜角为π3时，直线NA0y --=； ……………8分当直线AN 的倾斜角为2π3时，直线NA0y +-=. …………10分（16）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）原方程等价于221412x y +=. 由方程可知：212a =，24b =，2228c a b =-=，c =……………………3分所以椭圆C的焦点坐标为(0,，(0,-，长轴长2a为……………5分（Ⅱ）由2231220x y x y ⎧+=⎨--=⎩，，可得:220x x --=.解得：2x =或1x =-.所以点,A B 的坐标分别为(2,0)，(1,3)--. ………………………7分所以 ,A B 中点坐标为13(,)22-，||AB ==……………9分所以以线段AB 为直径的圆的圆心坐标为13(,)22-，半径为2. 所以以线段AB 为直径的圆的方程为22139()()222x y -++=. …………………11分（17）（本小题满分11分）（Ⅰ）证明：在正方形ABCD 中，CD AD ⊥.因为CD PD ⊥，ADPD D =，所以 CD ⊥平面PAD ． ………………………1分因为 PA ⊂平面PAD ，所以 CD PA ⊥． ………………………2分同理，BC PA ⊥．因为 BCCD C =，所以 PA ⊥平面ABCD ． ………………………3分（Ⅱ）解：连接AC ，由（Ⅰ）知PA ⊥平面ABCD ．因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 PA AC ⊥． ………………………4分因为PC =AC =所以 1PA =．分别以AD ，AB ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 由题意可得：(0,1,0)B ，(1,0,0)D ，(1,1,0)C ，(0,0,1)P ．所以 (0,1,0)DC =，(1,0,1)DP =-，(1,1,0)BD =-，(0,1,1)BP =-．设平面PDC 的一个法向量(,,)x y z =n ，则00DC DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即0,0.y x z =⎧⎨-+=⎩ 令1x =，得1z =.所以 (1,0,1)=n ．同理可求：平面PDB 的一个法向量(1,1,1)=m ． ………………………6分所以cos ,3⋅<>===n m n m |n ||m |．所以二面角B PD C --的余弦值为3． ………………………8分（Ⅲ）存在．理由如下：若棱PD 上存在点E 满足条件，设(,0,)PE PD λλλ==-，[0,1]λ∈．所以 (1,1,1)(,0,)(1,1,1)EC PC PE λλλλ=-=---=--．…………………9分因为平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)AP =．所以 |cos ,|2(1EC AP EC AP EC AP⋅<>==令1sin 30,2==解得：1λ=±经检验1[0,1]λ=．所以棱PD 上存在点E ，使直线EC 与平面BCD 所成的角是30，此时PE 的长为1． ………………………11分（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由22222222222222221222(1)1112a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+<+=+<+知，31(2P 和5(1,1)P 不在椭圆M 上，即椭圆M经过1(1,2P --，2(0,1)P，4(1,2P . 于是222,1a b ==.所以椭圆M 的方程为：2212x y +=. ………………………2分（Ⅱ）①当90A ∠=︒时，设直线:BC x ty m =+，由2222,,x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得222(2)2(2)0t y tmy m +++-=.设1122(,),(,)B x y C x y ，则2216880m t ∆=-+>，12221222,22. 2tm y y t m y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以AB AC k k ===1==-.于是m =，此时21616809t ∆=-+>，所以直线:BC x ty =.因为12216902y y t =-<+，故线段BC 与x轴相交于(3M -，即原点在线段AM 的延长线上，即原点在ABC ∆的外部，符合题设. ………………………6分所以12121||||||23ABC S AM y y y y ∆=⋅-=-====89. 当0t =时取到最大值89. ………………………9分 ②当90A ∠≠︒时，不妨设90B ∠=︒.设直线:0)AB x ty t =-≠，由2222,x y x ty ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得22(2)0t y +-=.所以 0y =或22y t =+.所以B ，由AB BC ⊥，可得直线:BC y tx =-.由223222,,2x y y tx t ⎧+=⎪⎨=-+⎪+⎩得22222328(1)(2)(21)02t t t t y y t +++--=+.所以 222228(1)0(2)(21)B C t t y y t t +=-<++. 所以线段BC 与x轴相交于N . 显然原点在线段AN 上，即原点在ABC ∆的内部，不符合题设. 综上所述，所求的ABC ∆面积的最大值为89. ……………………12分注：对于其它正确解法，相应给分.。

2024北京西城区高二上学期期末数学试题及答案

2024北京西城高二（上）期末数学2024.1本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线3410x y −+=不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.抛物线26x y =的焦点到其准线的距离等于（） A.32B.3C.6D.8 3.在空间直角坐标系O xyz −中，点()4,2,8A −到平面xOz 的距离与其到平面yOz 的距离的比值等于（） A.14 B.12C.2D.4 4.在312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（） A.3 B.6 C.9 D.125.在正四面体ABCD 中，棱AB 与底面BCD 所成角的正弦值为（）C.13D.36.已知直线,a b 和平面α，且b α⊂，则“直线a ∥直线b ”是“直线a ∥平面α”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设,A B 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的左､右顶点，M 为双曲线E 上一点，且AMB 为等腰三角形，顶角为120，则双曲线E 的一条渐近线方程是（）A.y x =B.2y x =C.y =D.y =8.在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（）A.12种B.24种C.32种D.36种9.如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，13,4,AB BC CC E ===为棱11B C 的中点，P 为四边形11BCC B 内（含边界）的一个动点.且DP BE ⊥，则动点P 的轨迹长度为（）A.5B.10.在直角坐标系xOy 内，圆22:(2)(2)1C x y −+−=，若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（）A.⎡⎣B.44⎡−−⎣C.22⎡−−−⎣D.22⎡−+⎣第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.过点()2,3A −且与直线30x y ++=平行的直线方程为__________.12.在4(21)x +的展开式中，所有项的系数和等于__________.（用数字作答）13.两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于__________.14.若方程22124x y m m+=+−m 的取值范围是__________；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是__________.15.如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，2,AB E =为棱1BB 的中点，F 为棱1CC （含端点）上的一个动点.给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得1B F ∥平面1A ED ；②不存在符合条件的点F ，使得BF DE ⊥；③异面直线1A D 与1EC 所成角的余弦值为5； ④三棱锥1F A DE −的体积的取值范围是2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题10分）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动.（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17.（本小题15分）如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，1,3,4BA BC BC AB AA ⊥===.（1）证明：直线1AB ⊥平面1A BC ；（2）求二面角1B CA A −−的余弦值.18.（本小题15分）已知C 经过点()1,3A 和()5,1B ，且圆心C 在直线10x y −+=上.（1）求C 的方程；（2）设动直线l 与C 相切于点M ，点()8,0N .若点P 在直线l 上，且PM PN =，求动点P 的轨迹方程.19.（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆22(1)25x y −+=的圆心为,M P 为此圆上一点.（1）求椭圆C 的离心率；（2）记线段MP 与椭圆C 的交点为Q ，求PQ 的取值范围.20.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，AD ⊥平面,PAB AB ∥,DC E 为棱PB 的中点，平面DCE 与棱PA 相交于点F ，且22PA AB AD CD ====，再从下列两个条件中选择一个作为已知.条件①：PB BD =；条件②：PA BC ⊥.（1）求证：AB ∥EF ；（2）求点P 到平面DCEF 的距离；（3）已知点M 在棱PC 上，直线BM 与平面DCEF 所成角的正弦值为23，求PM PC的值. 21.（本小题15分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与椭圆C 相交于,A B 两点.