高考数学一轮复习立体几何多选题测试试题及答案

高考数学一轮复习立体几何多选题测试试题及答案
一、立体几何多选题
1．已知图1中，A 、B 、C 、D 是正方形EFGH 各边的中点，分别沿着AB 、BC 、
CD 、DA 把ABF 、BCG 、CDH △、DAE △向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD 垂直，再顺次连接EFGH ，得到一个如图2所示的多面体，则（ ）
A ．AEF 是正三角形
B ．平面AEF ⊥平面CGH
C ．直线CG 与平面AEF 2
D ．当2AB =时，多面体ABCD EFGH -的体积为83
【答案】AC 【分析】
取CD 、AB 的中点O 、M ，连接OH 、OM ，证明出OH ⊥平面ABCD ，然后以点
O 为坐标原点，OM 、OC 、OH 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求
出EF ，可判断A 选项的正误，利用空间向量法可判断BC 选项的正误，利用几何体的体积公式可判断D 选项的正误. 【详解】
取CD 、AB 的中点O 、M ，连接OH 、OM ， 在图1中，
A 、
B 、
C 、
D 是正方形EFGH 各边的中点，则
11
22
CH GH EH DH ===，
O 为CD 的中点，OH CD ∴⊥，
平面CDH ⊥平面ABCD ，平面CDH 平面ABCD CD =，OH ⊂平面CDH ，
OH ∴⊥平面ABCD ，
在图1中，设正方形EFGH 的边长为()220a a >，可得四边形ABCD 的边长为2a ， 在图1中，ADE 和ABF 均为等腰直角三角形，可得45BAF DAE ∠=∠=， 90BAD ∴∠=，∴四边形ABCD 是边长为2a 的正方形，
O 、M 分别为CD 、AB 的中点，则//OC BM 且OC BM =，且90OCB ∠=，
所以，四边形OCBM 为矩形，所以，OM CD ⊥，
以点O 为坐标原点，OM 、OC 、OH 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，
则()2,,0A a a -、()2,,0B a a 、()0,,0C a 、()0,,0D a -、(),,E a a a -、()2,0,F a a 、
(),,G a a a 、()0,0,H a .
对于A 选项，由空间中两点间的距离公式可得2AE AF EF a ===，
所以，
AEF 是正三角形，A 选项正确；
对于B 选项，设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，(),0,AE a a =-，
()0,,AF a a =，
由11110
m AE ax az m AF ay az ⎧⋅=-+=⎪⎨
⋅=+=⎪⎩，取11z =，则11x =，11y =-，则()1,1,1m =-，
设平面CGH 的法向量为()222,,n x y z =，(),0,CG a a =，()0,,CH a a =-， 由222200
n CG ax az n CH ay az ⎧⋅=+=⎪
⎨
⋅=-+=⎪⎩，取21z =-，可得21x =，21y =-，则()1,1,1n =--，
()2
2111110m n ⋅=+--⨯=≠，所以，平面AEF 与平面CGH 不垂直，B 选项错误；
对于C 选项，6
cos ,23
CG m CG m a CG m
⋅<>=
=
=⨯⋅， 设直线CG 与平面AEF 所成角为θ，则sin 6θ=，23cos 1sin θθ=-=，
所以，sin tan 2cos θ
θθ
=
=，C 选项正确； 对于D 选项，以ABCD 为底面，以OH 为高将几何体ABCD EFGH -补成长方体
1111ABCD A B C D -，则E 、F 、G 、H 分别为11A D 、11A B 、11B C 、11C D 的中点，
因为2AB =，即1a =，则1OH =，长方体1111ABCD A B C D -的体积为2214V =⨯=，
11211111
113326
A A EF A EF V S AA -=⋅=⨯⨯⨯=△，
因此，多面体ABCD EFGH -的体积为1110
44463
ABCD EFGH A A EF V V V --=-=-⨯=， D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】
方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin h
l
θ=
（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.
