04岩石的本构关系和强度准则1
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微分单元体的变形
15
4.2 应变及应变状态分析
微分单元体的变形
16
4.2 应变及应变状态分析
微分单元体的变形
正应变与位移分量之间的关系
显然微分线段伸长，则正应变ε x,ε y,ε z 大于零；反之则小于零。
17
4.2 应变及应变状态分析
微分单元体的变形
剪应变与位移分量之间的关系
xy
19
4.3 岩石的应力应变关系
求解岩石力学问题是从岩石的单元微分体出发，研究微分 体的力的平衡关系(平衡方程)、位移与应变的关系(几何方程) 以及应力与应变的关系(物理方程或本构方程)，得到相应的基 本方程，然后结合岩石的边界条件，联立、积分求解这些方程， 从而求得整个岩石内部的应力场和位移场。 平衡方程和几何方程与岩石材料的性质无关，只有本构关 系反映岩石材料的性质。所谓岩石本构关系是指岩石的应力或 应力速率与其应变或应变速率的关系。在只考虑静力问题情况 下，本构关系就是指应力与应变，或者应力增量与应变增量之 间的关系。
11 12 13 11 12 13 22 23 12 22 23 21 31 32 33 13 23 33
7
4.1 应力及应力状态分析
二、一点应力状态的张量表达
20
4.3 岩石的应力应变关系
岩石在弹性阶段的本构关系称为岩石弹性本构关系，岩 石在塑性阶段的本构关系称为岩石塑性本构关系。岩石弹性
本构关系和塑性本构关系通称为弹塑性本构关系。弹性本构 关系按是否为线性又分为线弹性本构关系与非线弹性本构关 系。弹塑性本构关系按物质是否为各向同性又分为各向同性 本构关系和非各向同性本构关系。 如果外界条件不变，岩石的应力或应变随时间而变化， 则称岩石具有流变性。岩石产生流变时的本构关系称为岩石 的流变本构关系。
29
4.4 岩石的强度理论
五、莫尔-库仑判据 莫尔认为：材料在极限状态下，剪切面上的剪应
力达到随法向应力和材料性质而定的极限值时，发生
破坏。 也就是说，当材料中一点可能滑动，面上的剪应 力超过该面上的剪切强度时，该点就产生破坏，而滑 动面的剪切强度τ 又是作用于该面上法向应力σ 的函 数。
f ( )30源自4.4 岩石的强度理论 根据莫尔强度理论，在判断材料内某点处于复 杂应力状态下是否破坏时，只要在τ -σ平面上 作出该点的莫尔应力圆。
5 3
4
4
2
2 1
3
0
σ
1
31
4.4 岩石的强度理论
为了简化计算，岩石力学中大多采用直线形 式的包络线 τ
σ σ σ σ
3 3 3 1
σ
σ
1
x 0 x 0 y 0 y 0 z 0 z 0
ij ij 0 Sij
9
4.1 应力及应力状态分析
三、应力平衡微分方程
1）直角坐标系下的应力平衡方程
10
4.1 应力及应力状态分析
刚体位移
变形
13
4.2 应变及应变状态分析
应变的概念
单元体棱边的伸长和缩短--正应变
棱边之间夹角的变化--切应变或剪应变
εx、εy、εz表示x，y，z轴方向棱边的相对伸长度，即正应变。 用γxy、γyz、γzx表示x和y，y和z，z和x轴之间的夹角变化，即切应变。
14
4.2 应变及应变状态分析
或者可将这一条件写成解析表达式的形式：
2 1
2 2 R2 2 R2 3 R2 0
26
4.4 岩石的强度理论
二、最大正应变理论
从某些岩石受压破坏时沿着横向(平行于受力方向)分成几块的现象， 有人提出了与前一理论不同的假设：材料的破坏取决于最大正应变。认 为：只要材料内任一方向的正应变达到单向压缩或单向拉伸中的破坏数 值，材料就发生破坏。所以，这个理论的强度条件是：
中，实际上独立的应力 分量只有6个。
图4-2 应力状态
4
4.1 应力及应力状态分析
岩石处于静平衡状态—受力平衡和力矩平衡
yy y
剪应力互等定理
xy
xy x l
yy
l
yx
l
l
yx y
l
xx
xx l x
xx
o
xx l x
21
4.3 岩石的应力应变关系
一、 岩石的弹性本构关系
对各向同性的线弹性岩石材料，根据胡克定律可得到其在直角坐标系 下的应力-应变关系为：
1 x [ x v( y z )] E 1 y [ y v( z x )] E 1 z [ z v( x y )] E
yx
18
4.2 应变及应变状态分析
微分单元体的变形
综上所述，应变分量与位移分量之间的关系为
