高三数学下学期平面向量多选题单元 易错题难题综合模拟测评学能测试试卷

高三数学下学期平面向量多选题单元 易错题难题综合模拟测评学能测试试卷
一、平面向量多选题
1．已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB
是圆()()22
:114C x y +++=的一条动弦，G 为弦AB 的中点，AB =（ ）
A ．弦A
B 的中点轨迹是圆
B ．直线12,l l 的交点P 在定圆()()22222x y -+-=上
C ．线段PG 长的最大值为1
D ．PA PB ⋅的最小值6+
【答案】ABC
【分析】
对于选项A ：设()00,G x y ，利用已知条件先求出圆心到弦AB 的距离CG ，利用两点之间的距离公式即可得到结论；对于选项B ：联立直线的方程组求解点P 的坐标，代入选项验证即可判断；对于选项C ：利用选项A B 结论，得到圆心坐标和半径，利用1112max PG PG r r =++求解即可；对于选项D ：利用平面向量的加法法则以及数量积运算
得到23PA PB PG ⋅==-，进而把问题转化为求1112min PG PG r r =--问题，即可判断. 【详解】
对于选项A ：设()00,G x y ，
2AB =
G 为弦AB 的中点，
GB ∴=，
而()()22:114C x y +++=，
半径为2，
则圆心到弦AB 的距离为1CG =
=，
又圆心()1,1C --， ()()22
00111x y ∴+++=，
即弦AB 的中点轨迹是圆.
故选项A 正确；
对于选项B ： 由310310mx y m x my m --+=⎧⎨+--=⎩
，
得22223211321
1m m x m m m y m ⎧++=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩
， 代入()()22
22x y -+-整理得2，
故选项B 正确；
对于选项C ：由选项A 知：
点G 的轨迹方程为：()()22111x y +++=，
由选项B 知：点P 的轨迹方程为：()()22222x y -+-=， ()(
)11121,1,1,2,2,G r P r ∴--= 所以线段
1112max
11PG PG r r =++=+=，
故选项C 正确；
对于选项D ： ()()PA PB PG GA PG GB ⋅=+⋅+
()2PG PG GA GB GA GB =+⋅++⋅
22203PG PG GB PG =+⋅-=-，
故()()2min min
3PA PB PG ⋅=-， 由选项C
知：
1112min
11PG PG r r =--=-=
， 所以(
)()2
min 136PA PB ⋅=-=-， 故选项D 错误；
故选：A B C.
【点睛】
关键点睛：本题考查了求圆的轨迹问题以及两个圆上的点的距离问题.把两个圆上的点的距离问题转化为两个圆的圆心与半径之间的关系是解决本题的关键.
2．下列条件中，使点P 与A ，B ，C 三点一定共面的是（ ）
A ．1233PC PA P
B =+ B ．111333
OP OA OB OC =++ C ．QP QA QB OC =++
D ．0OP
OA OB OC +++=
【答案】AB
【分析】 根据四点共面的充要条件，若A ，B ，C ，P 四点共面
(1)PC xPA yPB x y ⇔=++=()1OP xOA yOB zOC x y z ⇔=++++=，对选项逐一分析，即可得到答案.
【详解】
对于A ，由1233PC PA PB =+，12133+=，所以点P 与A ，B ，C 三点共面. 对于B ，由111333
OP OA OB OC =++，1111333++=，所以点P 与A ，B ，C 三点共面. 对于C ，由OP OA OB OC =++，11131++=≠，所以点P 与A ，B ，C 三点不共面. 对于D ，由0OP OA OB OC +++=，得OP OA OB OC =---，而11131---=-≠，所以点P 与A ，B ，C 三点不共面.
故选：AB
【点睛】
关键点睛：本题主要考查四点共面的条件，解题的关键是熟悉四点A ，B ，C ，P 共面的充要条件(1)PC xPA yPB x y ⇔=++=()1OP xOA yOB zOC x y z ⇔=++++=，考查学生的推理能力与转化思想，属于基础题.
3．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足
20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ） A ．//PB CQ
B ．2133BP BA B
C =+ C ．0PA PC ⋅<
D ．2S =
【答案】BCD
【分析】
本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确.
【详解】
解：因为20PA PC +=，2QA QB =，
所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；
因为()
121333BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+-=+，故选项B 正确； 因为112223132
APQ
ABC AB h S S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.
4．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）
A ．()a c b c a b c ⋅-⋅=-⋅
B ．()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直
C ．a b a b -<-
D ．()()22323294a b a b a b +⋅-=-
【答案】ACD 【分析】 A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解.
【详解】
选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确；
选项B ，()()()()
()()()()
0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦， ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误； 选项C ，∵a 与b 不共线， ∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立； 若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：
由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；
选项D ，()()22223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD
【点睛】
本小题主要考查向量运算，属于中档题.
