2021届高考数学黄金预测卷 新高考版(一)

2021届高考数学黄金预测卷 新高考版（一）
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1.已知集合{}{}
22log (1)1,1,M x x N x x =-=∈>Z ∣∣则M N =( )
A.(]1,3
B.∅
C.{}2,3
D.{}1,2,3
2.在复平面内，复数i(i 2)+对应的点的坐标为( ) A.(1,2)
B.(1,2)-
C.(2,1)
D.(2,1)-
3.命题2:[0,),e x p x x x ∞∃∈+<-的否定为( ) A.2[0,),e x x x x ∞∃∈+- B.2[0,),e x x x x ∞∀∈+- C.2(,0),e x x x x ∞∃∈--
D.2(,0),e x x x x ∞∀∈--
4.我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类，《周礼・春宫》中记载，中国古典乐器一般按“八音”分类，分为“金、石、土、革、丝、木匏（p áo ）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.现从“金、石、土、匏、丝”中任取三音，则三音来自两种不同类型乐器的概率为( )
A.15
B.35
C.
34
D.
23
5.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111, 21n n a S S +==+,则7S =( ) A.63
B.127
C.128
D.256
6.已知函数e e ()2
x x f x --=，若2
233,,(1)3322a f b f c f ⎛⎫
⎛⎫=-
-== ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是( )
A.a b c >>
B.a c b >>
C.c b a >>
D.b c a >>
7.若()5223my xy x y x ⎛⎫
-++ ⎪⎝⎭
的展开式中，43x y 的系数为50，则m =( )
A.-3
B.-2
C.2
D.3
8.如图，沿着等腰直角三角形ABC 斜边上的高BD 将三角形ABD 折起，使点A 到达点A '的位置，且45A DC '∠=︒，则直线A B '与平面BCD 所成的角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
二、填空题
9.已知向量(2,),(1,2)m =-=a a b ，若(2)+a
a b ，则实数m =____________.
10.已知函数223,1,
()1,1,x x f x x x x -⎧=⎨--<⎩
则[()]5y f f x =-的所有零点之和为____________.
11.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ,O 为坐标原点，P 为双曲线右支上异于右顶
点的一点若OPF ∠的平分线垂直于x 轴，则双曲线C 的离心率的取值范围是_________.
12.已知三棱锥S ABC -的顶点都在球O 的球面上，且该三棱锥的体积为SA ⊥平面
,4,120ABC SA ABC =∠=︒，则球O 的体积的最小值为_________.
三、多项选择题
13.某经济开发区经过五年产业结构调整和优化,经济收入比调整前翻了两番,为了更好地了解该开发区的经济收变化情况,统计了该开发区产业结构调整前后的经济收入构成比例,得到如图所示的饼图,则下列结论中正确( )
A.产业结构调整后节能环保的收入与调整前的总收入一样多
B.产业结构调整后科技研发的
收入增幅最大
C.产业结构调整后纺织服装收入相比调整前有所降低
D.结构调整后食品
加工的收入超过调整前纺织服装的收入
14.已知将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭图像向左平移π6个单位长度得到函数()g x 的图像，且
()g x 的图像关于y 轴对称，函数()y f x =在[0,2π]x ∈上至多存在两个极大值点，则下列说法正确
的是( ) A.1ω= B.()f x 在π,π2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增
C.2ω=
D.()f x 的图像关于直线π
6
x =
对称 15.已知F 是抛物线2:C y x =的焦点，A ，B 是抛物线C 上的两点，O 为坐标原点，则( ) A.若5||4AF =
，则AOF 的面积为18
B.若BB '垂直C 的准线于点B '，且2||BB OF '=，则四边形OPBB '
C.若直线AB 过点F ，则AB 的最小值为1
D.若14OA OB -⋅=，则直线AB 恒过定点1,02⎛⎫
⎪⎝⎭
16.已知函数2()ln f x x x =-,则下列说法正确的是( ) A.函数()f x 在1
2
e x -=处取得极大值12e
B.方程()0f x =有两个不同的实数根
C.1
2f f f ⎛⎫
>> ⎪⎝⎭ D.若不等式2() k f x x >+在
(0,)+∞上恒成立，则e k >
四、解答题
17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，在①1(0)n n S ma m +=≠，②1
2
n n S ka =-，③112n n a a S S -=这三个
条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.
问题：已知数列{}n a 满足11a =，___________，若数列{}n a 是等比数列，求数列{}n a 的通项公式；若数列{}n a 不是等比数列，说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c (,,a b c 互不相等)，且满足cos (2)cos b C b c B =-⋅.
