新高一数学衔接讲义讲义系列一之欧阳语创编

第1讲数与式
910
+
⨯2(1)n n ++
第2讲一元二次函数与二次不等式
第3讲一元二次方程与韦达定理
第4讲绝对值不等式与无理式不等式
第5讲集合的基本概念
对于集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就 说这两个集合是包含关系，集合A 为集合B 的子集。

记作()A B B A ⊆⊇或 读作A 含于B
例2.用符号“⊆”、“⊇”、“∈”或“∉”填空：
(1){},,,a b c d {},a b ； (2) ∅{}1,2,3； (3) N Q ；
(4) 0R ； (5) d {},,a b c ； (6) {}|35x x <<{}|0
6x x <． 例3.写出集合｛a ，b ｝的所有子集，
例4.说出下列每对集合之间的关系．
（1）A ＝｛1，2，3，4，｝，B ＝｛3，4｝． （2）P ＝｛x ｜x 2＝1｝，Q ＝｛-1，1｝． （3）N ，N*．
例5.设集合}{12A x x =<<，}
{B x x a =<，且A B ⊆，则实数a 的范围是（ ） .2A a ≥ B.2a > C.1a > D.1a ≤
变式：若A=｛ｘ｜ｘ2－３ｘ＋２＝０｝，B=｛ｘ｜ｘ2
－a ｘ＋a －１＝０｝，且Ｂ⊆Ａ，则a 的值为______
【典型例题—2】韦恩图：
【内容概述】
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图。

例6. 求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．
A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，
B ＝｛x ｜x 是菱形｝，
C ＝｛x ｜x 是矩形｝，
D ＝｛x ｜x 是正方形｝．
【典型例题—3】集合相等：
设集合A={x|x 2-1=0}，B ={-1,1}，那么这两个集合会有什么关系呢？
【概括】
集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等，
即：A=B
例7.判断集合{}2A x x ==与集合{}
240B x x =-=的关系．
例8.判断集合A 与B 是否相等？
(1) A={0}，B=∅；
(2) A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }；
(3) A={x| x=2m-1 ,m ∈Z }，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }．
变式：已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．
【典型例题—4】真子集：
【内容概述】
如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合A 的真子集．记作B A (或A B)， 读作“A 真包含B ”（或“B 真包含于A ”）．
[不包含本身的子集叫做真子集] 对于集合A 、B 、C ，如果A
B ，B
C ，则A C ． 例9.选用适当的符号“⊂≠”或“”填空：
(1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}； (2){2}_ _ {x| |x|=2}； (3){1} _∅． 例10.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集
变式：已知集}{2230A x x x =--=，}
{10B x ax =-= 若Ｂ⊂≠Ａ，求a 的值所组成的集合Ｍ．
【典型例题—5】空集
【内容概述】
1、我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅
2、空集是任何集合的子集。