已知椭圆C 的离心率为21,2ABF 的周长为8. （1）求椭圆C 的方程；（2）判断x 轴上是否存在一点M ，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线？若存在，求点M 的坐标；若不存在，说明理由.参考答案一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1.D2.B3.B4.D5.B6.D7.A8.C9.B 10.A二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.10x y ++= 12.81 13.414.()(),24,∞∞−−⋃+；()()2,11,4−⋃ 15.①②④注：第14题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，有两个选对且无错选得3分，有一个选对且无错选得2分，其他得0分.三､解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16.（本小题10分）解：（1）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动，选择方法数为310C 120=种.（2）从10名志愿者中选2男1女，选择方法数共有2164C C 60=种，故从10名志愿者中选2男1女，且分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为213643C C A 360=种.17.（本小题15分）解：（1）在直三棱柱111ABC A B C −中，因为1AA ⊥.平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥.又因为1,BA BC BA AA A ⊥⋂=，所以BC ⊥平面11AA B B ，所以1BC AB ⊥.由14AB AA ==，得四边形11AA B B 为正方形.所以11AB A B ⊥.又因为1BC A B B ⋂=，所以1AB ⊥平面1A BC .（2）因为1BB ⊥平面,ABC BA BC ⊥，所以1,,BA BC BB 两两互相垂直，故以B 为原点，1,,BA BC BB 的方向分别为x 轴､y .轴､z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则()()()()114,0,0,0,3,0,4,0,4,0,0,4A C A B .所以()()14,3,0,0,0,4AC AA =−=.设平面1A AC 的法向量为(),,m x y z =，则10,0,m AC m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即430,40.x y z −+=⎧⎨=⎩令3x =，则4,0y z ==.于是()3,4,0m =.由（1）可知：()14,0,4AB =−是平面1A BC 的一个法向量.因为11112cos ,1042||AB m AB m AB m ⋅−===−⨯，由图可知二面角1B CA A −−的平面角为锐角，所以二面角1B CA A −−的余弦值为10. 18.（本小题15分）解：（1）由题意，设C 的圆心(),1C a a +，半径为r ，则222222(1)(31),(5)(11).a a r a a r ⎧−+−−=⎨−+−−=⎩ 解得：5,5.a r =⎧⎨=⎩ 所以C 的方程为22(5)(6)25x y −+−=.（2）由平面几何，知PMC 为直角三角形，且PM MC ⊥，所以222||||||PM MC PC +=.由PM PN =，得222||||||PN MC PC +=.设(),P x y ，则2222(8)25(5)(6)x y x y −++=−+−.即36140x y −−=，经检验符合题意.所以动点P 的轨迹方程为36140x y −−=.19.（本小题15分）解：（1）由题意，得222212,c ab a b c ===+，所以3,2a b ==，所以椭圆C的离心率3c e a ==. （2）由题意，得5PQ MP MQ MQ =−=−.设()11,Q x y ，则2211194x y +=. 所以MQ ===. 因为[]13,3x ∈−，所以当195x=时，min ||MQ =；当13x =−时，max ||4MQ =.所以PQ 的取值范围为1,55⎡−⎢⎣⎦. 20.（本小题15分）解：选择条件①：（1）因为AB ∥,DC AB ⊄平面,DCEF DC ⊂平面DCEF ，所以AB ∥平面DCEF .又因为AB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面DCEF EF =，所以AB ∥EF .（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥.又因为,22PB BD PA AB AD CD =====，所以PAB DAB ≅.因此90PAB DAB ∠∠==，即,,AB AD AP 两两垂直.如图，以A 为原点，,,AB AD AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，所以()()()()0,2,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0D C P B .由（1），得AB ∥EF ，且E 为棱PB 的中点，所以点F 为棱PA 的中点.()()1,0,1,0,0,1E F ，故()()()0,0,1,0,2,1,1,0,0FP DF CD ==−=−.设平面DCEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则20,0,DF n y z CD n x ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩取1y =，则0,2x z ==，即()0,1,2n =.所以点P 到平面DCEF 的距离255FP nd n ⋅==. （3）设[],0,1PM PCλλ=∈，则()()1,2,2,2,2PM PC λλλλλ==−=−.所以()2,2,22BM BP PM λλλ=+=−−.设直线BM 与平面DCEF 所成角为θ，所以||sin |cos ,|||||BM n BM n BM n θ⋅=<>== 23=. 化简，得29610λλ−+=，解得13λ=，即13PM PC =. 选择条件②：（1）与上述解法相同，略.（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥，又因为,PA BC BC ⊥与AD 相交，所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA AB ⊥.即,,AB AD AP 两两垂直.以下与上述解法相同，略.21.（本小题15分）解：（1）由题意，得22248,1,2,a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩ 解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）假设x 轴上存在一点()0,0M x 符合题意.由题意，设直线()()()()1122:10,,,,AB y k x k A x y B x y =+≠.联立方程()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()22223484120k x k x k +++−=. 所以221212228412,3434k k x x x x k k−+=−=++. 由题意，知直线AM 的斜率存在，且为()11101010AMk x y k x x x x +−==−−，同理，直线BM 的斜率为()22202010BM k x y k x x x x +−==−−. 所以()()12102011AM BM k x k x k k x x x x +++=+−−()()()()12120120102022k x x x x x x x x x x x x ⎡⎤++−+−⎣⎦=−−. 因为1MF 为AMB 的一条内角平分线，所以0AM BM k k +=.所以()()12120120220k x x x x x x x x ⎡⎤++−+−=⎣⎦.因为上式要对任意非零的实数k 都成立，所以2220022241288220343434k k k x x k k k−⨯−+⨯−=+++，解得04x =−.故x 轴上存在一点()4,0M −，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线.。

北京市朝阳区高二上期末数学试题(理)(含答案)

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12．已知��(8,0),��(0,6),��(0,0) ,则��的外接圆的方程是
.
【答案】(�� ‒ 4) + (�� ‒ 3) = 25 【解析】本题主要考查圆的标准方程与圆的性质.由圆的性质可知，线段 OA 与线段 OB 的垂直平分线的交 2 2 点即为圆心，所以圆心坐标为(3,4),则半径 r=5,所以，所求圆的标准方程为(�� ‒ 4) + (�� ‒ 3) = 25
A. 2 【答案】B 【解析】本题主要考查圆的性质、平面向量的平行四边形法则、菱形的性质、点到直线的距离公式.以 B.2 C. 6 D.2 2
��1、��2为邻边作菱形，由��1��2与��1 + ��2分别表示菱形两条对角线所表示的向量，因为 |��1��2| ≥ |��1 + ��2|,所以��1、��2的夹角为直角或钝角，所以圆心到直线 l 的距离小于等于 2，由 |��| 点到直线的距离公式可得 ≤ 2,所以 ‒ 2 ≤ �� ≤ 2，则实数��的最大值是 2 2
向量中与��1��相等的向量是
A. ‒ �� + �� + ��
1 2
1 2
B. �� + �� + �� ‒ �� + �� 2 2

北京市朝阳区高二上期末数学试卷(理)(含参考答案)(最新修订)