上述公式称为几何方程，又称柯西方程。 柯西方程给出了位移分量和应变分量之间的关系。如果已知位移，由位 移函数的偏导数即可求得应变；但是如果已知应变，由于六个应变分量 对应三个位移分量，则其求解将相对复杂。
1 3 sin 1 3 2cctg
1 3 N Rc
1 2 0 tg (45 ) N 2
34
3 max 1 在复杂应力状态下，最大剪应力 ；在单向压缩 2 R 或拉伸时，最大剪应力的危险值 u ，由此可以得到最大剪 2 应力理论的强度条件： [( 1 3 ) 2 R 2 ] [( 3 2 ) 2 R 2 ] [( 2 1 ) 2 R 2 ] 0
张量：指在坐标变换时，按某种指定形式变化的量，张量的分量随 坐 标的变换而变化。
ij
i, j 1,2,3
8
4.1 应力及应力状态分析
应力张量是二阶张量，由剪应力互等定理得知，应力张量又是二阶对称张 量。一点的应力状态可以用矩阵表示为：
o
x y z
3
x xy xz ij yx y yz zx zy z
根据微分单元体x方向平衡，∑Fx=0，则
11
4.1 应力及应力状态分析
2）柱坐标系下的应力平衡方程
r 1 r zr r fr 0 r r z r
12
4.2 应变及应变状态分析
应变的概念
由于载荷作用或者温度变化等外界因素等影响，物体内各点在 空间的位置将发生变化，即产生位移。
xy
yx
yx y l
xy x
l
yy
yy y
l
5
4.1 应力及应力状态分析
M oz xy xy 2 2 xy l 2l l xy l 2l l x x yx yx 2 2 yx l 2l l yx l 2l l y y
图 4-1 岩体内部任意点的应力
2
4.1 应力及应力状态分析
2）一点应力状态——九个应力分量
3
1
2
3
4.1 应力及应力状态分析
由于：
xy yx yz zy zx xz
，
所以：
，
x y xy z yz xz zx yx zy
、
第4章 岩石的本构关系和强度准则
4.1 应力及应力状态分析 4.2 应变及应变状态分析 4.3 岩石的应力应变关系 4.4 岩石的强度理论
1
4.1 应力及应力状态分析
一、基本概念
1）应力
Q S lim A0 A
与岩石形变和强度直接相 关的是应力在其作用法线方向 的分量及切线方向的分量，其 中，沿截面法线方向的应力分 量称为正应力σ，切线方向的应 力分量称为剪应力
28
max u
4.4 岩石的强度理论
四、八面体强度判据
八面体:指空间坐标中每个卦限取一等斜面，八个等斜面构成的多面体， 称为八面体。 八面体强度判据认为岩石破坏的原因是八面体上的剪应力（τ 8）达到 了临界值所引起的。 八面体应力
1 8 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 3
1
3
1 (10-3)
三向应力状态下大理岩的强度曲线 (曲线上的单位：MPa)
25
4.4 岩石的强度理论
一、最大正应力理论
它假设材料的破坏只取决于绝对值最大的正应力。
据此，当岩石单元体内的三个主应力中只要有一
个达到单轴抗压强度或单轴抗拉强度时，单元就达到 破坏状态，强度条件(或称破坏条件)就是： б1≤Rc б 2 ≤ Rt
xy yz
2(1 v) xy E 2(1 v) yz E 2(1 v) zx E
22
zx
4.3 岩石的应力应变关系
二、 岩石的塑性本构关系
塑性力学中本构关系中的一个最重要方面是塑性本构方程，即 塑性状态下的应力-应变关系。屈服条件和加-卸载准则仅回答岩石 是否进入塑性状态，而分析塑性过程的应力、应变和位移，就需要 建立本构方程。弹性状态的应力-应变为单值关系，这种关系仅取 决于岩石的性质；而塑性状态时，应力-应变关系是多值的，它不 仅取决于岩石性质，而且还取决于加-卸载历史。
23
4.4 岩石的强度理论
定义：表征岩石破坏条件的应力状态与岩石强度参 数间的函数关系，称为破坏判据（failure
criterion)或称强度准则、强度判据。
σ1=F(σ2,σ3,σC,σt,C,Ф )
24
4.4 岩石的强度理论
σ 3 =3 2 6
σ 1-σ 3 ( MPa)
σ σ
3
1
σ σ ε
由力矩平衡： 得出： xy
M oz 0
同理： yz
yx
zy xz zx
6
4.1 应力及应力状态分析
xx yx zx
xy xz xx xy xz yy yz xy yy yz zy zz xz yz zz
max