3、空集是任何非空集合的真子集
例11.求方程x 2+1=0的实数根
变式：下列四个集合中，表示空集的是（ ）
Ａ．｛０｝ Ｂ．},,|),{(22R y R x x y y x ∈∈-=
Ｃ．},,5|||{N x Z x x x ∉∈= Ｄ．},0232|{2
N x x x x ∈=-+
课后练习
1.已知集合Ａ＝｛c b a ,,｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ∈Ａ｝，则集合Ｂ的真子集个数最多是（ ） Ａ．５个 Ｂ．６个 Ｃ．７个 Ｄ．８个
2.设集合Ｍ⊆｛1,2,3,4,5｝，且a ∈Ｍ时，６－a ∈Ｍ，则集合Ｍ=_______________．
3.写出满足条件｛0，1｝⊆Ｍ⊂≠｛0，１，２，３｝的集合Ｍ____________________
4.集合{3，x ，x 2－2x}中，x 应满足的条件是______．
第6讲集合的基本运算
例4.设集合}|{},1,0,1{2
x x x N M ≤=-=，则N M =_______________________.
变式1：图中阴影部分用集合表示为_______________.
变式2：已知集合}3|{},42|{a x a x B x x A <<=<<=.
（1）若∅=B A ，求a 的取值范围；
（2）若}4|{<<=x a x B A ，求a 的取值范围.
知识点三、补集
【内容概述】
1.全集：在研究集合与集合之间的关系时，有时这些集合都是某一个给定集合的子集，这个给定集合可以看成一个全集，用符号“U ”表示，也就是说，全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素.
2.补集：如果集合A 是全集U 的一个子集，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫做集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集.
3.对补集定义的理解要注意以下几点：
（1）补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R 当做全集.
(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，当然也是一种数学思想.
（3）从符号角度来看，若U x ∈，U A ⊂，则A x ∈和A C x U ∈二者必居其一.
4.集合图形，理解补集的如下性质：
（1）∅====∅∅=)(,)(,)(,,A C A U A C A A A C C U C U C U U U U U U
(2)若B A ⊆，则)()(B C A C U U ⊇；反之，若)()(B C A C U U ⊇，则B A ⊆
（3）若A=B ，则B C A C U U =；反之，若B C A C U U =，则A=B
【典型例题】
例 5.设全集U 是实数集R ，}4|{2>=x x A ，}13|{<≥=x x x B 或都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是__________________.
变式1：已知集合}012|{2=++=b ax x x A 和}0|{2=+-=b ax x x B
满足R U B C A B A C U U ===},4{)(},2{)( ,求实数a 、b 的值.
变式2：设集合}12
3|),{(},,|),{(=--=∈=x y y x M R y x y x U ，}1|),{(+≠=x y y x N ， 则)()(N C M C U U =__________________.
第7讲集合的综合复习
第
8讲 函数的概念与定义域
5、设集合},1|||{R x a x x A ∈<-=，},51|{R x x x B ∈<<=.若∅=B A ，则实数a 的取值范围是( )
}60|.{≤≤a a A }4,2|.{≥≤a a a B 或}6,0|.{≥≤a a a C 或}42|.{≤≤a a D
教学目标
1.了解函数的的基本概念，并能熟练的应用
2.理解函数的三种表示方法，了解分段函数，并能够简单的应用
3.会求函数的定义域 重点、难点
1．函数的定义的理解；
2．求简单函数的定义域 考点及考试要求
1.了解函数的概念；
2.理解函数的三种表示方法；
3.了解简单的分段函数
教学内容
知识点一、区间的概念 【内容概述】
设b a R b a <∈且,,
区间是集合的另一种形式.对于区间的理解应注意：
2、 区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b -a 成为区间的长度，对于只有一个元素的集合我
们仍然用集合来表示，如{}a ；
3、 注意开区间),(b a 与点),(b a 在具体情景中的区别.若表示点),(b a 的集合应为{}),(b a ；
4、 用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别；
5、 对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可用区间形式来表示；
6、 要注意区间表示实数集的几条原则，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆. 【典型例题】
例4.已知四组函数：
（1）2)(,)(x x g x x f =
=； （2）33)(,)(x x g x x f ==；
（3）)(12)(),(12)(N n n n g N n n n f ∈+=∈-=； （4）t t t g x x x f 2)(,2)(2
2-=-=
其中表示同一函数的是________________. 变式1：下列各组式子是否为同一函数？为什么？
（1）2)(|,|)(t t g x x f ==； （2）22)(,x y x y ==
；
（3）21,11x y x x y -=-⋅+=； （4）3,)3(2
-=-=x y x y
例5.高为h ，底面半径为R 的圆柱形容器内，以单位时间内体积为a 的速度灌水.试求水面高y 用时间t 表示的函数式，并求其定义域. 例6.已知函数3
2
3
41
++-=
ax ax ax y 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.
例7.设}20|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M ，下图中的四个图形，其中能表示从集合M 到集合
N 的函数关系的有（ ）
知识点四、抽象函数的定义域【拓展】 【内容概述】
（1）函数)(x f 的定义域是指x 的取值范围；
（2）函数))((x g f 的定义域是指x 的取值范围，而不是)(x g 的取值范围；
（3）已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中x 的取值范围为B ，求出)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域. 【典型例题】
例8.已知函数)(x f 的定义域为]9,0[，求)12(+x f 的定义域.
变式1：已知函数)(x f 的定义域为]13,5[，求)(2
x f 的定义域.
变式2：已知函数)(x f 的定义域为]3,3[-，求)12(2
+x f 的定义域.
例9.已知函数)(x f 的定义域为]5,2
1[，)1()1()(++-=x f x f x g 求)(x g 的定义域.
变式1：已知函数)(x f 的定义域为]4,31[，)1()()(x
f x f x
g +=求)(x g 的定义域.
变式2：已知函数)(x f 的定义域为]4,1[，)()()(2
x f x f x g +=求)(x g 的定义域.
第9讲 求函数的值域
知识点五、检验图形是否为函数图像的方法 【内容概述】
要判断一个图形是否是函数图象，首先要看图形对应的x 轴部分上的任意一个x 是否都有唯一的y 与之对应.若是，则该图形是函数的图象；若至少有一个x 值，存在两个或两个以上的y 与之对应，则此图形一定不是函数的图象.或者过图形上任一点，作x 轴的垂线，若该垂线与图形无任何其他的公共点，则此图形是函数的图象，否则该图形一定不是函数的图象.
除上述之外，还要关注函数的定义域、值域与图象中所示的定义域（图形正对着x 轴上的所有实数）、值域（图形正对y 轴上的所有实数）是否一致. 【典型例题】
例10.设}20|{},22|{≤≤=≤≤-=y y N x x M ，函数)(x f 的定义域为M ，值域为N ，则
)(x f 的图象可以是（ ）
A B C D 课下作业
1.下列各组函数表示相等函数的是（ ） 4、⎩⎨
⎧<->=0
,,0
,)(x x x x f 与||)(x x g =
5、12)(+=x x f 与x
x
x x g +=22)(
6、|1|)(2
-=x x f 与2
2)1()(-=t t g
7、2)(x x f =与x x g =)(
2.函数x
x y 1
+=
的定义域为_______________. 3.函数12)(22-+-=a ax x x f 的定义域为A ，若A ∉2，则a 的取值范围是____.
4.已知函数)(x f y =的定义域为]4,1[，求函数)(2
x f y =的定义域.
5.已知)(x f 的定义域为]2,0(，求函数)()12(2
x f x f +-的定义域.
教学目标
1。