北京市朝阳区高二上学期期末考试数学试卷一、选择题：共10题1．圆被直线截得的弦长为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆的性质.由圆的方程可知，圆心坐标为(2,0),半径r=2,则圆心到直线x=1的距离为d=1，由垂径定理可知，弦长为2．抛物线上与其焦点距离等于的点的横坐标是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查抛物线的定义.设该点横坐标为x，由抛物线的定义可知，x+=3，则x=3．已知,则是的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查充分条件与必要条件.因为，所以,因此，且，故是的充分而不必要条件.4．已知两条不同的直线,三个不同的平面,下列说法正确的是A.若则B.若则C.若则D.若则【答案】D【解析】本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定与性质，考查空间想象能力.因为，所以平面内存在一条直线c与a平行，因为所以b与c垂直，则b与的位置关系不确定，故A错误；平行于同一条直线的两个平面不一定平行，故B错误；因为所以或，故C错误；因此，D 正确.5．在圆上任取一点,过点作轴的垂线段为垂足,当点在圆上运动时,线段的中点的轨迹方程是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查点的轨迹方程、圆的方程.设点P(s,t),M(x,y),D(s,0),由题意可知，s=x，t=2y，且，消去s、t，化简可得点M的轨迹方程为6．如图,平行六面体中,与的交点为,设,则下列向量中与相等的向量是A. B.C. D.【答案】A【解析】本题主要考查空间向量的应用.由题意可得，7．若由方程和所组成的方程组至多有两组不同的实数解,则实数的取值范围是A.或B.或C. D.【答案】B【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系. 方程表示两条直线，联立两个方程，消去x，化简可得2y2-2by+b2-2=0,由题意可知，判别式=4b2-8(b2-2),所以或8．设是坐标原点,若直线与圆交于不同的两点,且,则实数的最大值是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查圆的性质、平面向量的平行四边形法则、菱形的性质、点到直线的距离公式.以为邻边作菱形，由分别表示菱形两条对角线所表示的向量，因为,所以的夹角为直角或钝角，所以圆心到直线l的距离小于等于，由点到直线的距离公式可得,所以，则实数的最大值是29．如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查空间几何体的三视图、表面积与体积，考查了空间想象能力.由三视图可知，该三棱锥的底面面积为，高为4，所以，该三棱角的体积V=10．已知动圆位于抛物线的内部(),且过该抛物线的顶点,则动圆的周长的最大值是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查抛物线的简单几何性质、圆的方程与性质.设圆的方程为x2+(y-b)2=b2(b>0),与联立消去x可得y2+(4-2b)y=0,由题意可知，要使动圆的周长最大，则圆的半径也最大，且圆与抛物线相切，则判别式=0，故b=2，所以动圆的周长的最大值是二、填空题：共6题11．写出命题:“任意两个等腰直角三角形都是相似的”的否定:______________;判断是__________命题. (后一空中填“真”或“假”)【答案】存在两个等腰直角三角形,它们不相似; 假【解析】本题主要拿考查全称命题与特称命题的否定、命题真假的判断.由全称命题的否定的定义可知：命题: 存在两个等腰直角三角形,它们不相似;显然命题是假命题.12．已知 ,则的外接圆的方程是.【答案】【解析】本题主要考查圆的标准方程与圆的性质.由圆的性质可知，线段OA与线段OB的垂直平分线的交点即为圆心，所以圆心坐标为(3,4),则半径r=5,所以，所求圆的标准方程为13．中心在原点,焦点在轴上,虚轴长为并且离心率为的双曲线的渐近线方程为__________.【答案】【解析】本题主要考查双曲线的简单几何性质.设双曲线的方程为,由题意可知，b =，又因为e=3，所以c=3a，易求得a=1，所以双曲线方程为，则渐近线方程为14．过椭圆C:的右焦点的直线与椭圆C相交于A,B 两点．若,则点与左焦点的距离=_________.【答案】【解析】本题主要考查椭圆的简单几何性质、平面向量的共线定理.由题意，因为,所以AB与x轴垂直，将x=1代入椭圆方程求得|y |=,即|AF2|=,又因为,所以=15．下图为四棱锥的表面展开图,四边形为矩形,.已知顶点在底面上的射影为点,四棱锥的高为,则在四棱锥中,与平面所成角的正切值为_________.43 (P)P【答案】【解析】本题主要考查直线与平面所成的角、线面垂直，考查了空间想象能力.由题意可知，在四棱锥中，PA 与平面ABCD 垂直，所以∠PCA 是直线PC 与平面ABCD所成的角，又因为，所以AC =，又PA=，所以与平面所成角的正切值为tan ∠PCA =16．如图,正方体的棱长为1,N 为中点,M 为线段上的动点(M 不与B ,重合)有四个命题: ①平面BMN ; ②//平面; ③平面平面;④三棱锥的体积有最大值.其中真命题的序号是_________.A 1【答案】②③【解析】本题主要考查线面与面面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的体积空间向量的应用，考查了空间想象能力.如图所示，连接BD 、DC 1，易证AD 1//BC 1，显然CD 1与AD 1不垂直，即CD 1与BC 1不垂直，故平面BMN 不垂直，因此①错误;根据线面与面面平行的判定定理易证平面AB 1D 1与平面BDC 1平行，则易知//平面，故②正确;利用线面与面面垂直的判定定理易证BD 与平面，则易得平面平面，故③正确;因为V D-MNC =V M-CDN ，因为三角形CDN 的面积为定值，点M 为BC 1上的动点，且与B 、C 1不重合，所以点M 到平面CDN 的距离没有最大值，因此，V D-MNC =V M-CDN 没有最大值，故④错误.三、解答题：共3题17．如图,长方体中,为的中点,点分别为棱的中点1B(Ⅰ)求证:平面//平面; (Ⅱ)求证:平面⊥平面.【答案】(Ⅰ)在长方体中,点和点分别为所在棱的中点,所以且,从而四边形为平行四边形.所以.又因为平面NMC ,NC 平面NMC , 所以平面NMC .又点M 是棱的中点,所以MN 是的中位线,所以.由于平面NMC,MN平面NMC,所以平面NMC.又因为平面平面,所以平面平面NMC.(Ⅱ)在长方体中,平面ABCD,且平面ABCD,所以.在矩形ABCD中,E为BC的中点,则,从而,即.因为平面,所以DE⊥平面.又DE平面,所以平面⊥平面,【解析】本题主要考查线面与面面平行与垂直的判定定理与性质定理，考查了空间想象能力.(1)根据题意，先证明四边形为平行四边形，即可证明，易得平面NMC，同理可证明平面NMC，则结果易证;(2)先证明，，易得DE⊥平面，则结论即可证明.18．如图,四棱锥的底面为直角梯形,//,且,平面底面为的中点, 为等边三角形,是棱上的一点,设与不重合).(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)若//平面,求的值;(Ⅲ)若二面角的平面角为,求的值.【答案】(Ⅰ)因为为等边三角形,为的中点,所以.因为平面⊥平面,且平面平面平面, 所以平面.又平面,所以.由已知得,所以平面.且平面,所以.(Ⅱ)连接交于,连接.因为//平面平面,平面平面,所以.因为//,所以.又,所以.所以,则为的中点,.(Ⅲ)方法一:依题意,若二面角的大小为,则二面角的大小为. 连接,过点作交于,过作于,连接.因为平面,所以平面.又平面,所以.又平面平面,所以平面,从而.则为二面角的平面角,即.在等边中,.由于,所以.又,所以.在中,解得.方法二:由于,以为原点,射线分别为正半轴,正半轴,正半轴建立空间直角坐标系, 如图. 根据条件可知:平面即平面的一个法向量为.设,由条件可知:)即,解得:即.设平面的一个法向量为,则,,令,则.即.因为二面角的平面角为,所以,解得.因为,所以.【解析】本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定定理与性质定理、二面角、空间向量的应用，考查了空间想象能力.(1)根据题意证明、，即可证明平面，则结论易得;(2) 连接交于,连接，由//平面可得，根据题意证明，则易求k的值;(3) 依题意,若二面角的大小为,则二面角的大小为，连接,过点作交于,过作于,连接，证明，则为二面角的平面角,即，根据已知条件求解即可;法二：由于,以为原点,射线分别为正半轴,正半轴,正半轴建立空间直角坐标系, 平面即平面的一个法向量为，求出平面的一个法向量为，根据题意，化简求解即可.19．已知椭圆,过原点作直线交椭圆于两点,为椭圆上异于的动点,连接,设直线的斜率分别为),过作直线的平行线,分别交椭圆于和. (Ⅰ)若分别为椭圆的左、右顶点,是否存在点,使?说明理由.(Ⅱ)求的值;(Ⅲ)求的值.【答案】(Ⅰ)不存在点,使.说明如下:设.依题意,此时,则.若,则需使,即.又点在椭圆上所以,把代入(1)式中解得,,且.显然与为椭圆上异于的点矛盾,所以不存在.(Ⅱ)设,依题意直线过原点,则.由于为椭圆上异于的点,则直线的斜率,直线的斜率.即.椭圆的方程化为,由于点和点都为椭圆上的点,则,两式相减得,因为点和点不重合,所以,即.(Ⅲ)方法一:由于分别平行于直线,则直线的斜率,直线的斜率.设直线的方程为,代入到椭圆方程中,得,解得.设,由直线过原点,则.则=.由于,所以,即.直线的方程为,代入到椭圆方程中,得,解得.同理可得.则.由(Ⅱ)问,且,则.即化简得.即.方法二:设,由直线都过原点,则.由于分别平行于直线,则直线的斜率,直线的斜率,由(Ⅱ)问,可得.由于,则.由于点不可能在轴上,即,所以,过原点的直线的方程为,代入椭圆的方程中,得,化简得.由于点在椭圆上,所以,所以,不妨设,代入到直线中,得.即,则.===.又,所以.【解析】本题主要考查椭圆的几何性质、直线的斜率公式、两条直线的位置关系、两点间的距离公式、平面向量的数量积，考查了计算能力.(1) 设.依题意,,(或k PA·k PB=),求出之间的关系，联立椭圆方程，求出的值，即可判断结论;(2) 设,依题意直线过原点,则.由于为椭圆上异于的点,即可求出的表达式，由题意，，两式化简求解即可;(3)法一：由于分别平行于直线,则直线的斜率,直线的斜率，设直线的方程为,代入到椭圆方程中,解得，设,由直线过原点,则，利用两点间的距离公式可得的表达式，同理得，化简即可求得的值;法二：设,由直线都过原点,则，由于分别平行于直线,则直线的斜率,直线的斜率,由(Ⅱ)问,可得，再直线与椭圆联立求出交点坐标，化简即可求出的值.。

北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷Word版含解析