2．已知三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，其长度分别为a ，b ，c ．点A 在底面BCD 内的射影为O ，点A ，B ，C ，D 所对面的面积分别为A S ，B S ，C S ，D S ．在下列所给的命题中，正确的有（ ） A ．2A BCO D S S
S ⋅=； B ．3
3
3
3
A B C D S S S S <++；
C ．若三条侧棱与底面所成的角分别为1α，1β，1γ，则222
111sin sin sin 1αβγ++=；
D ．若点M 是面BCD 内一个动点，且AM 与三条侧棱所成的角分别为2α，2β，2γ，则
22cos α+2222cos cos 1βγ+=．
【答案】ACD 【分析】
由Rt O OA '与Rt O AD '相似，得边长关系，进而判断A 正确；当M 与O 重合时，注意线面角与线线角的关系，即可得C 正确；构造长方体，建立直角坐标系，代入夹角公式计算可得D 正确；代入特殊值，可得B 错误. 【详解】
由三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，
则将三棱锥A BCD -补成长方体ABFC DGHE -，连接DO 并延长交BC 于O '， 则AO BC ⊥．
对A ：由Rt O OA '与Rt O AD '相似，则2O A O O O D '''=⨯
又1
2
A S BC O D '=
⋅，1
2
BCO
S BC O O '=
⋅， 2
22211
24
D
S BC O A BC O A ⎛⎫''=⋅=⋅ ⎪⎝⎭
所以2
A BCO
D S S
S ⋅=，故A 正确．
对B ：当1a b c ===时，333
18
B C D S S S ===
，则333
38B C D S S S ++=，
而3
3
2333322288A S ⎛⎫=⨯⨯=> ⎪ ⎪⎝⎭
，此时3333A B C D S S S S >++，故B 不正确． 对D ：分别以AB ，AC ，AD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系． 设(),,M x y z ，则(),,AM x y z =，222AM x y z =
++，
(),0,0AB a =，()0,,0AC b =，()0,0,AD c =
所以2
2
2
222
222cos cos cos AM AB AM AC AM AD AM AB
AM AC
AM AD
αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪⋅⋅⋅⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
2222
2
2
1x y z AM
AM
AM
=
+
+
=，所以D 正确．
对C ：当M 与O 重合时，AO ⊥面BCD ，
由D 有222
222cos cos cos 1αβγ++=，
由各侧棱与底面所成角与侧棱与所AO 成角互为余角，可得C 正确． 故选：ACD.
【点睛】
关键点睛：本题考查空间线面角、线线角、面积关系的问题，计算角的问题关键是建立空
间直角坐标系，写出点的坐标，利用数量积的公式代入计算，解决这道题目还要结合线面角与线线角的关系判断.
3．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 内（含边界）一点．（ ） A ．若13A P =，则满足条件的P 点有且只有一个 B ．若12A P =，则点P 的轨迹是一段圆弧 C ．若1//A P 平面11B D C ，则1A P 长的最小值为2
D ．若12
A P =且1//A P 平面11
B D
C ，则平面11A PC 截正方体外接球所得截面的面积为23
π
【答案】ABD 【分析】
选项A ，B 可利用球的截面小圆的半径来判断；由平面1//A BD 平面11B D C ，知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD 上，1A P 长的最大值为2；结合以上条件点P 与B 或D 重合，利用12sin 60A P r =︒，求出6
r =，进而求出面积. 【详解】
对A 选项，如下图：由13A P =，知点P 在以1A 为球心，半径为3的球上，又因为P 在底面ABCD 内（含边界），底面截球可得一个小圆，由1A A ⊥底面ABCD ，知点P 的轨迹是在底面上以A 为圆心的小圆圆弧，半径为22112r A P A A =-=，则只有唯一一点C
满足，故A 正确；
对B 选项，同理可得点P 在以A 为圆心，半径为22111r A P A A =
-=的小圆圆弧上，在
底面ABCD 内（含边界）中，可得点P 轨迹为四分之一圆弧BD .故B 正确；
对C 选项，移动点P 可得两相交的动直线与平面11B D C 平行，则点P 必在过1A 且与平面
11B D C 平行的平面内，由平面1//A BD 平面11B D C ，知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD
上，则1A P 长的最大值为12A B =，则
C 不正确； 对选项
D ，由以上推理可知，点P 既在以A 为圆心，半径为1的小圆圆弧上，又在线段BD 上，即与B 或D 重合，不妨取点B ，则平面11A PC 截正方体外接球所得截面为11A BC 的外接圆，利用2126622,,sin 60333
A B r r S r π
π=
=∴=∴==
︒.故D 正确.
