考点9 函数模型及其应用(解析版)

2010-2015年高考真题汇编
专题2函数
考点9函数模型及其应用
1.（2015年全国卷 10，5分）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点 ，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x 。

将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为（）
【答案】B 【解析】当2π=
x 时，22=+PB PA ，当4
π
=x 时，2251>+=+PB PA ，排除C ，D,显然P 在BC 上运动时，PB PA +与x 并不是呈线性关系，排除A ，选B 2.（2015年四川13，5分）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k ，b 为常数）。

若该食品在的
保鲜时间是192小时，在23的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是________小时。

【答案】24 【解析】 故当时，
y x °
C kx b
y e
+=e=2.718⋅⋅⋅°
0C °
C °
C 0+22ln 4
192ln192,4822
k b
k b e
b e k ⨯⨯+-=⇒==⇒=
33x =ln 4
33ln192ln 2422
24e e -⨯
+==
424
π
424
π
424
π
424
π
A
B
C
D
3.（2015年四川15，5分）已知函数。

对于不相等
的实数，，设，。

现有如下命题：
(1) 对于任意不相等的实数，，都有；
(2) 对于任意的及任意不相等的实数，，都有； (3) 对于任意的，存在不相等的实数，，使得; (4) 对于任意的，存在不相等的实数，，使得. 其中的真命题有_________________(写出所有真命题的序号）。

【答案】(1) (4) 【解析】
(1)设>,函数单调递增，所有>,->0, 则=
>0,所以正确；
(2)设>,则->0,则
，可令=1，=2，
a=—4，则n=—1<0，所以错误； (3)因为，由（2）得：
，分母乘到右边，右边即为
，所以原等式即为=，
即为=，令,
则原题意转化为对于任意的，函数存在不相等的实数，使得函数值相等，，则，则， 令，且，可得为极小值。

若，则，即
)()(,2)(f 2R a ax x x g x x
∈+==其中1x 2x 2121)()(x x x f x f m --=
2
121)
()(n x x x g x g --=1x 2x 0m >a 1x 2x 0n >a 1x 2x n =m a 1x 2x n m -=1x 2x x
21x 22x 21x 2x 2
121)
()(x x x f x f m --=
2
1x 2
122x x x --1x 2x 1x 2x 2
121)
()(n x x x g x g --=
a x x x x a x x x x x x x x a x x ++=-++-=--+-=212
1212121212
22
1))(()(1x 2x n =m 2
121)
()(x x x f x f --a x x ++=21)()(21x g x g -)()(21x f x f -)()(21x g x g -)()(21x g x f -)()(f 21x g x -)()()(x g x f x h -=a )()()(x g x f x h -=1x 2x ax x x h x
--=22)(a x n x x --='22l 2)(h 22l 2)(h -=''）
（n x x
()"
0h x
=12x <<()'h x 10000a =-()'0h x >
，单调递增，不满足题意，所以错误。