5．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱,,PA PB PC 两两垂直，且3PA PB PC ===，G 是PAB △的重心，E ，F 分别为,BC PB 上的点，且::1:2BE EC PF FB ==，则下列说法正确的是（ ）
A ．EG PG ⊥
B ．EG B
C ⊥ C ．//FG BC
D ．FG EF ⊥
【答案】ABD
【分析】
取,,PA a PB b PC c ===，以{},,a b c 为基底表示EG ，FG ，EF ，结合向量数量积运算性质、向量共线定理即可选出正确答案.
【详解】
如图，设,,PA a PB b PC c ===，则{},,a b c 是空间的一个正交基底，
则0a b a c b c ⋅=⋅=⋅=，取AB 的中点H ，则22111()33233
PG PH a b a b ==⨯+=+， 1121111,3333333
EG PG PE a b b c a b c BC c b =-=+--=--=-， 11113333
FG PG PF a b b a =-=+-=， 1121133
333EF PF PE b c b c b ⎛⎫=-=-+=-- ⎪⎝⎭， ∴0EG PG ⋅=，A 正确；0EG BC ⋅=，B 正确；()FG BC R λλ≠∈，C 不正确；0FG EF ⋅=，D 正确.
故选:ABD.
【点睛】
本题考查了平面向量共线定理，考查了由数量积求两向量的位置关系，考查了平面向量基本定理的应用，属于中档题.
6．设O ，A ，B 是平面内不共线的三点，若()1,2,3n OC OA nOB n =+=，则下列选项正确的是（ ）
A ．点1C ，2C ，3C 在同一直线上
B ．123O
C OC OC == C ．123OC OB OC OB OC OB ⋅<⋅<⋅
D ．123OC OA OC OA OC OA ⋅<⋅<⋅
【答案】AC
【分析】
利用共线向量定理和向量的数量积运算，即可得答案；
【详解】 ()12212()C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，
()()233232C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，所以1
223C C C C =，A 正确. 由向量加法的平行四边形法则可知B 不正确. 21OC OA OC OA OA OB ⋅-⋅=⋅，无法判断与0的大小关系，而()21OC OB OA OB OB OA OB OB ⋅=+⋅=⋅+，
()2
222OC OB OA OB OB OA OB OB
⋅=+⋅=⋅+， 同理233OC OB OA OB OB ⋅=⋅+，所以C 正确，D 不正确.
故选：AC .
【点睛】
本题考查向量共线定理和向量的数量积，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
7．已知向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数t 可以为（ ）
A ．-2
B ．12
C ．1
D ．-1
【答案】ABD
【分析】
若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，即向量,AB BC 不共线，计算两个向量的坐标，由向量共线的坐标表示，即得解
【详解】
若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，则向量,AB BC 不共线， 由于向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-，
故(3,4)AB OB OA =-=-，(5,9)BC OC OB t t =-=+-
若A ，B ，C 三点不共线，则 3(9)4(5)01t t t ---+≠∴≠
故选：ABD
【点睛】
本题考查了向量共线的坐标表示，考查了学生转化划归，概念理解，数学运算能力，属于中档题.
8．关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为（ ）
A ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =；
B ．已知(,3)a k =，(2,6)b =-，若//a b ，则1k =-；
C ．非零向量a 和b ，满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为30º；
D ．0||||||||a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】BCD
【分析】 通过举反例知A 不成立，由平行向量的坐标对应成比例知B 正确，由向量加减法的意义知，C 正确，通过化简计算得D 正确．
【详解】
对A ，当0a = 时，可得到A 不成立；
对B ，//a b 时，有326k =-，1k ∴=-，故B 正确． 对C ，当||||||a b a b ==-时，a 、b 、a b -这三个向量平移后构成一个等边三角形， a b + 是这个等边三角形一条角平分线，故C 正确．
对D ，22()()()()110||||||||||||
a b a b a b a a a b b b +⋅-=-=-=，故D 正确． 故选：BCD ．
【点睛】
本题考查两个向量的数量积公式，两个向量加减法的几何意义，以及共线向量的坐标特点．属于基础题．
9．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ）
A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa
b B ．若a b ⊥，则a b a b +=-
C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为a
D ．若存在实数λ使得λa
b ，则a b a b +=- 【答案】AB
【分析】 根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】 当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A 选项正确，D 选项错误； 若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确.
故选：AB.
【点睛】 本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.
10．在ABC 中，()2,3AB =，()1,AC k =，若ABC 是直角三角形，则k 的值可以是（ ）
A ．1-
B ．113
C
D 【答案】BCD
【分析】
由题意，若ABC 是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解.
【详解】
若A ∠为直角，则AB AC ⊥即0AC AB ⋅=
230k ∴+=解得23
k =-
若B 为直角，则BC AB ⊥即0BC AB ⋅= ()()2,3,1,AB AC k ==
()1,3BC k ∴=--
2390k ∴-+-=解得113
k = 若C ∠为直角，则BC AC ⊥，即0BC AC ⋅=
()()2,3,1,AB AC k ==
()1,3BC k ∴=--
()130k k ∴-+-=解得k =
综合可得，k 的值可能为21133,,,3322+-
故选：BCD
【点睛】
本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.。