灰色离散Verhulst模型_崔立志

( 12 ) 证明 将式( 1) 变为 1) y( ( k +1)-kβ1 -β0 1) y( ( k)= ( 13 ) β2 当k = k +1 , k + 2 , … ,n 时 , 有 ( 1) y ( k +2)-( k +1) β1 -β0 1) y( ( k +1 )= ( 14 ) β2 1) y( ( k +3)-( k +2) β1 -β0 1) y( ( k +2 )= ( 15 ) β2 1) y( ( n)-( n -1) β1 -β0 ( 1) y ( n -1 )= ( 16 ) β2 1) 1) 将 y( ( i) 依次代入 y( ( i1) ( i= k+ 1 ,k + 2 , …, n) , 得到 ( 1) y ( k + 2 )-( ( k + 1 ) β +β ) ( 1) 1 0 y ( k +1)= = β2 ( 1) y ( k +3)-( ( k +2 ) β1 +β0 )-β2 ( ( k +1) β1 +β0 ) = β2 2 y
1) 1) y( ( k +1)=β0 +kβ1 +β2 y( ( k)= 1) β0 +kβ1 +β2 ( β0 +( k -1) β1 +β2 y( ( k -1) )= 1 ( 1) β0 +kβ1 +… +β k 2 ( β0 +β1 )+β k 2y ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1
1 T 定理 1 若 β 、B 、 Y 如上述定义 , β = ( BT B) B Y , 且初 1) 1) 0) 始条件为 y( ( 1) =1/ x( ( 1) = 1/ x( ( 1) , 则灰色离散 Ver-
hulst 模型的解为
1) x( ( k +1)= 1
k +1 ) 1 kβ0 +k( β1 + ( 2 x 0) ( 1)
[ 8-9]
基金项目 : 国家自然科学基金( 90924022 , 70901041) ; 教育部高等学校博士学科点专项科研基金( 200802870020 , 20093218120032) ; 南京航 空航天大学创新集体和科研创新基金( Y0553) 资助课题 作者简介 : 崔立志( 1978 -) , 男 , 博士研究生 , 主要研究方向为系统工程 。 E -m ail : greyt heory @126 . com
收稿日期 : 2010-03 -08 ;修回日期 : 2010 - 05 -18 。
型的小样本性质 。 其他一些改进方法主要有背景值构造法 和灰色模型的优化法等 , 另外文献[ 10] 引进遗传算法 , 优化了灰色幂模型的参数 。 尽管这些方法在一定程度上提 高了模型精度 , 但是大多数文献都是针对单调系统的 。 灰 色 Ver hulst 模型是针对非单调系统产生的振荡序列建立的 模型之一 , 而且灰色 Verhulst 模型也是灰色系统的重要模 型之一 , 在实际中得到了广泛应用 , 成功地解决了人口预 测 、生物生长 、繁殖预测 、产品生命周期预测等系统中不完 全信息的预测问题 。 许多学者相继对灰色 Verhulst 模型进 行了研究 。 文献[ 11] 运用灰色 Verhulst 模型预测了大兴安 岭北部地区森林可燃物增长量 , 文献[ 12] 同时运用了 GM ( 1 , 1) 模型 、灰色 Verhulst 模型和修正的 GM ( 1 , 1) 模型比 较分析了欧元对美元的汇率模拟和预测结果 。 文献[ 13] 利
=( x ( 1) ,x ( 2) , …, x ( n) )
k i =1
( 1)
( 1)
( 1)
( k)=
( 1) ( 1)
∑x
( 0)
( i) ,Y
( 1)
为 X
( 1)
的倒数序列 , 即有
( 1)
y ( k)= 1/ x ( k) ( k = 1 , 2 , …, n) , 则称 y ( k +1 )=β0 +β1 k +β2 y ( k) 为灰色离散 Verhulst 模型 。 β2 ) , 对式( 1) 运用最小二乘法可得参数估计
k1 k1 kβ1 βn 2 ( n -1 ) β1 -β0 ( 1 -βn 2 ) k1 ( 1 -β2 ) βn 2
, β2 ≠1
式中 y ( 2)
( 1) ( 1)
1
1 2 n -1
y ( 1) y ( 2)
1) y( ( n -1 )
3) , B = 1 Y = y (
1) y( ( n)
1 T β =( BT B) BY T
( 1)
1 ( n -k -1) ( n +k) β1 -( n -k -1) β0 x ( n) 2
( 1)
1
, β2 =1
灰色离散 Ver hulst 模型中的待估参数为 β =( β0 , β1 , ( 2)
( 1) ( 1)
β
nk1 2
k1 β1 β2 ( 1 -βn ) 1 2 + + ( 1) 2 nkx ( n) ( 1 -β2 )β 2 1
0 引 言
灰色系统理论是由中国学者邓聚龙教授于 20 世纪 80 年代初期创立的 , 是一种以“ 部分信息已知 , 部分信息未知” 的“ 小样本” 、 “ 贫信息” 不确定性系统为研究对象 , 主要通过 对“ 部分” 已知信息进行生成和开发 , 提取有价值的信息 , 实 现对系统运行规律的正确描述和有效控制[ 1-4 ] 。 灰色预测 是灰色系统理论的一个重要组成部分 , 它是在灰色系统理 论的指导下 , 根据系统的发展状况 , 对系统的未来发展做出 合理的推测 。 根据数据序列的发展趋势不同 , 可以把系统 分为单调系统和非单调的摆动系统 。 目前对单调系统的研 究文献比较多 , 文献[ 5 ] 研究了 GM ( 1 , 1) 模型的适用范围 , 文献[ 6] 提出了离散灰色模型 , 文献[ 7 ] 研究了 GM ( 1 , 1) 模
第 33 卷 第3期 2011 年 3 月
文章编号 : 1001-506X( 2011) 03-0590 -04
系统工程与电子技术 Systems Engineering and Electr onics
Vol . 33 No . 3 M ar ch 2011
灰色离散 Verhulst 模型
( 8) ( 9)
当 β2 = 1 时,有
( 1) k( k +1 ) ( 1) y ( k +1)= kβ0 + β1 +y ( 1) 2 当 β2 ≠ 1 时,令 k1 k2 2