北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知圆（x+1）2+y 2=2，则其圆心和半径分别为（）A ．（1，0），2B ．（﹣1，0），2C ．D ．2．抛物线x 2=4y 的焦点到准线的距离为（）A ．B ．1C ．2D ．43．双曲线4x 2﹣y 2=1的一条渐近线的方程为（）A ．2x+y=0B ．2x+y=1C ．x+2y=0D ．x+2y=14．在空间中，“直线a ，b 没有公共点”是“直线a ，b 互为异面直线”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知A ，B 为圆x 2+y 2=2ax 上的两点，若A ，B 关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）A ．B ．0C ．D ．16．已知直线l 的方程为x ﹣my+2=0，则直线l （）A ．恒过点（﹣2，0）且不垂直x 轴B ．恒过点（﹣2，0）且不垂直y 轴C ．恒过点（2，0）且不垂直x 轴D ．恒过点（2，0）且不垂直y 轴7．已知直线x+ay ﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a 的取值是（）A ．2B ．±2C ．﹣2D ．08．已知两直线a ，b 和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A ．若a ⊥b 且b ∥α，则a ⊥αB ．若a ⊥b 且b ⊥α，则a ∥αC ．若a ⊥α且b ∥α，则a ⊥bD ．若a ⊥α且α⊥β，则a ∥β9．已知点A （5，0），过抛物线y 2=4x 上一点P 的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B ，若|PB|=|PA|，则cos ∠APB=（）A ．0B ．C ．D ．10．如图，在边长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则线段B 1P 的长度的最大值为（）A ．B ．2C ．D ．3二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2≥0”，则￢p ：． 12．椭圆x 2+9y 2=9的长轴长为．13．若曲线C ：mx 2+（2﹣m ）y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为．14．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面四边形ABCD 的两组对边均不平行．①在平面PAB 内不存在直线与DC 平行；②在平面PAB 内存在无数多条直线与平面PDC 平行；③平面PAB 与平面PDC 的交线与底面ABCD 不平行；上述命题中正确命题的序号为．15．已知向量，则与平面BCD 所成角的正弦值为．16．若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC 的三个顶点坐标为A （0，0），B （8，4），C （﹣2，4）．（1）求证：△ABC 是直角三角形；（2）若△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m 的值．18．如图所示的几何体中，2CC 1=3AA 1=6，CC 1⊥平面ABCD ，且AA 1⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，E 为棱A 1D 中点，平面ABE 分别与棱C 1D ，C 1C 交于点F ，G ．（Ⅰ）求证：AE ∥平面BCC 1；（Ⅱ）求证：A 1D ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角D ﹣EF ﹣B 的大小，并求CG 的长．19．已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A．（1，0），2 B．（﹣1，0），2 C．D．【考点】圆的标准方程．【分析】利用圆的标准方程的性质求解．【解答】解：圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），半径为．故选：D．2．抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线方程求解即可．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2．故选：C．3．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0 B．2x+y=1 C．x+2y=0 D．x+2y=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，由双曲线的渐近线方程y=±x，即可得到所求结论．【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，可得a=，b=1，由双曲线的渐近线方程y=±x，可得所求渐近线方程为y=±2x．故选：A．4．在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用空间中两直线的位置关系直接求解．【解答】解：“直线a，b没有公共点”⇒“直线a，b互为异面直线或直线a，b为平行线”，“直线a，b互为异面直线”⇒“直线a，b没有公共点”，∴“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的必要不充分条件．故选：B．5．已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）A．B．0 C．D．1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意，圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，C的坐标并代入直线2x+y+a=0，再解关于a的方程，即可得到实数a的值．【解答】解：∵A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，A，B关于直线y=2x+1对称，∴圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，∴2a+1=0，解之得a=﹣故选：A．6．已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴 B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴C．恒过点（2，0）且不垂直x轴D．恒过点（2，0）且不垂直y轴【考点】直线的一般式方程．【分析】由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x即可得出定点，再利用斜率即可判断出与y轴位置关系．【解答】解：由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x=﹣2．于是化为：y=﹣x﹣1，∴恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴，故选：B．7．已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A．2 B．±2 C．﹣2 D．0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线的平行关系可得1×4﹣a•a=0，解得a值排除重合可得．【解答】解：∵直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，∴1×4﹣a•a=0，解得a=2或a=﹣2，经验证当a=﹣2时两直线重合，应舍去故选：A8．已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A．若a⊥b且b∥α，则a⊥α B．若a⊥b且b⊥α，则a∥αC．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间线面平行、线面垂直以及面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择．【解答】解：对于A，若a⊥b且b∥α，则a与α位置关系不确定；故A错误；对于B，若a⊥b且b⊥α，则a与α位置关系不确定；可能平行、可能在平面内，也可能相交；故B 错误；对于C，若a⊥α且b∥α，根据线面垂直和线面平行的性质定理，可以得到a⊥b；故C正确；对于D ，若a ⊥α且α⊥β，则a ∥β或者a 在平面β内，故D 错误；故选：C ．9．已知点A （5，0），过抛物线y 2=4x 上一点P 的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B ，若|PB|=|PA|，则cos ∠APB=（）A ．0B ．C ．D ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出P 的坐标，设P 在x 轴上的射影为C ，则tan ∠APC==，可得∠APB=120°，即可求出cos ∠APB ．【解答】解：由题意，|PB|=|PF|=PA|，∴P 的横坐标为3，不妨取点P （3，2），设P 在x 轴上的射影为C ，则tan ∠APC==， ∴∠APC=30°，∴∠APB=120°，∴cos ∠APB=﹣．故选：C ．10．如图，在边长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则线段B 1P 的长度的最大值为（）A ．B ．2C ．D ．3【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段B 1P 的长度的最大值．【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设P （a ，b ，0），则D 1（0，0，2），E （1，2，0），B 1（2，2，2），=（a ﹣2，b ﹣2，﹣2），=（1，2，﹣2）， ∵B 1P ⊥D 1E ，∴=a ﹣2+2（b ﹣2）+4=0，∴a+2b ﹣2=0，∴点P 的轨迹是一条线段，当a=0时，b=1；当b=0时，a=2，设CD 中点F ，则点P 在线段AF 上，当A 与P 重合时，线段B 1P 的长度为：|AB 1|==2；当P 与F 重合时，P （0，1，0），=（﹣2，﹣1，﹣2），线段B 1P 的长度||==3，当P 在线段AF 的中点时，P （1，，0），=（﹣1，﹣，﹣2），线段B 1P 的长度||==． ∴线段B 1P 的长度的最大值为3．故选：D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2≥0”，则￢p ： ∃x ∈R ，x 2＜0 ．【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：“∀x ∈R ，x 2≥0”，则￢p ：∃x ∈R ，x 2＜0．故答案为：∃x ∈R ，x 2＜0．12．椭圆x 2+9y 2=9的长轴长为 6 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将椭圆化为标准方程，求得a=3，即可得到长轴长2a ．【解答】解：椭圆x 2+9y 2=9即为+y 2=1，即有a=3，b=1，则长轴长为2a=6．故答案为：6．13．若曲线C ：mx 2+（2﹣m ）y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为（2，+∞）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，由题意可得m ＞0且m ﹣2＞0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：曲线C ：mx 2+（2﹣m ）y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线，可得﹣=1，即有m＞0，且m﹣2＞0，解得m＞2．故答案为：（2，+∞）．14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．①在平面PAB内不存在直线与DC平行；②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为①②③．【考点】棱锥的结构特征．【分析】①用反证法利用线面平行的性质即可证明．②设平面PAB∩平面PDC=l，则l⊂平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，即可判断；③用反证法利用线面平行的性质即可证明．【解答】解：①用反证法．