故选：ABD 【点睛】
（1）平面截球所得截面为圆面，且满足222=R r d +（其中R 为球半径，r 为小圆半径，
d 为球心到小圆距离）；
（2）过定点A 的动直线平行一平面α，则这些动直线都在过A 且与α平行的平面内.
4．在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，18AA =，点P 在线段11A C 上，M 为AB 的中点，则（ ） A ．BD ⊥平面PAC
B ．当P 为11A
C 的中点时，四棱锥P ABC
D -外接球半径为7
2
C ．三棱锥A PC
D -体积为定值
D ．过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面，所得截面圆的面积的最小值为4π 【答案】ACD 【分析】
利用线面垂直的判定定理可判断A 选项的正误；判断出四棱锥P ABCD -为正四棱锥，求
出该四棱锥的外接球半径，可判断B 选项的正误；利用等体积法可判断C 选项的正误；计算出截面圆半径的最小值，求出截面圆面积的最小值，可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，因为AB BC =，所以，矩形ABCD 为正方形，所以，BD AC ⊥， 在长方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，
1BD AA ∴⊥，
1AC AA A ⋂=，AC 、1AA ⊂平面PAC ，所以，BD ⊥平面PAC ，A 选项正确；
对于B 选项，当点P 为11A C 的中点时，PA ===
同理可得PB PC PD ===
因为四边形ABCD 为正方形，所以，四棱锥P ABCD -为正四棱锥， 取AC 的中点N ，则PN 平面ABCD ，且四棱锥P ABCD -的外接球球心在直线PN
上，
设该四棱锥的外接球半径为R ，由几何关系可得2
22PN R AN R -+=， 即2
288R R -+=，解得9
2
R =，B 选项错误； 对于C 选项，211
4822
ACD
S
AD CD =
⋅=⨯=， 三棱锥P ACD -的高为18AA =，因此，1164
33
A PCD P ACD ACD V V S AA --==⋅=△，C 选项正确；
对于D 选项，设长方体1111ABCD A B C D -的外接球球心为E ，则E 为1BD 的中点， 连接EN 、MN ，则11
42EN DD =
=，122
MN AD ==， E 、N 分别为1BD 、BD 的中点，则1//EN DD ， 1DD ⊥平面ABCD ，EN ∴⊥平面ABCD ，
MN ⊂
平面ABCD ，EN MN ∴⊥，EM ∴==
过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面为平面α，点E 到平面α的距离为
d ，
直线EM 与平面α所成的角为θ，则sin d EM θθ==≤ 当且仅当2
π
θ=
时，等号成立，
长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径为R '==，
所以，截面圆的半径2r =
≥
=，
因此，截面圆面积的最小值为4π，D 选项正确.
故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.