S =β2 +2 β 2 +… +( k -2) β2 + ( k -1) β2 +k ( 10 ) 则有 β( 1 -βk 2 )+ kβ1 ββ( 1 -β k 2) 1) ( 1) y( ( k +1)= 0 - 1 2 +β k 2y 2 1 -β2 ( 1 -β2 ) ( 11 ) 1) 1) 0) 所以 , 代入初始条件 y( ( 1)= 1 / x( ( 1) =1/ x( ( 1) , 得到 式( 3) 。 证毕 定理 2 若 β 、B 、 Y 如上述定义 , 其 中 β =( B B) · 1) 1) B Y , 且当初始条件为 y( ( n) = 1/ x( ( n) , 则灰色离散 Verhulst 模型的解为 1) x( ( k +1)=
T T -1
1 灰色离散 Verhulst 模型
定义 1 设有非负数据序列 X =( x ( 1) ,x ( 2) , 0) 1) 0) …, x( ( n) ) , X( 为 X( 的一次累加序列 , 简记为 1 -AGO 。 X 式中 , x
( 1) ( 1) ( 1) ( 0) ( 0) ( 0)
Grey discrete Verhulst model
C UI Li-zhi
1,2
, L IU Si-feng , L I Zhi-ping
1
2
( 1. College o f Economics and Management , N anjing University of Aeronautics and Astronautics , N anj ing 210016 , China ; 2. School o f Economics , Anhui Univ ersity of Technology , Maanshan243002 , China) Abstract : Aiming to the inperfect adaptability of the traditional grey Verhulst m odel , using discretization thought for reference , a grey discrete Verhulst model is constructed by reciprocal generation of t he original data sequence . The grey discrete Verhulst model gives full consideration to the quasi exponential law , realizes changes f rom continuous form to discrete form , and elim inates jumping errors f rom the differential equation to the difference equation . The prediction form ulas of the grey discrete Verhulst model are given under tw o initial conditions , w hich effectively solves the traditional p roblem of low predicted stability .The final adoption of an example show s that the m odel can significantly imp rove simulation and prediction accuracy . Keywords : grey system theory ; grey V erhulst model ; discretization ; forecast precision
崔立志 1 , 2 , 刘思峰 1 , 李致平2
( 1. 南京航空航天大学经济与管理学院 , 江苏 南京 210016 ; 2. 安徽工业大学经济学院 , 安徽 马鞍山 243002)
摘 要: 针对传统灰色 Ver hulst 模型适应性不强的情况 , 借鉴离散化思想 , 通过对原始数据序列进行倒数生 成 , 建立了灰色离散 Verhulst 模型 。 灰色离散 Ver hulst 模型充分考虑了数据序列的准指数规律 , 实现了从连续形 式向离散形式的转变 , 消除了传统灰色 Verhulst 模型由微分方程直接跳到差分方程所产生的误差 。 同时给出了 两种初始条件下的灰色离散 Verhulst 模型的预测公式 , 有效地解决了传统灰色 Verhulst 模型预测稳定性差的问 题 。 实例分析表明 , 灰色离散 Verhulst 模型能够显著提高模拟和预测效果 。 关键词 : 灰色系统理论 ; 灰色 Ver hulst 模型 ; 离散化 ; 预测精度 中图分类号 : N 94 文献标志码 : A DOI : 10 . 3969 /j . issn . 1001-506X . 2011 . 03 . 24
第3 期
崔立志等 : 灰色离散 Verhulst 模型
· 591 ·
1 ( 1) β1 ( βk 2 +… +kulst 模型对鱼雷研制费用进行了建模 , 取得了 理想的效果 。 文献[ 14 ] 采用了最小一乘准则估计灰色 Verhulst 模型参数 , 得到了新的预测公式 。 文献[ 15] 提出了无 偏灰色 Verhulst 模型 。 灰色 Verhulst 模型在解决具有饱和的“ S” 型预测问题时 取得了良好的效果 , 但是依然存在拟合和预测效果不理想 。 鉴于此 , 我们认为对于饱和的“S ” 型序列的拟合建模 , 关键在 于从连续形式到离散形式的转变 。 本文在前人研究的基础 上 , 利用已有的信息 , 建立了灰色离散 Ver hulst 模型 。
, β2 = 1
β0 ( 1 -βk 2 )+ kβ1 β1 β2 ( 1 -β k 2) βk 2 + ( , β2 ≠ 1 2 0) 1 -β2 ( 1 -β2 ) x ( 1) ( 3) 证明 由式( 1) 得到 y ( 2)=β0 +β1 +β2 y ( 1) 1) 1) y( ( 3 )=β0 +2 β1 +β2 y( ( 2) y ( k +1 )=β0 +kβ1 +β2 y ( k) 将式( 4) 代入式( 5) , 然后依次代入直到式( 6) , 得到