离散数学第一次作业(命题逻辑) 1、证明下列各式是重言式
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离散数学第一次作业命题逻辑1证明下列各式是重言式1pqp?t?pqp?t?p?qp?tt?q?tt?t所以此式为重言式2??pq?p?f?pq?p?f?tq?f?t?ff?f所以此式为重言式3qp?pqq?q?p?qppqt?p?qpp?qpq?pp?qpq?ppp?pp?p所以此式为重言式4p?p?pp?f?p?ppp?f?pp?ff?f所以此式为重言式2求出下列公式的最简等价式
离散数学第一次作业（命题逻辑）
1、证明下列各式是重言式 （1）（（P∧Q）→P）↔T Ù((⎤(P∧Q) ∨ P) ↔T Ù(⎤P∨⎤Q∨P) ↔T Ù（T∨⎤Q）↔T ÙT↔T 所以此式为重言式
（2）⎤（⎤（P∨Q）→⎤ P）↔F Ù⎤（（P∨Q）∨⎤ P）↔F Ù⎤（T∨Q）↔F Ù⎤T↔F ÙF↔F 所以此式为重言式
（b）P∨QÙ⎤ ⎤（P∨Q）Ù⎤ （P↓Q）Ù（P↓Q）↓ F
（c）P∧QÙ⎤(⎤P∨⎤Q) Ù⎤ ⎤ （⎤ P↓⎤ Q）Ù⎤ P↓⎤ QÙ （公式的最简等价式： （1）（（P→Q）↔（⎤ Q→⎤ P））∧R Ù（（P→Q）↔（P→Q））∧R ÙT∧RÙR
（2）P∨⎤ P∨（Q∧⎤Q） ÙT∨FÙT
（3）（P∧（Q∧S））∨（⎤ P∧（Q∧S）） Ù（（P∨⎤ P ）∧（Q∧S））） Ù T∧（Q∧S） Ù（Q∧S）
3、（1）与非运算符↑（又叫悉菲（Sheffer）记号）用下述真值表定义，
可以看出 P↑Q⇔⎤（P∧Q），试证明：
（a）P↑P⇔⎤ P； （b）（P↑P）↑（Q↑Q）⇔ P∨Q；
（c）（P↑Q）↑（P↑Q）⇔ P∧Q
证明：
（a）P↑P⇔⎤（P∧P）⇔⎤P
(b) （P↑P）↑（Q↑Q）⇔⎤P↑⎤Q⇔⎤(⎤P∧⎤Q) ⇔ P∨Q
(c) （P↑Q）↑（P↑Q）⇔⎤（P∧Q）↑⎤（P∧Q）
（3）（Q→P）∧（⎤ P→Q）∧（Q↔Q）↔ P Ù（⎤ Q∨P）∧（P∨Q）∧T↔ P Ù（(⎤ Q∨P）∧P) ∨(（⎤ Q∨P）∧Q) ↔ P Ù(P∨((⎤ Q∨P）∧Q) ↔ P Ù(P∨P) ↔ P
ÙP↔ P 所以此式为重言式
（4）（P→⎤ P）∧（⎤ P→P）↔F Ù（⎤ P∨⎤ P）∧（P∨P）↔F Ù（⎤ P∧P）↔F ÙF↔F 所以此式为重言式
⇔⎤(⎤（P∧Q）∧⎤（P∧Q）) ⇔⎤⎤（P∧Q）
⇔ P∧Q
（2）或非运算符↓（又叫皮尔斯（Peirce）箭头）用下述真值表定义，
它与⎤（P∨Q）逻辑等价。对下述每一式，找出仅用↓表示的等价式。
（a）⎤ P； （b）P∨Q； （c）P∧Q。
P
Q
P↑Q
P↓Q
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
证明：
（a）⎤ PÙ⎤ P∧TÙ⎤ P∧⎤FÙ⎤（P∨F）ÙP↓ F
离散数学第一次作业（命题逻辑）
1、证明下列各式是重言式 （1）（（P∧Q）→P）↔T Ù((⎤(P∧Q) ∨ P) ↔T Ù(⎤P∨⎤Q∨P) ↔T Ù（T∨⎤Q）↔T ÙT↔T 所以此式为重言式
（2）⎤（⎤（P∨Q）→⎤ P）↔F Ù⎤（（P∨Q）∨⎤ P）↔F Ù⎤（T∨Q）↔F Ù⎤T↔F ÙF↔F 所以此式为重言式
（b）P∨QÙ⎤ ⎤（P∨Q）Ù⎤ （P↓Q）Ù（P↓Q）↓ F
（c）P∧QÙ⎤(⎤P∨⎤Q) Ù⎤ ⎤ （⎤ P↓⎤ Q）Ù⎤ P↓⎤ QÙ （公式的最简等价式： （1）（（P→Q）↔（⎤ Q→⎤ P））∧R Ù（（P→Q）↔（P→Q））∧R ÙT∧RÙR
（2）P∨⎤ P∨（Q∧⎤Q） ÙT∨FÙT
（3）（P∧（Q∧S））∨（⎤ P∧（Q∧S）） Ù（（P∨⎤ P ）∧（Q∧S））） Ù T∧（Q∧S） Ù（Q∧S）
3、（1）与非运算符↑（又叫悉菲（Sheffer）记号）用下述真值表定义，
可以看出 P↑Q⇔⎤（P∧Q），试证明：
（a）P↑P⇔⎤ P； （b）（P↑P）↑（Q↑Q）⇔ P∨Q；
（c）（P↑Q）↑（P↑Q）⇔ P∧Q
证明：
（a）P↑P⇔⎤（P∧P）⇔⎤P
(b) （P↑P）↑（Q↑Q）⇔⎤P↑⎤Q⇔⎤(⎤P∧⎤Q) ⇔ P∨Q
(c) （P↑Q）↑（P↑Q）⇔⎤（P∧Q）↑⎤（P∧Q）
（3）（Q→P）∧（⎤ P→Q）∧（Q↔Q）↔ P Ù（⎤ Q∨P）∧（P∨Q）∧T↔ P Ù（(⎤ Q∨P）∧P) ∨(（⎤ Q∨P）∧Q) ↔ P Ù(P∨((⎤ Q∨P）∧Q) ↔ P Ù(P∨P) ↔ P
ÙP↔ P 所以此式为重言式
（4）（P→⎤ P）∧（⎤ P→P）↔F Ù（⎤ P∨⎤ P）∧（P∨P）↔F Ù（⎤ P∧P）↔F ÙF↔F 所以此式为重言式
⇔⎤(⎤（P∧Q）∧⎤（P∧Q）) ⇔⎤⎤（P∧Q）
⇔ P∧Q
（2）或非运算符↓（又叫皮尔斯（Peirce）箭头）用下述真值表定义，
它与⎤（P∨Q）逻辑等价。对下述每一式，找出仅用↓表示的等价式。
（a）⎤ P； （b）P∨Q； （c）P∧Q。
P
Q
P↑Q
P↓Q
0
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1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
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0
证明：
（a）⎤ PÙ⎤ P∧TÙ⎤ P∧⎤FÙ⎤（P∨F）ÙP↓ F