R ≤u E
R 泛指材料的强度， max 可用广义胡克定律求出， u 根据单向受 力时的实验结果来决定。
27
4.4 岩石的强度理论
三、最大剪应力理论
从单向试验中发现，当有些材料屈服时，试件表面出现了与杆轴成 一定度角的斜线。而最大剪应力就发生在该斜面上，该斜面是材料内部 晶格间的相对剪切滑移的结果。因此就认为这种晶格间的错动是产生塑 性变形的根本原因，据此可假设：材料的破坏取决于最大剪应力。这个 强度条件在塑性力学中称为特雷斯卡(H· Tresca)破坏条件(或屈服条 件)，在进行岩体的弹塑性应力分析时，需要用到这个条件。其强度条 件是：
σ
1
32
4.4 岩石的强度理论
库伦准则：固体内任一点发生剪切破坏时，破坏面上的剪 应力(τ)应等于或大于材料本身的抗切强度(C)和作用于该 面上由法向应力引起的摩擦阻力(σtgυ)之和。
f c tg
莫尔-库仑方程式或莫尔-库仑强度条件
33
4.4 岩石的强度理论
根据几何关系，可以写出：
15
4.2 应变及应变状态分析
微分单元体的变形
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4.2 应变及应变状态分析
微分单元体的变形
正应变与位移分量之间的关系
显然微分线段伸长，则正应变ε x,ε y,ε z 大于零；反之则小于零。
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4.2 应变及应变状态分析
微分单元体的变形
剪应变与位移分量之间的关系
xy
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4.3 岩石的应力应变关系
求解岩石力学问题是从岩石的单元微分体出发，研究微分 体的力的平衡关系(平衡方程)、位移与应变的关系(几何方程) 以及应力与应变的关系(物理方程或本构方程)，得到相应的基 本方程，然后结合岩石的边界条件，联立、积分求解这些方程， 从而求得整个岩石内部的应力场和位移场。 平衡方程和几何方程与岩石材料的性质无关，只有本构关 系反映岩石材料的性质。所谓岩石本构关系是指岩石的应力或 应力速率与其应变或应变速率的关系。在只考虑静力问题情况 下，本构关系就是指应力与应变，或者应力增量与应变增量之 间的关系。
11 12 13 11 12 13 22 23 12 22 23 21 31 32 33 13 23 33
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4.1 应力及应力状态分析
二、一点应力状态的张量表达
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4.3 岩石的应力应变关系
岩石在弹性阶段的本构关系称为岩石弹性本构关系，岩 石在塑性阶段的本构关系称为岩石塑性本构关系。岩石弹性
本构关系和塑性本构关系通称为弹塑性本构关系。弹性本构 关系按是否为线性又分为线弹性本构关系与非线弹性本构关 系。弹塑性本构关系按物质是否为各向同性又分为各向同性 本构关系和非各向同性本构关系。 如果外界条件不变，岩石的应力或应变随时间而变化， 则称岩石具有流变性。岩石产生流变时的本构关系称为岩石 的流变本构关系。
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4.4 岩石的强度理论
五、莫尔-库仑判据 莫尔认为：材料在极限状态下，剪切面上的剪应
力达到随法向应力和材料性质而定的极限值时，发生
破坏。 也就是说，当材料中一点可能滑动，面上的剪应 力超过该面上的剪切强度时，该点就产生破坏，而滑 动面的剪切强度τ 又是作用于该面上法向应力σ 的函 数。
f ( )30源自4.4 岩石的强度理论 根据莫尔强度理论，在判断材料内某点处于复 杂应力状态下是否破坏时，只要在τ -σ平面上 作出该点的莫尔应力圆。
5 3
4
4
2
2 1
3
0
σ
1
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4.4 岩石的强度理论
为了简化计算，岩石力学中大多采用直线形 式的包络线 τ
σ σ σ σ
3 3 3 1
σ
σ
1
x 0 x 0 y 0 y 0 z 0 z 0
ij ij 0 Sij