(1)求证：2A B =；
(2)若,c =求cos .B
19.“未来肯定是非接触的，无感支付的方式成为主流，这有助于降低交互门槛.”云从科技联合创始人姚志强告诉南方日报记者.相对于主流支付方式二维码支付，刷脸支付更加便利，以前出门一部手机解决所有，而现在连手机都不需要了，毕竟，手机支付还需要携带手机，打开二维码也需要时间和手机信号.刷脸支付将会替代手机，成为新的支付方式.某地从大型超市门口随机抽取50名顾客进行了调查，得到了列联表如下所示：
（Ⅱ）从参加调查且使用刷脸支付的顾客中随机抽取2人参加抽奖活动，抽奖活动规则如下：“一等奖”中奖概率为0.25，奖品为10元购物券m 张（3m >，且m *∈N ），“二等奖”中奖概率为0.25，奖品为10元购物券两张，“三等奖”中奖概率为0.5，奖品为10元购物券一张，每位顾客是否中奖相互独立，记参与抽奖的两位顾客中奖购物券金额总和为X 元，若要使X 的均值不低于
50元，求m 的最小值.
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
如图，在四棱锥,,60ABCD PA PD BAD =∠=︒.
（1）求证：AD PB ⊥；
（2）当直线PB 与平面ABCD 所成角为45°时，求二面角B PC D --的平面角的大小.
21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点12M ⎫⎪⎭，且分别以椭圆的长轴和短轴为直径的圆的面
积的比值为4.
(1) 求椭圆C 的标准方程；
(2)若直线(0)y kx k =>与椭圆C 交于A,B 两点，过点A 作直线AB 的垂线，交椭圆C 于点D ，连接
BD ，与x,y 轴分别交于点P,Q ，过原点O 作直线BD 的垂线，垂足为R ，求||||OR PQ ⋅的最大值.
22.已知函数()
2()6e x f x x x a =-+，e 是自然对数的底数.
（1）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线与直线50x y +=平行，求()f x 的单调区间； （2）当11a =时，若()()
12()(1)2
f x f x f m m +''>'=
，且12x x ≠，证明：12
2
x x m +>
.
参考答案
1.答案：C
解析：由2log (1)1,x -可得012,x <-解得13,x <则3](1,M =，由21x >可得1x <-或1,x >又,x ∈Z 所以{2,3}M
N =，故选C.
2.答案：B
解析：本题考查复数的乘法运算及其几何意义.i(i 2)12i +=-+，其在复平面内对应点的坐标为1,2-()，故选B.
3.答案：B
解析：命题2:[0,),e x p x x x ∞∃∈+<-的否定为2[0,),e x x x x ∞∀∈+-.故选B. 4.答案：B
解析：由题意可得，从“金、石、土、匏、丝”中任取三音，共有35C 10=种不同的取法，三音来
自两种不同类型乐器的取法共有21122222C C C C ++21212121C C C C 6+=(种)，故所求概率63
105
P =
=.选B. 5.答案：B
解析：通解:121n n S S +=+中,令1n =,得23S =,所以22a =.由121n n S S +=+得2121n n S S ++=+,两式相减得212n n a a ++=,即
2
1
2n n a a ++=.又2111,2a a a ==,所以数列{}n a 是以1为首项,2为公比的等比数列,所以
7
71212712
S -=-=.
优解:因为121n n S S +=+，所以()1121n n S S ++=+，又11112S a +=+=,所以数列{}1n S +是以2为首项,2为公比的等比数列,所以 12n n S +=,故7721,21127n n S S =-=-=. 6.答案：D
解析：由题意知函数()f x 的定义域为R ，且e e ()()2
x x
f x f x ---==-，所以()f x 为R 上的奇函
数，易知()f x 在R 上单调递增.令()()g x xf x =，则()g x 为R 上的偶函数，且()g x 在(0,)+∞上单调递增.又22332,,(1),133223a g g b g c g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-===>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以b c a >>，故选D.
7.答案：B
解析：()5
2x y +的通项为()
52102155C C r
r
r r r
r r T x y x y --+==.所以112115
C r r r r xyT x y -++=， 令11241 3.r r -=⎧⎨+=⎩无解；821
152C r r r my T m x y x -++-=-，令82413r r -=⎧⎨
+=⎩
，，解得102152;33C r r r r r T x y -+==，令10243r r -=⎧⎨
=⎩
，，，解得3r =.所以43x y 的系数为23
55C 3C 103050m m -+=-+=，所以2m =-.故选B.