设在平面PAB内存在直线与DC平行，则CD∥平面PAB，又平面ABCD∩平面PAB=AB，平面ABCD∩平面PCD=CD，故CD∥AB，与已知矛盾，故原命题正确；②设平面PAB∩平面PDC=l，则l⊂平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，故在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行，命题正确；③用反证法．设平面PAB与平面PDC的交线l与底面ABCD平行，则l∥AB，l∥CD，可得：AB∥CD，与已知矛盾，故原命题正确．故答案为：①②③．15．已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】求出平面BCD的法向量，利用向量法能求出与平面BCD所成角的正弦值．【解答】解：∵向量，∴==（﹣1，2，0），==（﹣1，0，3），设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，取x=6，得=（6，3，2），设与平面BCD所成角为θ，则sinθ===．∴与平面BCD所成角的正弦值为．故答案为：．16．若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为三棱锥，棱锥底面为等腰三角形，底边为2，底边的高为1，棱锥的高为．棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点，棱锥底面等腰三角形的底边为2，底边的高为1，∴底面三角形的腰为，棱锥的高为．∴V==，S=+××2+=3．故答案为，三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．（1）求证：△ABC 是直角三角形；（2）若△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m 的值．【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率；圆的一般方程．【分析】（1）证明•=﹣16+16=0，可得⊥，即可证明△ABC 是直角三角形；（2）求出△ABC 的外接圆的方程，利用△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，可得圆心到直线的距离d=4，即可求m 的值．【解答】（1）证明：∵A （0，0），B （8，4），C （﹣2，4），∴=（8，4），=（﹣2，4），∴•=﹣16+16=0，∴⊥，∴ABC 是直角三角形；（2）解：△ABC 的外接圆是以BC 为直径的圆，方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=25，∵△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，∴圆心到直线的距离d=4=，∴m=﹣4或﹣44．18．如图所示的几何体中，2CC 1=3AA 1=6，CC 1⊥平面ABCD ，且AA 1⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，E 为棱A 1D 中点，平面ABE 分别与棱C 1D ，C 1C 交于点F ，G ．（Ⅰ）求证：AE ∥平面BCC 1；（Ⅱ）求证：A 1D ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角D ﹣EF ﹣B 的大小，并求CG 的长．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出CC 1∥AA 1，AD ∥BC ，从而平面AA 1D ∥平面CC 1B ，由此能证明AE ∥平面CC 1B ．（Ⅱ）法1：推导出AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ，AB ⊥AD ，以AB ，AD ，AA 1分别x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A 1D ⊥平面ABE ．法2：推导出AA 1⊥AB ，AB ⊥AD ，从而AB ⊥A 1D ，再由AE ⊥A 1D ，能证明A 1D ⊥平面ABE ．（Ⅲ）推导出平面EFD ⊥平面ABE ，从而二面角D ﹣EF ﹣B 为90°，设，且λ∈[0，1]，则G （2，2，3λ），再由A 1D ⊥BG ，能求出CG 的长．【解答】证明：（Ⅰ）因为CC 1⊥平面ABCD ，且AA 1⊥平面ABCD ，所以CC 1∥AA 1，因为ABCD 是正方形，所以AD∥BC，因为AA1∩AD=A，CC1∩BC=C，所以平面AA1D∥平面CC1B．因为AE⊂平面AA1D，所以AE∥平面CC1B．（Ⅱ）法1：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，以AB，AD，AA1分别x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由已知可得B（2，0，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（0，1，1），，，因为，所以，所以A1D⊥平面ABE．法2：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB．因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，所以AB⊥平面AA1D，所以AB⊥A1D．因为E为棱A1D中点，且，所以AE⊥A1D，所以A1D⊥平面ABE．（Ⅲ）因为A1D⊥平面ABE，且A1D⊂平面EFD，所以平面EFD⊥平面ABE．因为平面ABE即平面BEF，所以二面角D﹣EF﹣B为90°．设，且λ∈[0，1]，则G（2，2，3λ），因为A1D⊥平面ABE，BG⊂平面ABE，所以A1D⊥BG，所以，即，所以．19．已知椭圆G ：的离心率为，经过左焦点F 1（﹣1，0）的直线l 与椭圆G 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于C 点，且点C 在线段AB 上．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）若|AF 1|=|CB|，求直线l 的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆焦距为2c ，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，可设直线l ：y=k （x+1），代入椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程即可得到所求方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆焦距为2c ，由已知可得，且c=1，所以a=2，即有b 2=a 2﹣c 2=3，则椭圆G 的方程为；（Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，可设直线l ：y=k （x+1），由消y ，并化简整理得（4k 2+3）x 2+8k 2x+4k 2﹣12=0，由题意可知△＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，因为点C ，F 1都在线段AB 上，且|AF 1|=|CB|，所以，即（﹣1﹣x 1，﹣y 1）=（x 2，y 2﹣y C ），所以﹣1﹣x 1=x 2，即x 1+x 2=﹣1，所以，解得，即．所以直线l的方程为或．。

北京市北京四中高二上学期期末考试(数学理)

北京市北京四中高二上学期期末测试〔数学理〕〔试卷分为两卷,卷〔I 〕100分,卷〔II 〕50分,总分值共计150分〕测试时间：1卷〔I 〕・选择题：本大题共10小题,每题5分,共50分土+乙1 .椭圆9 3 的焦距等于〔〕A.4出B , 2^3 C, D,2指2. “仪二2〞是“直线2i+〔a+l〕y+4 = °平行于直线.彳+3y—2 = °〞的〔〕A.充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C.充分必要条件 D .既不充分也不必要条件X y°〕3,假设双曲线9 出的焦点为4〔-5刈/〔5,.〕,那么双曲线的渐近线方程为〔〕A.3K±4y=.B.4i±3y=0C.4i±5y=QD.5x+4y=04 .圆/+/+4y =0与直线3x+4y+2 = °相交于A、B两点,那么线段AB的垂直平分线的方程是〔〕A4x-3y-6=0 B.4x+3y+6 = 0 C,31+47+8=0 D.4x-3y-2 = 0i i i5 .空间中,假设向量八色9〃〕、8心1,2〕、〞〔2:1〕共面,那么加二〔〕A.2B.3 c. 4 D. 56 .棱长为1的正方体败.-储3中,顶点幺到平面O间的距离〔〕出2, 出出A. B. 二 C. - D.-I 9 一n -2 "I—于~1〔口> 8 > 0〕7 .直线X + 经过椭圆值方的一个焦点和一个顶点,该椭圆的离心率等3A.21B.2C. D.8 .矩形曲C 口中,48 = 3, AD=4,阳1面A8C .,5 ,那么二面角幺一BD-F 的大小为〔〕9 .抛物线y=Y/上的一点M 到焦点的距离为1,那么点M 的纵坐标是〔〕17 15_15_17A. 一 6B.:;C.D.10,直三棱柱"驼一可用9中,ZBCA= 90.,二AC=弱,那么与平面ABB^所成角的余弦值为〔〕二.填空题：本大题共4小题,每题5分,共 ii.二面角口一/一£的大小为60〞,吊出为异面直线,假设那那么加力所成的角为.A.二,B.二)2 2土+ 匕=112 .假设经过点打一2,0〕的双曲线C与椭圆25 9 有相同的焦点,那么双曲线C的方程为.13 .抛物线了二一9上的点到直线4i+3y-8 = 0距离的最小值是 .14 .正方体福⑦-胡鹤中,给出以下四个命题：①〔—+通+瀛y・3碱;②,一.『二.,.「；③4刁和屿的夹角为乩:；④正方体的体积为IMs 偌〕皿.其中错误命题的序号为 .三.解做题：本大题共3小题,每题10分,共30分15 .：直线I：y~工—1与抛物线C： y =4x交于A 8两点,求: KOAB的面积〔0为坐标原点〕.16 .：正方体秋.-幽3中,棱长从S=1, E、产分别为AB、CR的中点,M、N 是4及、4c的中点,〔1〕求证：皿^ //平面A即；〔2〕求：二面角 1 勺的大小.17.：双曲线? - 的左、右焦点分别为耳、羽,动点P满足陶+P为=4.〔1〕求：动点尸的轨迹£的方程；] ]〔2〕假设般是曲线£上的一个动点,求：峭照的最大值和最小值.卷〔n〕・选择题：本大题共3小题,每题5分,共15分1 .直线m n和平面3户.以下四个命题中,①假设m// Q1, n // 己,那么m// n；②假设mC Q', nC C , m// 户,n // 户,那么// 户；③假设值_L,, m C蔓,那么m_L,；④假设值」£ , mL £, m〔Z G；那么m// G',其中正确命题的个数是〔〕A. 0 B . 1 C. 2 D. 3~ ---------- 5" = jq A n r, H I2 .椭圆a b的左焦点为F,右顶点为幺,点3在椭圆上,且绘 1X轴,直线幺[交 ? 轴于点p,假设还二2PB,那么椭圆的离心率是〔〕出出1 11 二A. 2B.2C.3D.23 .