5．在三棱锥M ABC -中，下列命题正确的是（ ）
A ．若12
33
AD AB AC =
+，则3BC BD = B ．若G 为ABC 的重心，则111
333
MG MA MB MC =++
C ．若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MB AC ⋅=
D ．若三棱锥M ABC -的棱长都为2，P ，Q 分别为MA ，BC 中点，则2PQ = 【答案】BC 【分析】
作出三棱锥M ABC -直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】
对于A ，由已知12
322233
AD AB AC AD AC AB AD AC AB AD =+⇒=+⇒-=-，即2CD DB =，则
3
2
BD BD DC BC =+=，故A 错误； 对于B ，由G 为ABC 的重心，得0GA GB GC ++=，又MG MA AG =+，
MG MB BG =+，MG MC CG =+，3MA MB MC MG ∴++=，即
111
333
MG MA MB MC =++，故B 正确；
对于C ，若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MC MA BC AB ⋅+⋅=，即
()00
MA BC AC CB MA BC AC C MC C M B M C ⋅++=⇒⋅++⋅⋅=⋅()
00MA BC A MC MC MC MC C BC MA BC AC ⋅⋅⋅⇒⋅+-=⇒-+=⋅()
000MC M CA BC AC AC CB AC CB AC C MC ⇒+=⇒+=⇒+=⋅⋅⋅⋅⋅，即0MB AC ⋅=，故C 正确；
对于D ，111
()()222
PQ MQ MP MB MC MA MB MC MA ∴=-=
+-=+- ()
2
11
22
PQ MB MC MA MB MC MA ∴=+-=
+-，又
()
2
2
2
2
222MB MC MA MB MC MA MB MC MB MA MC MA
+-=+++⋅-⋅-⋅2221112222222222228222=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，1
822
PQ ∴==，故
D 错误. 故选：BC 【点睛】
关键点睛：本题考查向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于
由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
6．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE .以下命题正确的有（ ）
A ．侧面11CDD C 上存在点F ，使得11
B F CD ⊥ B ．直线1B F 与直线B
C 所成角可能为30︒
C ．平面1A BE 与平面11CD
D C 所成锐二面角的正切值为2
D ．设正方体棱长为1，则过点
E ，
F ，A 5 【答案】AC 【分析】
取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，易证得平面1//B MN 平面1A BE ，可得点F 的运动轨迹为线段MN ．取MN 的中点F ，根据等腰三角形的性质得1B F MN ⊥，即有11B F CD ⊥，A 正确；当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，可判断B 错误；根据平面1//B MN 平面1A BE ，11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，计算可知C 正确；
【详解】
取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，则易证得11//B N A E ，
1//MN A B ，从而平面1//B MN 平面1A BE ，所以点F 的运动轨迹为线段MN ．
取MN 的中点F ，因为1B MN △是等腰三角形，所以1B F MN ⊥，又因为1//MN CD ，所以11B F CD ⊥，故A 正确；
设正方体的棱长为a ，当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，此时11tan C B F ∠=
1tan 3023
︒<=，所以B 错误； 平面1//B MN 平面1A BE ，取F 为MN 的中点，则1MN C F ⊥，1MN B F ⊥，∴11
B F
C ∠
即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，11
111tan B C B FC C F ∠==22
，所以C 正确；
因为当F 为1C E 与MN 的交点时，截面为菱形1AGC E （G 为1BB 的交点），面积为
6
2
，故D 错误. 故选：AC.
