2017_2018学年高中数学学业分层测评2含解析北师大版选修2_120171003212

学业分层测评(二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．“－2＜x＜1”是“x＞1或x＜－1”的()
A．充分条件
B．必要条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
【解析】∵－2＜x＜1 x＞1或x＜－1，且x＞1或x＜－1 －2＜x＜1，∴“－2＜
x＜1”是“x＞1或x＜－1”的既不充分，也不必要条件．
【答案】 C
2．a＜0，b＜0的一个必要条件为()
A．a＋b＜0B．a－b＞0
a a
C. ＞1 D．＜－1
b b
【解析】a＋b＜0 a＜0，b＜0，而a＜0，b＜0⇒a＋b＜0.
【答案】 A
3．“ab≠0”是“直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交”的()
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】ab≠0，即Error!，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0.
【答案】 C
4．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件是
() A．a≤0B．a＞0
C．a＜－1 D．a＜1
1 【解
析】∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．∴x1x2＜0.即＜0⇔
a
a＜0，本题要求的是充分条件．由于{a|a＜－1}⊆{a|a＜0}，故答案应为C.
【答案】 C
1
π
5．设0＜x＜，则“x sin2x＜1”是“x sin x＜1”的()
2
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
π
【解析】因为0＜x＜，所以0＜sin x＜1.由x·sin x＜1知x sin2x＜sin x＜1，因此
2
1 1
必要性成立．由x sin2x＜1得x sin x＜，而＞1，因此充分性不成立．
sin x sin x
【答案】 B
二、填空题
1
6．满足sin α＝的一个充分条件是α＝____(填一角即可)．
2
π 1
【解析】∵α＝⇒sin α＝，
6 2
1 π
∴sin α＝的一个充分条件可以是α＝.
2 6
π
【答案】
6
3
7．已知“x＞k”是“＜1”的充分条件，则k的取值范围是________．
x＋1
【导学号：32550004】
3
【解析】解不等式＜1得，x＜－1或x＞2，
x＋1
∵x＞k⇒x＞2或x＜－1∴k≥2.
【答案】[2，＋∞)
8．已知p：x∈A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：x∈B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m
∈R}．若p是綈q的充分条件，则实数m的取值范围是________．
【解析】∵A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}，∴∁R B＝{x|x＜m－2或x＞m＋2}．∵p是綈q的充分条件，∴A⊆∁R B，∴m－2＞3或m＋2＜－1，∴m＞5或m＜－3.
【答案】(－∞，－3)∪(5，＋∞)
三、解答题
9．分别判断下列“若p，则q”命题中，p是否为q的充分条件或必要条件，并说明理由．
(1)p：sin θ＝0，q：θ＝0；
(2)p：θ＝π，q：tan θ＝0；
(3)p：a是整数，q：a是自然数；
(4)p：a是素数，q：a不是偶数．
2
【解】(1)由于p：sin θ＝0⇐q：θ＝0，p：sin θ＝0 q：θ＝0，
所以p是q的必要条件，p是q的不充分条件．
(2)由于p：θ＝π⇒q：tan θ＝0，p：θ＝π⇐/ q：tan θ＝0，
所以p是q的充分条件，p是q的不必要条件．
(3)由于p：a是整数q：a是自然数，
p：a是整数⇐q：a是自然数，
所以p是q的必要条件，p是q的不充分条件．
(4)由于p：a是素数⇔/ q：a不是偶数，
所以p是q的不充分条件，p是q的不必要条件．
10．已知p：4x＋k≤0，q：x2－x－2＜0，且p是q的必要条件，求k的取值范围．
k
【解】由4x＋k≤0，得x≤－；
4
由x2－x－2＜0，得－1＜x＜2.
设A＝Error!，B＝{x|－1＜x＜2}，
由p是q的必要条件，得A⊇B.
k ∴－
≥2，
4
∴k≤－8.
即k的取值范围为(－∞，－8]．
[能力提升]
1
1．不等式1－＞0成立的充分条件是()
x
A．x＞1 B．x＞－1
C．x＜－1或0＜x＜1 D．x＜0或x＞1
1 【解析】x
＞1⇒1－＞0，故选A.
x
【答案】 A
2．设a，b为向量，则“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的
() A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】∵a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝|a||b|，
∴cos 〈a，b〉＝1，
3
∴〈a，b〉＝0，
∴a·b＝|a||b|⇒a∥b.
而∵a∥b夹角可为π，∴a·b＝－|a||b|，
∴a·b＝|a||b|⇐/ a∥b，
故选A.
【答案】 A
3．(2016·长春高二检测)如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是
假命题，则A是B的________条件．
【解析】否命题为真，则逆命题为真．
∴“若B，则A”为真，∴B⇒A，
而原命题为假设A B，
∴A是B的必要条件．
【答案】必要
4．已知p：x2－2x－3＜0，若－a＜x－1＜a是p的一个必要条件但不是充分条件，求使a ＞b恒成立的实数b的取值范围．
【解】由于p：x2－2x－3＜0⇔－1＜x＜3，－a＜x－1＜a⇔1－a＜x＜1＋a(a＞0)．依题意，得{x|－1＜x＜x|1－a＜x＜1＋a}(a＞0)，
所以Error!解得a＞2，
则使a＞b恒成立的实数b的取值范围是b≤2，即(－∞，2]．
4。