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4.1 应力及应力状态分析
三、应力平衡微分方程
1）直角坐标系下的应力平衡方程
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4.1 应力及应力状态分析
刚体位移
变形
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4.2 应变及应变状态分析
应变的概念
单元体棱边的伸长和缩短--正应变
棱边之间夹角的变化--切应变或剪应变
εx、εy、εz表示x，y，z轴方向棱边的相对伸长度，即正应变。 用γxy、γyz、γzx表示x和y，y和z，z和x轴之间的夹角变化，即切应变。
14
4.2 应变及应变状态分析
或者可将这一条件写成解析表达式的形式：
2 1
2 2 R2 2 R2 3 R2 0
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4.4 岩石的强度理论
二、最大正应变理论
从某些岩石受压破坏时沿着横向(平行于受力方向)分成几块的现象， 有人提出了与前一理论不同的假设：材料的破坏取决于最大正应变。认 为：只要材料内任一方向的正应变达到单向压缩或单向拉伸中的破坏数 值，材料就发生破坏。所以，这个理论的强度条件是：
中，实际上独立的应力 分量只有6个。
图4-2 应力状态
4
4.1 应力及应力状态分析
岩石处于静平衡状态—受力平衡和力矩平衡
yy y
剪应力互等定理
xy
xy x l
yy
l
yx
l
l
yx y
l
xx
xx l x
xx
o
xx l x
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4.3 岩石的应力应变关系
一、 岩石的弹性本构关系
对各向同性的线弹性岩石材料，根据胡克定律可得到其在直角坐标系 下的应力-应变关系为：
1 x [ x v( y z )] E 1 y [ y v( z x )] E 1 z [ z v( x y )] E
yx
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4.2 应变及应变状态分析
微分单元体的变形
综上所述，应变分量与位移分量之间的关系为
上述公式称为几何方程，又称柯西方程。 柯西方程给出了位移分量和应变分量之间的关系。如果已知位移，由位 移函数的偏导数即可求得应变；但是如果已知应变，由于六个应变分量 对应三个位移分量，则其求解将相对复杂。
1 3 sin 1 3 2cctg
1 3 N Rc
1 2 0 tg (45 ) N 2
34
3 max 1 在复杂应力状态下，最大剪应力 ；在单向压缩 2 R 或拉伸时，最大剪应力的危险值 u ，由此可以得到最大剪 2 应力理论的强度条件： [( 1 3 ) 2 R 2 ] [( 3 2 ) 2 R 2 ] [( 2 1 ) 2 R 2 ] 0
张量：指在坐标变换时，按某种指定形式变化的量，张量的分量随 坐 标的变换而变化。
ij
i, j 1,2,3
8
4.1 应力及应力状态分析
应力张量是二阶张量，由剪应力互等定理得知，应力张量又是二阶对称张 量。一点的应力状态可以用矩阵表示为：
o
x y z
3
x xy xz ij yx y yz zx zy z
根据微分单元体x方向平衡，∑Fx=0，则
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4.1 应力及应力状态分析
2）柱坐标系下的应力平衡方程
r 1 r zr r fr 0 r r z r
12
4.2 应变及应变状态分析
应变的概念
由于载荷作用或者温度变化等外界因素等影响，物体内各点在 空间的位置将发生变化，即产生位移。
xy
yx
yx y l
xy x
l
yy
yy y
l
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4.1 应力及应力状态分析
M oz xy xy 2 2 xy l 2l l xy l 2l l x x yx yx 2 2 yx l 2l l yx l 2l l y y
图 4-1 岩体内部任意点的应力
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4.1 应力及应力状态分析