【点睛】
本题主要考查线面角，二面角，截面面积的求解，空间几何中的轨迹问题，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，综合性较强，属于较难题．
7．如图，矩形ABCD 中， 22AB AD ==，E 为边AB 的中点.将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △（点1A 不落在底面BCDE 内），若M 在线段1A C 上（点M 与1A ，C 不重合），则在ADE 翻转过程中，以下命题正确的是（ ）
A ．存在某个位置，使1DE A C ⊥
B ．存在点M ，使得BM ⊥平面1A D
C 成立 C ．存在点M ，使得//MB 平面1A DE 成立
D ．四棱锥1A BCD
E -体积最大值为24
【答案】CD 【分析】
利用反证法可得A 、B 错误，取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ，可证明//MB 平面1A DE ，当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值，利用公式可求得此时体积为2. 【详解】
如图（1），取DE 的中点为F ，连接1,A F CF ， 则45CDF ∠=︒，22DF =
，故212254222222
CF =+-⨯⨯=， 故222DC DF CF ≠+即2
CFD π
∠≠
．
若1CA DE ⊥，因为11,A D A E DF FE ==，故1A F DE ⊥，而111A F A C A ⋂=， 故DE ⊥平面1A FC ，因为CF ⊂平面1A FC ，故DE CF ⊥，矛盾，故A 错． 若BM ⊥平面1A DC ，因为DC ⊂平面1A DC ，故BM DC ⊥， 因为DC CB ⊥，BM CB B ⋂=，故CD ⊥平面1A CB ，
因为1
AC ⊂平面1A CB ，故1CD A C ⊥，但1A D CD <，矛盾，故B 错． 当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值， 由前述证明可知1A F DE ⊥，而平面1A DE
平面BCDE DE =，
1A F ⊂平面1A DE ，故1A F ⊥平面BCDE ，
因为1A DE △为等腰直角三角形，111A D A E ==，故12
2
A F =
，
又四边形BCDE 的面积为13211122
⨯-⨯⨯=， 故此时体积为1322
3224
⨯
⨯=
，故D 正确． 对于C ，如图（2），取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ，
则1//,2IM CD IM CD =
，而1
//,2
BE CD BE CD =， 故//,IM BE IM BE =即四边形IEBM 为平行四边形，
故//IE BM ，因为IE ⊂平面1A DE ，BM ⊄平面1A DE ，故//MB 平面1A DE ， 故C 正确． 故选：CD.
【点睛】
本题考查立体几何中的折叠问题，注意对于折叠后点线面的位置的判断，若命题的不成立，往往需要利用反证法来处理，本题属于难题.
8．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形ABCD ，11BCC B 的中心.则下列结论正确的是（ ）
A ．平面1D MN 与11
B
C 的交点是11B C 的中点 B ．平面1
D MN 与BC 的交点是BC 的三点分点 C ．平面1D MN 与AD 的交点是AD 的三等分点 D ．平面1D MN 将正方体分成两部分的体积比为1∶1 【答案】BC 【分析】
取BC 的中点E ，延长DE ，1D N ，并交于点F ，连FM 并延长分别交,BC AD 于
,P Q ，连1,D Q PN 并延长交11B C 与H ，平面四边形1D HPQ 为所求的截面，进而求出
,,P Q H 在各边的位置，利用割补法求出多面体11QPHD C CD 的体积，即可求出结论.
【详解】
如图，取BC 的中点E ，延长DE ，1D N ，并交于点F ， 连接FM 并延长，设FM BC P ⋂=，FM AD Q ⋂=， 连接PN 并延长交11B C 于点H .连接1D Q ，1D H ，
则平面四边形1D HPQ 就是平面1D MN 与正方体的截面，如图所示.
111111
////,22
NE CC DD NE CC DD ==，
NE ∴为1DD F ∆的中位线，E ∴为DF 中点，连BF ， ,,90DCE FBE BF DC AB FBE DCE ∴∆≅∆==∠=∠=︒， ,,A B F ∴三点共线，取AB 中点S ，连MS ，
则12//,,23
BP FB MS BP MS BC MS FS =
∴==， 22111
,33236
BP MS BC BC PE BC ∴=
=⨯=∴=， E 为DF 中点，11
//,233
PE DQ DQ PE BC AD ∴===
N 分别是正方形11BCC B 的中心，1111
3
C H BP C B ∴==
所以点P 是线段BC 靠近点B 的三等分点， 点Q 是线段AD 靠近点D 的三等分点， 点H 是线段11B C 靠近点1C 的三等分点. 做出线段BC 的另一个三等分点P '， 做出线段11A D 靠近1D 的三等分点G ，
连接QP '，HP '，QG ，GH ，1H QPP Q GHD V V '--=，
所以111113
QPHD C CD QPHQ DCC D V V V -==多面体长方体正方体 从而平面1D MN 将正方体分成两部分体积比为2∶1. 故选:BC.
【点睛】
本题考查直线与平面的交点及多面体的体积，确定出平面与正方体的交线是解题的关键，考查直观想象、逻辑推理能力，属于较难题.