掌握求函数值域的基本方法，并能够熟练的应用
2．能够对函数的图形进行平移、对称变换，并能够画出函数图像的草图
第10讲函数的解析式
的是（ ）
变式：已知}1,0,1{},,,{-==B c b a A ，映射B A f →:满足)()()(c f b f a f =+，求映射
B A f →:的个数.
知识点四、求函数的解析式的方法 【内容概述】
由具体的实际问题建立函数关系求解析式，一般是通过研究自变量、函数及其他量之间的等量关系，将函数用自变量和其他量的关系表示出来，但不要忘记确定自变量的取值范围.
求函数解析式的常用方法有：代入法、配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法或消元法、分段函数求解析式等。

【典型例题—1】代入法：
例5.已知1)(2
-=x x f ，求)12(-x f 的解析式. 变式：已知432)(2+-=x x x f ，求)23(-x f 的解析式. 【典型例题—2】配凑法：
【配凑法】
原函数的表达式为)()(x g t f =，t 是关于x 的式子，要求)(x f 的解析式，这时要把)(x g 通过变形、整理，使其变为只含有t 与常数的式子，然后将t 换成x ，即可得到)(x f 的解析式，这种方法叫做配凑法.
例6.已知2
2
1)1(x x x x f +=-，求)(x f 的解析式.
变式：已知23)1(2
+-=+x x x f ，求)(x f ；
【典型例题—3】换元法： 【换元法】
解题时，把某个式子看做一个整体，用一个新的变量去代替它，从而使问题简化，这种方法叫做换元法.
例7.已知函数x x x f 2)1(+=+，求函数)(x f 的解析式.
变式：已知2
2
11)11(x x x x f +-=+-，则)(x f 的解析式为_________________.
第11讲函数的表示方法及值域综合复习
第12讲函数的单调性（1）
第13讲函数的单调性（2）。