(4)由(3) 得=，则，设
，有，使其函数值相等，则不恒为单调。

，，恒成立，单调递增且，。

所以先减后增，满足题意，所以正确。

4.（2014湖南，5分）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.p ＋q 2 B.
p ＋q ＋－12
C.pq
D.p ＋
q ＋
－1
【答案】D
【解析】设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，则(1＋p )(1＋q )a ＝a (1＋x )2，解得x ＝
＋p
＋q －1，故选D.
5.（2014山东，5分）已知函数y ＝f(x)(x ∈R )．对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________． 【答案】(210，＋∞)
【解析】函数g (x )的定义域是[－2,2]， 根据已知得
h x ＋g x
2
＝f (x )，
所以h (x )＝2f (x )－g (x )＝6x ＋2b －4－x 2. 又h (x )>g (x )恒成立，
即6x ＋2b －4－x 2>4－x 2恒成立， 即3x ＋b >4－x 2恒成立． 令y ＝3x ＋b ，y ＝4－x 2，
则只要直线y ＝3x ＋b 在半圆x 2＋y 2＝4(y ≥0)上方即可，由|b |
10
>2，解得b >210(舍去负值)， 故实数b 的取值范围是(210，＋∞)．
()'0h x >()h x )()(21x f x f -)()(21x g x g -()()()()1122f x g x g x f x +=+()()()h x f x g x =+1x 2x ()h x ()22x h x x ax =++()'2ln 22x h x x a =++()()2
''2ln 220x h x =+>()
'h x ()'
0h -∞<()'
0h +∞>()h x
6．（2013陕西，5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面
积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为________(m)．
【答案】20
【解析】本题主要考查构建函数模型，利用基本不等式求解应用问题
的能力．如图，过A 作AH ⊥BC 于H ，交DE 于F ，易知DE BC ＝x 40＝
AD AB ＝
AF
AH
⇒AF ＝x ⇒FH ＝40－x .则S ＝x (40－x )≤⎝⎛⎭⎫4022，当且仅当40－x ＝x ，即x ＝20时取等号．所以满足题意的边长x 为20(m)．
7．（2013重庆，12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．
【解析】本题主要考查导数在实际生活中的应用、导数与函数单调性的关系等基础知识，考查转化思想及分类讨论思想．
(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元． 根据题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π， 所以h ＝1
5r (300－4r 2)，
从而V (r )＝πr 2h ＝π
5
(300r －4r 3)．
由h >0，且r >0可得0<r <53，故函数V (r )的定义域为(0,53)．
(2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π
5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因
为r 2＝－5不在定义域内，舍去)．
当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数．
由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．
8．（2012江西，5分）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表( )
积(单位：亩)分别为( ) A ．50,0 B ．30,20 C ．20,30 D ．0,50
【答案】B
【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，总利润为z 万元，则目标函数为z ＝(0.55×4x －1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y . 线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤50，
1.2x ＋0.9y ≤54，
x ≥0，
y ≥0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤50，
4x ＋3y ≤180，
x ≥0，y ≥0.
画出可行域，如图所示．
作出直线l 0：x ＋0.9y ＝0，向上平移至过点B 时，z 取得最大值，由
⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ＝50，4x ＋3y ＝180，求得B (30,20)，故选B. 9．（2013湖南，5分）设函数f (x )＝a x ＋b x －c x ，其中c >a >0，c >b >0.
(1)记集合M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为________；
(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
①∀x ∈(－∞，1)，f (x )>0；
②∃x ∈R ，使a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则∃x ∈(1,2)，使f (x )＝0. 【答案】{x |0<x ≤1} ①②③
【解析】本小题主要考查指数函数的性质、全称量词和存在量词的含义、零点存在性定理及推理论证能力．
(1)由题设f (x )＝0，a ＝b ⇒2a x ＝c x ⇒⎝⎛⎭⎫a c x ＝12，
又a ＋b ≤c ，a ＝b ⇒a c ≤12⇒⎝⎛⎭⎫a c x ≤⎝⎛⎭⎫12x ，x >0，所以12≤⎝⎛⎭
⎫12x ⇒0<x ≤1.
(2)由题设a ＋b >c ⇒a c ＋b c >1，又0<
a c <1,0<b
c