8.答案：A
解析：因为BD 为等腰直角三角形ABC 斜边上的高，所以 BD A D BD CD '⊥⊥，又
A D CD D '=，所以BD ⊥平面A CD '.过点A '作A E CD '⊥于点E ，则BD A E '⊥，所以A E '⊥平
面BCD ，连接BE ，则A BE '∠就是直线A B '与平面BCD 所成的角.设2AB BC ==，则在直角三角形A DE '
中，45A D A DE ''=∠=︒，所以1A E '=，又2A B A E BE ''=⊥，，所以30A BE '∠=︒，所以直线A B '与平面BCD 所成的角为30°.故选A. 9.答案：4
解析：本题考查向量的坐标运算以及向量平行的坐标表示. (1,2)(1,2),2(4,34)m m =-=-∴+=-b a a b .又(2),2(34)40m m +∴⨯--=a
a b ，解得4m =.
10.
答案：4解析：本题考查分段函数、复合函数的零点.令()f x t =，则由()5f t =，解得2t =-或4t =，而()2f x =-无实数根，()4f x =
有两个实数根72，故[()]5y f f x =-
的所有零点之和为4-
11.答案：(2,)+∞
解析：由题意可知，OPF 为等腰三角形，||=||PQ PF .设OPF ∠的平分线与x 轴交于点H ，则点H 为线段OF 的中点，所以,02c H ⎛⎫
⎪⎝⎭.因为P 为双曲线C 右支上异于右顶点的点，所以2c a >，即
e 2c
a
=
>，故双曲线C 的离心率e 的取值范围是(2,)+∞. 12.
解析：本题考查空间几何体的体积.由题意得，三棱锥S ABC -
的体积
11432S ABC V AB BC -=⨯⋅=，则6AB BC ⋅=，当球O 的体积最小时，ABC 外接圆的半径
最小，即AC 最小，在ABC 中，由余弦定理和基本不等式得
222123182AC AB BC AB BC AB BC ⎛⎫
=+-⋅⨯-⋅= ⎪⎝⎭
，当且仅当AB BC ==
min AC =，此时ABC
外接圆的直径min 32sin1203
AC r =
=
=O 的半径
R ==O 的体积的最小值为34π3R =.
13.答案：ABD
解析：设产业结构调整前的经济收入为a ,则调整后的经济收入为4a .由饼图知调整前纺织服装收入为0.45a ,节能环保收入为0.15a ,食品加工收入为0.18a ,科技研发收入为0.22a ,调整后的纺织服装收入为40.150.6a a ⨯=,节能环保收入为40.25a a ⨯=,食品加工收入为0.15064.a a ⨯=,科技研发收入为40.45 1.8a a ⨯=.由以上数据易得产业结构调整后节能环保的收入与调整前的总收人一样多,故选项
A 正确;产业结构调整后科技研发的收入增幅最大,故选项
B 正确;产业结构调整后纺织服装收入相比调整前有所升高,故选项
C 错误;产业结构调整后食品加工收入是调整前纺织服装收入的4
3
倍,故选项D 正确. 14.答案：AD
解析：本题考查三角函数的图像变换和性质.函数()f x 的图像向左平移
π
6
个单位长度后得到函数ππ()sin 63g x x ωω⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，因为()g x 的图像关于y 轴对称，所以ππππ()632k k ω+=+∈Z ，解
得61()k k ω=+∈Z .又0ω>，所以1ω.当1ω=时，π()sin ,()3f x x y f x ⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭在[0,2π]x ∈上只有
一个极大值点，满足题意；当7ω=时，π()sin 7,()3f x x y f x ⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭在[0,2π]x ∈上极大值点的个
数大于2，所以当7ω时，()f x 在[0,2π]x ∈上极大值点的个数大于2，所以1ω=，故A 正确，C 错误；所以π()sin 3f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，当π6x =时，ππ32x +=，因此()f x 的图像关于直线π6x =对称，D
正确；当
ππ2x 时，5ππ
4π
633
x +，此时()f x 是单调递减的，B 错误.故选AD. 15.答案：ACD
解析：对于选项A ，设()11,A x y ，由焦半径公式得115
44
x +=，解得11x =，所以11y =，从而1111248AOF
S
=⨯⨯=，选项A 正确；对于选项B ，由题意知1
||4
OF =，根据抛物线的定义可知1||2BF BB =
'=.设BB '与y 轴的交点为D ，易知1||||2OD BF ==，1
4
B D '=，故
OB '，所以四边形OFBB '的周长为111422+++=B 错误；对于选项C ，若直线AB 过点F ，则当AB x ⊥轴时，AB 最小，且最小值为1，选项C 正确；对于选项D ，设直线()()1122:,,,,AB x my t A x y B x y =+，联立直线AB 与抛物线方程得20y my t --=，则12y y t =-，所以22
21212
x x y y t ==，由14OA OB ⋅=-可得121214x x y y +=-，即214
t t -=-，解得
12t =
，故直线AB 的方程为12x my =+，即直线AB 恒过定点1,02⎛⎫
⎪⎝⎭
，选项D 正确.故选ACD.