三棱柱&'-4监的侧棱与底面边长都相等, M在底面ABC内的射影为△48C的中央0 ,那么4*与底面&C所成角的正弦值等于〔〕2 立A. 3 B .一3填空题：本大题共3小题,每题5分,共15分4 .以椭圆6yM = 6的中央为顶点,上焦点为焦点的抛物线方程是 .5 .假设三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为也,那么其外接球的外表积是 .6 .正三角形曲C中,假设点口、£分别为乂3、AC的中点,那么以3、C为焦点,且过点D、E的双曲线的离心率为.三.解做题：本大题共2小题,每题10分,共7.：直三棱柱ABO- A1B1C1中,AC= 3,BC= 4, AB= 5,点D是AB的中点,(1)求证：AC1L BC1;(2)求证：AC 1〃平面CDB%(3)假设求：异面直线〞4与所成的角.8,：经过抛物线y =4彳焦点产的直线与抛物线相交于汹、M两点,自"、N向准线/作垂线,垂足分别为M、M,〔i〕求证：月MJ网；⑵记利/人阳乱、A网叫的面积分别为§、£、S?,试判断Sj=4移是否成立,参考答案:卷〔I 〕一.选择题：本大题共 10小题,每题5分,共50分.填空题：本大题共 4小题,每题5分,共三.解做题：本大题共 3小题,每题10分,共30分 15.平面的法向量 "De 〕,刘二.2T 〕,MN n = 0 , .. Ml/.L K ,.二 M1J // 平面；⑵平面球,的法向量为刘,平面4维的法向量为山k—L.理琳匚Q3 啜胃,…“ + 6 - y- - arccos 一那么问加/找6 ,即为 6.X 2 1 一+y =1(1) 4 ,；16.〔1〕以为x 、V 、Z 轴建立空间直角坐标系,17.••・当了二12时,㈣-姆最大值为1,当了式时,崎一塔最小值为-2.卷〔II 〕1、B2、D3、C4 ./二4&；5 . 9 加6 , T? + l ;7 .以CA CR CC1为x、v、z轴建立空间直角坐标系,3 那么邢.0〕、的40〕、CQQ.〕、AG.4 4〔.,4" q〔〔W〕、叱2.〕〔1〕前=〔-3似〕,属=〔0,-4⑵「而.弱=0, .・•前,西. ••• ACL BC1;⑵跌〔-3皿如$20〕,球=口4"..AC i = -2CD+CB i 5 . AC X与CRC5］共面,...AC 1// 平面CDBIMS 3也（3）.•・异面直线名与迎所成的角为10 .8 .〔1〕由抛物线的定义得机“卜M M I」距卜:ZMFM］二网=/㈣F如图,设准线l与x的交点为片..£印好二 NMMFZFFNi ="叫 F而丁「•「「.' 二即2/即阳+24网=180°心呵+4网二90.,故叫_1网〔2〕忌=4冠成立,证实如下：设"〔看加M孙儿, 那么由抛物线的定义得1MA目㈣7+目啊=|丽|=跖+彳2 2 ,4二〕.|一国峪1二%+91M于是 _ J _马二；必犯,网归;P E-3乙Ui"二白㈣卜I五幽|二;每+§〕I乃I 乙乙乙:用=4能今〔；「|凹-巧户= 4x；Q] + §〕M ；〔演+§〕|乃| U [乙乙乙乙=工尸蚤乃+内尸一4了必]=自由+ § & +电〕+ 9] | J必|1 IUI 1[%+g=2好p/ =妨十二 4 32与J仍二-P代入上式化简可得/ 〔鹏*+P?〕=/〔眼+ /〕,此式恒成立.故$=4$&成立.。

北京市高二上学期期末数学试卷(理科)

北京市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高二上·安庆期末) 抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB= ．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是（）A .B .C .D .2. （2分）(2020·海南模拟) 设点是的重心，且满足，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高二上·河北月考) 下列命题中，不是真命题的是（）A . 命题“若，则”的逆命题.B . “ ”是“ 且”的必要条件.C . 命题“若，则”的否命题.D . “ ”是“ ”的充分不必要条件.4. （2分） (2017高二上·南阳月考) 等差数列共有项，若前项的和为200，前项的和为225，则中间项的和为（）A . 50B . 75C . 100D . 1255. （2分）定义在R上的函数f（x）=mx2+2x+n的值域是[0，+∞），又对满足前面要求的任意实数m，n都有不等式恒成立，则实数a的最大值为（）A . 2013B . 1C .D .6. （2分） (2018高一下·唐山期末) 执行下边的程序框图，若输出的是121，则判断框内应填写（）A .B .C .D .7. （2分）设，则“”是“”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分）设F1(－c, 0), F2(c, 0)是椭圆(a>b>0)的两个焦点，P是以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF1F2=5∠PF2F1 ，则该椭圆的离心率为（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高三上·黑龙江月考) 在中，角的对边分别为，若，则（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高二上·鞍山期中) 若θ∈（0，），则y= + 的取值范围为（）A .B .C .D .11. （2分）(2020·陕西模拟) 已知抛物线的焦点为F ，过点F的直线交抛物线于M ， N 两点，直线与，的延长线交于P ， Q两点，则（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二上·黑龙江期中) 如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB，则PB与AC所成的角是（）A . 90°B . 60°C . 45°D . 30°二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC且AD=AA′=2BC．过A′，C，D三点的平面与BB′交于点E，F，G分别为CC′，A′D′的中点（如图所示）给出以下判断：①E为BB′的中点；②直线A′E和直线FG是异面直线；③直线FG∥平面A′CD；④若AD⊥CD，则平面ABF⊥平面A′CD；⑤几何体EBC﹣A′AD是棱台．其中正确的结论是________ （将正确的结论的序号全填上）14. （1分）若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为________15. （1分） (2019高二上·兰州期中) 已知数列的前项和 ,则 ________16. （1分）(2017·松江模拟) 设P（x，y）是曲线C： =1上的点，F1（﹣4，0），F2（4，0），则|PF1|+|PF2|的最大值=________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分）(2017·黑龙江模拟) 已知x，y∈R．（Ⅰ）若x，y满足，，求证：；（Ⅱ）求证：x4+16y4≥2x3y+8xy3 ．18. （10分）已知a，b，c为△ABC三个内角所对的边．（1）若满足条件asinA=bsinB．求证：△ABC为等腰三角形．（2）若a+b=ab，边长c=2，角C= ，求△ABC的面积．19. （15分） (2019高三上·上海月考) 已知数列的前项和为，且满足:（1）证明：是等比数列，并求数列的通项公式.（2）设，若数列是等差数列，求实数的值；（3）在(2)的条件下，设记数列的前项和为，若对任意的存在实数 ,使得 ,求实数的最大值.20. （5分） (2017高三下·岳阳开学考) 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED是以BD为直角腰的直角梯形，DE=2BF=2，平面BFED⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED；（Ⅱ）在线段EF上是否存在一点P，使得平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为．若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．21. （15分） (2015高三上·房山期末) 已知椭圆C：的离心率为，F是椭圆C的右焦点．过点F且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，O是坐标原点．（1）求n的值；（2）若线段AB的垂直平分线在y轴的截距为，求k的值；（3）是否存在点P（t，0），使得PF为∠APB的平分线？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．22. （10分）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若点B在椭圆上，点D在y轴上，且 =2 ，求直线AB方程．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。

北京市东城区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷Word版含解析

北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试高二理科数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知A（﹣1，﹣3），B（3，5），则直线AB的斜率为（）A．2 B．1 C．D．不存在2．圆心为（﹣3，2）且过点A（1，﹣1）的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y﹣2）2=5 B．（x+3）2+（y﹣2）2=5 C．（x﹣3）2+（y﹣2）2=25 D．（x+3）2+（y﹣2）2=25 3．已知直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，则m=（）A．﹣1 B．C．1 D．44．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α5．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B．4 C．2 D．26．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．47．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为（）A ．B ．C ．1D ．28．已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，A （x 0，y 0）是C 上一点，AF=|x 0|，则x 0=（）A ．1B ．2C ．4D ．89．过点P （﹣，﹣1）的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A ．（0，]B ．（0，] C ．[0，] D ．[0，]10．