9．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB '，DD '交于点M ，N ，以下四个命题中正确的是（ ）
A ．0MN EF ⋅=
B ．ME NE =
C ．四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:3
D ．四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3 【答案】ABD 【分析】
证明EF ⊥平面BDD B ''，进而得EF MN ⊥，即可得A 选项正确；证明四边形MENF 为菱形即可得B 选项正确；由菱形性质得四边形MENF 的面积1
2
S MN EF =⋅，再分别讨论MN 的最大值与最小值即可；根据割补法求解体积即可. 【详解】
对于A 选项，如图，连接BD ，B D ''，MN ．由题易得EF BD ⊥，EF BB '⊥，
BD BB B '⋂=，
所以EF ⊥平面BDD B ''，又MN ⊂平面BDD B ''，所以EF MN ⊥，
因此0MN EF ⋅=，故A 正确．
对于B 选项，由正方体性质得：平面''//BCC B 平面''ADD A ，
平面''BCC B 平面EMFN MF =，平面''ADD A 平面EMFN EN =， 所以
//MF EN ，
同理得//ME NF ，又EF MN ⊥，所以四边形MENF 为菱形， 因此ME NE =，故B 正确．
对于C 选项，由B 易得四边形MENF 的面积1
2
S MN EF =
⋅， 所以当点M ，N 分别为BB '，DD '的中点时，四边形MENF 的面积S 最小，
此时MN EF ==，即面积S 的最小值为1；
当点M ，N 分别与点B （或点B '），D （或D ）重合时，四边形MENF 的面积S 最
大，
此时MN =，即面积S
所以四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2C 不正确． 对于D 选项，四棱锥A MENF -的体积
1111336
M AEF N AEF AEF V V V DB S --=+=
⋅==△； 因为E ，F 分别是AA '，CC '的中点，所以BM D N '=，DN B M '=，于是被截面MENF 平分的两个多面体是完全相同的，
则它们的体积也是相同的，因此多面体ABCD EMFN -的体积
21122
ABCD A B C D V V ''''-==正方体，
所以四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3，故D 正确． 故选：ABD ．
【点睛】
本题考查立体几何与向量的综合、截面面积的最值、几何体的体积，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明四边形MENF 为菱形，利用割补法将四棱锥A MENF -的体积转化为三棱锥M AEF - 和N AEF -的体积之和，将多面体
ABCD EMFN -的体积转化为正方体的体积的一半求解.
10．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交棱
1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，得四边形1BFD E ，在以下结论中，正确的是（ ）
A ．四边形1BFD E 有可能是梯形
B ．四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形
C ．四边形1BF
D
E 有可能垂直于平面11BB D D D ．四边形1BFD E 6【答案】BCD 【分析】
四边形1BFD E 有两组对边分别平行知是一个平行四边形四边形；1BFD E 在底面ABCD
内的投影是四边形ABCD ；当与两条棱上的交点是中点时，四边形1BFD E 垂直于面
11BB D D ；当E ，F 分别是两条棱的中点时，四边形1BFD E 的面积最小为62
.
【详解】
过1BD 作平面与正方体1111ABCD A B C D -的截面为四边形1BFD E ， 如图所示，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，且平面1BFD E 平面11ABB A BE =.
平面1BFD E
平面1111,//DCC D D F BE D F =，因此，同理1//D E BF ，
故四边形1BFD E 为平行四边形，因此A 错误；
对于选项B ，四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形ABCD ，因此B 正确； 对于选项C ，当点E F 、分别为11,AA CC 的中点时，EF ⊥平面11BB D D ，又EF ⊂平面
1BFD E ，则平面1BFD E ⊥平面11BB D D ，因此C 正确；
对于选项D ，当F 点到线段1BD 的距离最小时，此时平行四边形1BFD E 的面积最小，此时点E F 、分别为11,AA CC 的中点，此时最小值为16
2322
⨯⨯=
，因此D 正确. 故选：BCD
【点睛】关键点睛：解题的关键是理解想象出要画的平面是怎么样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面即可正确解题.。