16.答案：AC
解析：易知函数()f x 的定义域为(0,) +∞,2
()2ln (12ln )x f x x x x x x
'
-=-+=-+,令
()(12ln )0f x x x '=-+=,则12ln 0x +=,
解得x =
,
当x ⎛∈ ⎝
时,()0,() f x f x '
>单调递增;
当
x ⎫∈+∞⎪⎭
时,()0,() f x f x '<单调递减.
所以当x =时,函数()f x
有极大值
1
2e
f =,故选项A 正确;
因为1
02e f =>,且当0x →时,()0f x >,当 x →+∞时()0,f x <所以方程()0f x =不可能有两个不同的实数根,选项B 错误;因为函数() f x
在⎛ ⎝上单调递增,
1
2>=,所
以12f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭,选项C 正确;不等式2
()k f x x >+在(0,)+∞上恒成立即不等式22ln k x x x >-+在(0,)+∞上恒成立,令22()ln g x x x x =-+,则()2ln (12ln )g x x x x x x '=-=-,令
()(12ln )0g x x x '=-=,则12ln 0x -=,
解得x
当x ∈时,()0,()g x g x '>单调递增;
当)x ∈+∞时,()0,()g x g x '<单调递减.
所以当x =时,函数()g x 有最大值
,e 2g =
,所以e
2
k >,选项D 错误.
17.答案：本题考查由数列的递推公式求数列的通项. 若选①：1(0)n n S ma m +=≠，则当2n 时，1n n S ma -=， 两式相减，得11n n n n n S S a ma ma -+-==-，即1(2)1n n
a a n m m
+=+， 结合11a =，可知0n a ≠，所以
11
(2)n n a m n a m
++=. 由1(0)n n S ma m +=≠，得12a ma =，即2111
a m a m m
+=≠
， 故数列{}n a 不是等比数列.
若选②：12n n S ka =-，由11a =，得112k =-，即3
2k =，
于是31
22
n n S a =-，
当2n 时，113122n n S a --=-，两式相减得133
22
n n n a a a -=-，
即13n n a a -=，
所以数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，因此13n n a -=. 若选③：112n n a a S S -=，由11a =，得21n n S a =-，
当2n 时，1121n n S a --=-，两式相减得1122n n n n n S S a a a ---==-，即12n n a a -=， 所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，因此12n n a -=. 解析：
18.答案：(1)[证明]因为cos (2)cos ,b C b c B =-
所以由正弦定理得sin cos 2sin cos sin cos ,B C B B C B =- 所以sin()sin 2,B C B +=即sin sin2A B =.
又因为0π,022π,A B <<<<所以2A B =或2π.A B +=
若2π,A B +=因为π,A B C ++=所以,B C =与a ，b ，c 互不相等矛盾，所以2.A B = (2)[解]由(1)知π()π3,C A B B =-+=-因为0π,C <<所以π03
B <<.
因为,c =所以由正弦定理得sin C A ，
则sin(π3)2,B B -=可得sin32B B . 又因为
sin3sin(2)sin 2cos cos2sin B B B B B B B =+=+=
2222sin cos 2sin cos sin 4sin cos sin B B B B B B B B +-=-，
所以24sin cos sin 2cos B B B B B B -==. 因为π
03
B <<
，所以sin 0B >，
所以24cos 10B B --=，
解得cos B
又π03B <<，所以cos B =
解析：
19.答案：解：（I ）由题易知
所以2
3 3.84130202525
K ==<⨯⨯⨯，
所以没有95%的把握认为使用刷脸支付与性别有关.
（Ⅱ）X 的可能取值为201020,1010m m m ++，,40,30,20， 111(20)4416P X m ==⨯=；
111
(1020)2448P X m =+=⨯⨯=；
111
(1010)2424
P X m =+=⨯⨯=；
111
(40)4416P X ==⨯=；
111
(30)2424P X ==⨯⨯=；
111
(20)224
P X ==⨯=；
所以X 的分布列为
因为52050m +≥，解得6m ≥， 所以m 的最小值为6. 解析：
20.答案：（1）本题考查利用线面垂直证明线线垂直、利用空间向量法求解二面角的大小. 如图，取AD 的中点M ，连接PM,BM,BD ，
,PA PD M =为AD 的中点，PM AD ∴⊥.