点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．双曲线的两条渐近线方程为．12．以等腰直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，若等腰直角三角形的直角边长为1，则所得圆锥的侧面积等于．13．已知=（1，1，0），=（﹣1，0，2），则|2﹣|= ．14．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为米．15．设F 1、F 2是椭圆E ： =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为直线x=上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为．16．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA=PB ，且侧面PAB ⊥平面ABCD ，点E 是AB 的中点．（Ⅰ）求证：CD ∥平面PAB ；（Ⅱ）求证：PE ⊥AD ．18．已知圆C 经过A （1，3），B （﹣1，1）两点，且圆心在直线y=x 上．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 经过点（2，﹣2），且l 与圆C 相交所得弦长为，求直线l 的方程．19．已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为x+y ﹣1=0，3x ﹣y+4=0，且它的对角线的交点是M （3，3），求这个平行四边形其他两边所在直线的方程．20．如图，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB=PA=2BC=2，M 为PB 的中点．（Ⅰ）求证：AM ⊥平面PBC ；（Ⅱ）求二面角A ﹣PC ﹣B 的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC 上存在点D ，使得BD ⊥AC ，并求的值．21．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试高二理科数学试卷参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知A（﹣1，﹣3），B（3，5），则直线AB的斜率为（）A．2 B．1 C．D．不存在【考点】直线的斜率．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】根据两点坐标求出直线AB的斜率即可．【解答】解：直线AB的斜率k==2，故选：A．【点评】此题考查学生会根据两点坐标求过两点直线的斜率，是一道基础题．2．圆心为（﹣3，2）且过点A（1，﹣1）的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y﹣2）2=5 B．（x+3）2+（y﹣2）2=5 C．（x﹣3）2+（y﹣2）2=25 D．（x+3）2+（y﹣2）2=25 【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；直线与圆．【分析】由已知利用两点间的距离公式求出圆的半径，代入圆的标准方程得答案．【解答】解：∵圆心为（﹣3，2）且过点A（1，﹣1），∴圆的半径，则圆的方程为（x+3）2+（y﹣2）2=25．故选：D．【点评】本题考查圆的方程的求法，是基础的会考题型．3．已知直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，则m=（）A．﹣1 B．C．1 D．4【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由直线的垂直关系可得1×2+（﹣2）m=0，解方程可得．【解答】解：∵直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，∴1×2+（﹣2）m=0，解得m=1故选：C【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．4．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选B．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．5．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B．4 C．2 D．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线方程化为标准方程，即可确定实轴长．【解答】解：双曲线2x2﹣y2=8，可化为∴a=2，∴双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是4故选B．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．6．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；图表型．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可【解答】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3此棱锥的体积为=2故选B．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是四棱锥的体积，其公式为×底面积×高．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”，三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．7．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A． B． C．1 D．2【考点】简单线性规划．【专题】作图题；对应思想；数形结合法；不等式．【分析】由约束条件作出可行域，求出可行域内使直线OM斜率取最小值的点M，由两点求斜率公式得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得M（3，﹣1），∴直线OM 斜率的最小值为k=．故选：A ．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，A （x 0，y 0）是C 上一点，AF=|x 0|，则x 0=（）A ．1B ．2C ．4D ．8【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．【解答】解：抛物线C ：y 2=x 的焦点为F，∵A （x 0，y 0）是C 上一点，AF=|x 0|，∴=x 0+，解得x 0=1．故选：A ．【点评】本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题．9．过点P （﹣，﹣1）的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A ．（0，]B ．（0，]C ．[0，]D ．[0，]【考点】直线与圆的位置关系．【分析】用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1，由此求得斜率k 的范围，可得倾斜角的范围．【解答】解：由题意可得点P （﹣，﹣1）在圆x 2+y 2=1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k ，则直线方程为 y+1=k （x+），即 kx ﹣y+k ﹣1=0．根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1，即 3k 2﹣2k+1≤k 2+1，解得0≤k ≤，故直线l 的倾斜角的取值范围是[0，]，故选：D ．【点评】本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．10．点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线【考点】轨迹方程．【专题】压轴题；运动思想．【分析】根据题意“点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离”，将平面内到定圆C的距离转化为到圆上动点的距离，再分点A现圆C的位置关系，结合圆锥曲线的定义即可解决．【解答】解：排除法：设动点为Q，1．当点A在圆内不与圆心C重合，连接CQ并延长，交于圆上一点B，由题意知QB=QA，又QB+QC=R，所以QA+QC=R，即Q的轨迹为一椭圆；如图．2．如果是点A在圆C外，由QC﹣R=QA，得QC﹣QA=R，为一定值，即Q的轨迹为双曲线的一支；3．当点A与圆心C重合，要使QB=QA，则Q必然在与圆C的同心圆，即Q的轨迹为一圆；则本题选D．故选D．【点评】本题主要考查了轨迹方程，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．双曲线的两条渐近线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：【点评】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想12．以等腰直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，若等腰直角三角形的直角边长为1，则所得圆锥的侧面积等于．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】圆锥的底面半径为1，高为1，母线为．【解答】解：∵等腰直角三角形的斜边长为，∴圆锥的母线l=．∵圆锥的底面半径r=1，∴圆锥的侧面积S=πrl=．故答案为．【点评】本题考查了圆锥的结构特征和侧面积计算，属于基础题．13．已知=（1，1，0），=（﹣1，0，2），则|2﹣|= ．【考点】空间向量的加减法．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用．【分析】利用平面向量坐标运算公式求出﹣，由此能求出|2﹣|．【解答】解：∵ =（1，1，0），=（﹣1，0，2），∴﹣=（2，2，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2），∴|2﹣|==．故答案为：．【点评】本题考查向量的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量坐标运算法则的合理运用．14．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为 2 米．【考点】抛物线的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】先建立直角坐标系，将A 点代入抛物线方程求得m ，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x 0进而得到答案．