2）一点应力状态——九个应力分量
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1
2
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4.1 应力及应力状态分析
由于：
xy yx yz zy zx xz
，
所以：
，
x y xy z yz xz zx yx zy
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第4章 岩石的本构关系和强度准则
4.1 应力及应力状态分析 4.2 应变及应变状态分析 4.3 岩石的应力应变关系 4.4 岩石的强度理论
1
4.1 应力及应力状态分析
一、基本概念
1）应力
Q S lim A0 A
与岩石形变和强度直接相 关的是应力在其作用法线方向 的分量及切线方向的分量，其 中，沿截面法线方向的应力分 量称为正应力σ，切线方向的应 力分量称为剪应力
28
max u
4.4 岩石的强度理论
四、八面体强度判据
八面体:指空间坐标中每个卦限取一等斜面，八个等斜面构成的多面体， 称为八面体。 八面体强度判据认为岩石破坏的原因是八面体上的剪应力（τ 8）达到 了临界值所引起的。 八面体应力
1 8 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 3
1
3
1 (10-3)
三向应力状态下大理岩的强度曲线 (曲线上的单位：MPa)
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4.4 岩石的强度理论
一、最大正应力理论
它假设材料的破坏只取决于绝对值最大的正应力。
据此，当岩石单元体内的三个主应力中只要有一
个达到单轴抗压强度或单轴抗拉强度时，单元就达到 破坏状态，强度条件(或称破坏条件)就是： б1≤Rc б 2 ≤ Rt
xy yz
2(1 v) xy E 2(1 v) yz E 2(1 v) zx E
22
zx
4.3 岩石的应力应变关系
二、 岩石的塑性本构关系
塑性力学中本构关系中的一个最重要方面是塑性本构方程，即 塑性状态下的应力-应变关系。屈服条件和加-卸载准则仅回答岩石 是否进入塑性状态，而分析塑性过程的应力、应变和位移，就需要 建立本构方程。弹性状态的应力-应变为单值关系，这种关系仅取 决于岩石的性质；而塑性状态时，应力-应变关系是多值的，它不 仅取决于岩石性质，而且还取决于加-卸载历史。
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4.4 岩石的强度理论
定义：表征岩石破坏条件的应力状态与岩石强度参 数间的函数关系，称为破坏判据（failure
criterion)或称强度准则、强度判据。
σ1=F(σ2,σ3,σC,σt,C,Ф )
24
4.4 岩石的强度理论
σ 3 =3 2 6
σ 1-σ 3 ( MPa)
σ σ
3
1
σ σ ε
由力矩平衡： 得出： xy
M oz 0
同理： yz
yx
zy xz zx
6
4.1 应力及应力状态分析
xx yx zx
xy xz xx xy xz yy yz xy yy yz zy zz xz yz zz
max
R ≤u E
R 泛指材料的强度， max 可用广义胡克定律求出， u 根据单向受 力时的实验结果来决定。
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4.4 岩石的强度理论
三、最大剪应力理论
从单向试验中发现，当有些材料屈服时，试件表面出现了与杆轴成 一定度角的斜线。而最大剪应力就发生在该斜面上，该斜面是材料内部 晶格间的相对剪切滑移的结果。因此就认为这种晶格间的错动是产生塑 性变形的根本原因，据此可假设：材料的破坏取决于最大剪应力。这个 强度条件在塑性力学中称为特雷斯卡(H· Tresca)破坏条件(或屈服条 件)，在进行岩体的弹塑性应力分析时，需要用到这个条件。其强度条 件是：
σ
1
32
4.4 岩石的强度理论
库伦准则：固体内任一点发生剪切破坏时，破坏面上的剪 应力(τ)应等于或大于材料本身的抗切强度(C)和作用于该 面上由法向应力引起的摩擦阻力(σtgυ)之和。
f c tg
莫尔-库仑方程式或莫尔-库仑强度条件
33
4.4 岩石的强度理论
根据几何关系，可以写出：