<1，∀x ∈(－∞，1)⇒⎝⎛⎭⎫a c x >a c ，⎝⎛⎭⎫b c x >b c ⇒⎝⎛⎭⎫a c x ＋⎝⎛⎭⎫b c x >1，
即f (x )>0，所以①正确；由(1)可知②正确；
由△ABC 为钝角三角形，所以a 2＋b 2<c 2，所以f (2)<0.又a ＋b >c ，所以a c ＋b
c >1，所以f (1)>0，
由零点存在性定理可知③正确．
10．（2013安徽，12分）设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a >0，区间I ＝{x |f (x )>0}． (1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；
(2)给定常数k ∈(0,1)，当1－k ≤a ≤1＋k 时，求I 长度的最小值．
【解析】本题考查含参数的一元二次不等式的解法、导数的应用等，意在考查考生恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．
(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a >0)有两个实根x 1＝0，x 2＝a 1＋a 2，
故f (x )>0的解集为{x |x 1<x <x 2}．
因此区间I ＝⎝⎛⎭⎫0，a 1＋a 2，I 的长度为a
1＋a 2.
(2)设d (a )＝a
1＋a 2
，则d ′(a )＝
1－a 2＋a 2
2.令
d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0<k <1，故
当1－k ≤a <1时，d ′(a )>0，d (a )单调递增； 当1<a ≤1＋k 时，d ′(a )<0，d (a )单调递减．
所以当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得． 而d －k d
＋k ＝1－k 1＋－k 2
1＋k
1＋＋k
2
＝2－k 2－k 32－k 2＋k 3
<1， 故d (1－k )<d (1＋k )．
因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值1－k
2－2k ＋k 2.
11．（2011陕西，5分）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________(米)． 【答案】2000
【解析】当放在最左侧坑时，路程和为2×(0＋10＋20＋…＋190)；当放在左侧第2个坑时，路程和为2×(10＋0＋10＋20＋…＋180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(减少了680米)；依次进行，显然当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝2000米．
12．（2012湖南，13分）某企业接到生产3 000台某产品的A ，B ，C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位：件)．已知每个工人每天可生产A 部件6
件，或B 部件3件，或C 部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比，比例系数为k (k 为正整数)． (1)设生产A 部件的人数为x ，分别写出完成A ，B ，C 三种部件生产需要的时间； (2)假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．
【解析】(1)设完成A ，B ，C 三种部件的生产任务需要的时间(单位：天)分别为T 1(x )，T 2(x )，T 3(x )，由题设有
T 1(x )＝2×3 0006x ＝1 000x ，T 2(x )＝2 000kx ，T 3(x )＝ 1 500200－＋k x ，
其中x ，kx,200－(1＋k )x 均为1到200之间的正整数．
(2)完成订单任务的时间为f (x )＝max{T 1(x )，T 2(x )，T 3(x )}，其定义域为{x |0＜x ＜200
1＋k
，x ∈N *}，易知，T 1(x )，T 2(x )为减函数，T 3(x )为增函数．注意到T 2(x )＝2
k T 1(x )，于是
①当k ＝2时，T 1(x )＝T 2(x )，此时 f (x )＝max{T 1(x )，T 3(x )}＝max{
1 000x ， 1 500
200－3x
}． 由函数T 1(x )，T 3(x )的单调性知，当1 000x ＝ 1 500200－3x 时f (x )取得最小值，解得x ＝400
9.
由于44＜4009＜45，而f (44)＝T 1(44)＝250
11，
f (45)＝T 3(45)＝300
13
，f (44)＜f (45)．
故当x ＝44时完成订单任务的时间最短，且最短时间为f (44)＝250
11
.
②当k ＞2时，T 1(x )＞T 2(x )，由于k 为正整数，故k ≥3，此时 1 500200－＋k x ≥
1 500
200－＋x
＝37550－x
. 记T (x )＝375
50－x ，φ(x )＝max{T 1(x )，T (x )}，易知T (x )是增函数，则
f (x )＝max{T 1(x )，T 3(x )}≥max{T 1(x )， T (x )}＝φ(x )＝max{1 000x ，375
50－x
}．
由函数T 1(x )，T (x )的单调性知，当1 000x ＝37550－x 时φ(x )取最小值，解得x ＝400
11.
由于36＜40011＜37，而φ(36)＝T 1(36)＝2509＞250
11
，
φ(37)＝T (37)＝37513＞25011.此时完成订单任务的最短时间大于250
11
.
(3)当k ＜2时，T 1(x )＜T 2(x )，由于k 为正整数，故k ＝1，此时f (x )＝max{T 2(x )，T 3(x )}＝max{2 000
x ，
750
100－x
}． 由函数T 2(x )，T 3(x )的单调性知，当2 000x ＝750100－x 时f (x )取最小值，解得x ＝800
11，类似(1)的
讨论，此时完成订单任务的最短时间为2509，大于250
11
.
综上所述，当k ＝2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A ，B ，C 三种部件的人数分别为44,88,68.。