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x 2=my ，将A （2，﹣2）代入x 2=my ，得m=﹣2∴x 2=﹣2y ，代入B （x 0，﹣3）得x 0=，故水面宽为2m ．故答案为：2．【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．15．设F 1、F 2是椭圆E ： =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为直线x=上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF 2|=|F 2F 1|，根据P 为直线x=上一点建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：设x=交x 轴于点M ， ∵△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形∴∠PF 2F 1=120°，|PF 2|=|F 2F 1|，且|PF 2|=2|F 2M|∵P 为直线x=上一点，∴2（﹣c ）=2c ，解之得3a=4c∴椭圆E 的离心率为e==故答案为：【点评】本题给出与椭圆有关的等腰三角形，在已知三角形形状的情况下求椭圆的离心率．着重考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．16．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是 []．．【考点】直线与平面平行的性质．【专题】空间位置关系与距离．【分析】分别取棱BB 1、B 1C 1的中点M 、N ，连接MN ，易证平面A 1MN ∥平面AEF ，由题意知点P 必在线段MN 上，由此可判断P 在M 或N 处时A 1P 最长，位于线段MN 中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【解答】解：如下图所示：分别取棱BB 1、B 1C 1的中点M 、N ，连接MN ，连接BC 1，∵M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴MN ∥BC 1，EF ∥BC 1，∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，∴MN ∥平面AEF ；∵AA 1∥NE ，AA 1=NE ，∴四边形AENA 1为平行四边形，∴A 1N ∥AE ，又A 1N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，∴A 1N ∥平面AEF ，又A 1N ∩MN=N ，∴平面A 1MN ∥平面AEF ，∵P 是侧面BCC 1B 1内一点，且A 1P ∥平面AEF ，则P 必在线段MN 上，在Rt △A 1B 1M 中，A 1M===，同理，在Rt △A 1B 1N 中，求得A 1N=， ∴△A 1MN 为等腰三角形，当P 在MN 中点O 时A 1P ⊥MN ，此时A 1P 最短，P 位于M 、N 处时A 1P 最长，A 1O===，A 1M=A 1N=，所以线段A 1P 长度的取值范围是[]．故答案为：[]．【点评】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P 点位置．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA=PB ，且侧面PAB ⊥平面ABCD ，点E 是AB 的中点．（Ⅰ）求证：CD ∥平面PAB ；（Ⅱ）求证：PE ⊥AD ．【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由已知CD∥AB，由此能证明CD∥平面PAB．（Ⅱ）推导出PE⊥AB，从而PE⊥平面ABCD，由此能证明PE⊥AD．【解答】证明：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∴CD∥AB．又∵CD⊄平面PAB，且AB⊂平面PAB，∴CD∥平面PAB．（Ⅱ）∵PA=PB，点E是AB的中点，∴PE⊥AB．∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE⊂平面PAB，∴PE⊥平面ABCD．∵AD⊂平面ABCD，∴PE⊥AD．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．已知圆C经过A（1，3），B（﹣1，1）两点，且圆心在直线y=x上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线l经过点（2，﹣2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；分类讨论；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，a），利用CA=CB，建立方程，求出a，即可求圆C的方程；（Ⅱ）分类讨论，利用圆心到直线的距离公式，求出斜率，即可得出直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，a），依题意，有，即a2﹣6a+9=a2+2a+1，解得a=1，所以r2=（1﹣1）2+（3﹣1）2=4，所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．（Ⅱ）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，所以直线x=2符合题意．设直线l方程为y+2=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣2=0，则，解得，所以直线l的方程为，即4x+3y﹣2=0．综上，直线l的方程为x﹣2=0或4x+3y﹣2=0．【点评】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确运用点到直线的距离公式是关键．19．已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为x+y﹣1=0，3x﹣y+4=0，且它的对角线的交点是M（3，3），求这个平行四边形其他两边所在直线的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程．【专题】计算题．【分析】依题意，由方程组可解得平行四边形ABCD的顶点A的坐标，再结合对角线的交点是M（3，3），可求得C点坐标，利用点斜式即可求得其他两边所在直线的方程．【解答】解：联立方程组解得，所以平行四边形ABCD的顶点A（﹣，）．设C（x0，y），由题意，点M（3，3）是线段AC的中点，所以，解得所以C（，）．由已知，直线AD的斜率kAD=3．因为直线BC∥AD，所以，直线BC的方程为3x﹣y﹣16=0．由已知，直线AB的斜率kAB=﹣1．因为直线CD∥AB，所以，直线CD的方程为x+y﹣11=0．因此，其他两边所在直线的方程是3x﹣y﹣16=0，x+y﹣11=0．【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系，考查方程思想与运算能力，属于中档题．20．如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD⊥AC，并求的值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明AM⊥平面PBC；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）根据向量关系，以及直线垂直，利向量法进行求解即可．【解答】证明：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB．又AM⊂平面PAB，所以AM⊥BC．因为PA=AB，M为PB的中点，所以AM⊥PB．又PB∩BC=B，所以AM⊥平面PBC．（Ⅱ）如图，在平面ABC内，作AZ∥BC，则AP，AB，AZ两两互相垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）．，，设平面APC的法向量为，则即令y=1，则z=﹣2．所以=（0，1，﹣2）．由（Ⅰ）可知=（1，1，0）为平面的法向量，设，的夹角为α，则cosα=．因为二面角A﹣PC﹣B为锐角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．（Ⅲ）设D（u，v，w）是线段PC上一点，且，（0≤λ≤1）．即（u﹣2，v，w）=λ（﹣2，2，1）．所以u=2﹣2λ，v=2λ，w=λ．所以．由，得．因为，所以在线段PC存在点D，使得BD⊥AC．此时=．【点评】本题主要考查空间位置关系的判断，以及利用向量法求二面角的大小以及空间线面垂直的判定，考查学生的推理能力．21．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的标准方程；直线的斜率；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】压轴题．【分析】（1）设椭圆方程为．由两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，由此能够求出a ，b ，c 的值，从而得到所求椭圆方程．（2）右焦点F （1，0），直线l 的方程为y=x ﹣1．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由题设条件得．由此入手可求出．（3）假设在线段OF 上存在点M （m ，0）（0＜m ＜1），使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，设直线l 的方程为y=k （x ﹣1）（k ≠0）．由题意知（1+2k 2）x 2﹣4k 2x+2k 2﹣2=0．由此可知．【解答】解：（1）由已知，椭圆方程可设为．∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，∴．所求椭圆方程为．（2）右焦点F （1，0），直线l 的方程为y=x ﹣1．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由得3y 2+2y ﹣1=0，解得．∴．（3）假设在线段OF 上存在点M （m ，0）（0＜m ＜1），使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为y=k （x ﹣1）（k ≠0）．由可得（1+2k 2）x 2﹣4k 2x+2k 2﹣2=0．∴．．其中x 2﹣x 1≠0以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形⇔（x 1+x 2﹣2m ，y 1+y 2）（x 2﹣x 1，y 2﹣y 1）=0⇔（x 1+x 2﹣2m ）（x 2﹣x 1）+（y 1+y 2）（y 2﹣y 1）=0⇔（x 1+x 2﹣2m ）+k （y 1+y 2）=0⇔2k 2﹣（2+4k 2）m=0．∴．【点评】本题考查圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．。