四边形ABCD 是菱形，且60,BAD ABD ∠=︒∴是正三角形，则BM AD ⊥. 又,PM BM M AD ⋂=∴⊥平面PMB . 又
PB ⊂平面,PMB AD PB ∴⊥.
（2）PM AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面,ABCD AD PM =∴⊥平面ABCD . 又MB ⊂平面,,,,ABCD PM MB MA MB MP ∴⊥∴两两互相垂直.
∴以M 为原点，MA,MB,MP 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.
PM ⊥平面,ABCD PBM ∴∠即为PB 与平面ABCD 所成角，
45,PBM MB MP ∴∠=︒∴=.
在正三角形ABD 中，BM AD ⊥，设2AD =
，则MB
(1,0,0),(P D B C ∴--
.
(2,3,3),(2,0,0),(1,0,PC BC PD ∴=--=-=-.
设平面
PBC 的法向量为()11
1,,x y z =m ，
则1111
20,20,PC x BC x ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩m m 不妨取11y =，则(0,1,1)=m .
设平面
PCD 的法向量为()2
22,,x
y z =n ，
则2222220,0,
PC x PD x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅
=-=⎪⎩n n
不妨取21z =，则(1,1)=-n .
0,∴⋅=∴m n 平面PBC ⊥平面PDC ，
∴二面角B PC D --的平面角为90°.
解析：
21.答案：(1) 因为分别以椭圆的长轴和短轴为直径的圆的面积的比值为4，
所以2
2π4πa b
=，即224a b =①. 将12⎫⎪⎭代入椭圆方程，得223114a b +=②. 由①②解得22
4,1a b ==，
所以椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=.
(2) 因为OR BD ⊥，所以11||||||||22
OR PQ OP OQ ⋅=⋅， 所以||||||||OR PQ OP OQ ⋅=⋅，
故求||||OR PQ ⋅的最大值，即求||||OP OQ ⋅的最大值. 设()()1122,,,A x y D x y ，则()11,B x y --，所以11y k x =
. 由题意知AB AD ⊥，所以直线AD 的斜率111
x k y =-. 设直线AD 的方程为1y k x m =+，由题意知10,0k m <≠， 由122,1,4y k x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()
22211148440k x k mx m +++-=， 所以()11212112221182,2,1414mk m x x y y k x x m k k +=-
+=++=++ 所以1211211
144BD y y y k x x k x +==-=+， 所以直线BD 的方程为()11114y y y x x x +=
+. 令0y =，得13x x =，即()13,0P x ；令0x =，得134y y =-，即130,4Q y ⎛⎫- ⎪⎝
⎭. 所以111139||||344
OP OQ x y x y ⋅=⨯=. 又22221111111244
x x y y x y =+⋅=，当且仅当112x y ==时等号成立， 所以||||OP OQ ⋅的最大值为
94， 故||||OR PQ ⋅的最大值为
94. 解析：
22.答案：（1）解：()2()6e x f x x x a =-+，
()2()46e x f x x x a ∴=-+-'，
则(0)65,1f a a =-=-∴='，
()2()45e (1)(5)e x x f x x x x x ∴=--=+-'.
令()0f x '>，得1x <-或5x >；
令()0f x '<，得15x -<<，
()f x ∴的单调递增区间为(,1),(5,)∞∞--+，单调递减区间为(1,5)-.
（2）证明：()()22()611e ,()45e x x f x x x f x x x =-+∴=-+'. 令()
2()45e x g x x x =-+，则2()(1)e 0x g x x =-'且不恒为0， ()g x ∴在R 上为增函数，即()f x '在R 上为增函数.
()()
12()(1)2f x f x f m m +'''=>， ()()12()()f x f m f m f x ∴-=-''''，
()1()f x f m ∴-''与()2()f m f x -''同号.
不妨设12x m x <<，设()(2)()2()(1)h x f m x f x f m m x =-+-<'<''，
则222()e (21)e (1)m x x h x m x x -=---+-'.
222e e ,(21)(1)(22)(22)0m x x m x x m m x -<----=--<， ()0,()h x h x ∴>∴'在(,)m ∞+上为增函数，()()0h x h m ∴>=， ()()()22222()0h x f m x f x f m '''∴=-+->，
()()()22122()f m x f m f x f x ∴->-=''''.
又()f x '在R 上为增函数，212m x x ∴->，即122x x m +>. 解析：。