2019版高考数学(文理通用,新课标)一轮复习课件：第一章 集合与常用逻辑用语 第三节 简单的逻辑联结词、全

[解析] 由关于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是 {x|x<0}，知0<a<1.
由函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，知不等式ax2－x＋ a>0的解集为R，则a1>－04，a2<0， 解得a>12.
因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p和q一真一假，即 “p假q真”或“p真q假”，
④(綈p)∨q中，真命题的序号是
A．①③ C．②③
B．①④ D．②④
()
[解析] 依题意可知，命题 p 为真命题，命题 q 为假命题， 则綈 p 为假命题，綈 q 为真命题．
所以 p∧q 为假命题，p∨q 为真命题，p∧(綈 q)为真命题，(綈 p)∨q 为假命题．
[答案] C
[方法技巧] 判断含有逻辑联结词命题真假的关键及步骤
故1≤a≤2.
答案：[1,2]
4．[考点二]已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题 q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p ∨q是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或 a≥4；若命题q是真命题，则－a4≤3，即a≥－12.因为p∨ q是真命题，所以a∈R. 答案：R
对M中的_任__意__一__个___ x，有p(x)成立
∀x∈M，p(x) _∃___x_0_∈___M__，___綈___p_(_x_0_)__
_存__在__M中的一个x0，使 p(x0)成立
∃x0∈M，p(x0) ∀__x__∈__M___，__綈___p_(_x_ )
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
第三节 简单的逻辑联 结词、全称量 词与存在量词
本节主要包括2个知识点： 1.简单的逻辑联结词； 2.全称量词与存在量词.
突破点(一) 简单的逻辑联结词
基础联通
抓主干知识的“源”与“流”
命题p∧q、p∨q、綈p的真假判定
p
q p∧q p∨q
綈p
真
真
_真__
_真__
_假___
真
假
_假___
_真___
突破点(二) 全称量词与存在量词
基础联通
抓主干知识的“源”与“流”
1．全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
所有、一切、任意、全部、每 全称量词
一个、任给等
存在一个、至少有一个、有一 存在量词
个、某个、有些、某些等
符号表示 _∀___ _∃___
2.全称命题和特称命题
名称 形式
全称命题
特称命题
结构
简记 否定
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]命题“存在实数x，使x>1”的否定是 A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1 C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1
()
解析：特称命题的否定为全称命题，所以将“存在”改为 “任意”，“x>1”改为“x≤1”．故选C. 答案：C
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]若命题 p：函数 y＝x2－2x 的单调递增区间是[1，
＋∞)，命题 q：函数 y＝x－1x的单调递增区间是[1，＋∞)，则
A．p∧q 是真命题
B．p∨q 是假命题
()
C．綈 p 是真命题
D．綈 q 是真命题
解析：因为函数y＝x2－2x在[1，＋∞)上是增函数，所以其单
的 否 定 是 “≥” ， 因 此 该 命 题 的 否 定 是 “ ∀ x ∈ R ， x2 － 2x ＋
1≥0”．
[答案] C
(2)命题“对任意 x∈R，都有 x2≥ln 2”的否定是 ( ) A．对任意 x∈R，都有 x2<ln 2 B．不存在 x∈R，都有 x2<ln 2 C．存在 x0∈R，使得 x20≥ln 2 D．存在 x0∈R，使得 x20<ln 2 [解析] 按照“任意”改“存在”，结论变否定的模式，原 命题的否定应该为：存在 x0∈R，使得 x20<ln 2. [答案] D
全(特)称命题的否定 [例 1] (1)命题“∃x0∈R，x20－2x0＋1<0”的否定是( ) A．∃x0∈R，x02－2x0＋1≥0 B．∃x0∈R，x02－2x0＋1>0 C．∀x∈R，x2－2x＋1≥0
D．∀x∈R，x2－2x＋1<0 [解析] 原命题是特称命题，“∃”的否定是“∀”，“<”
全(特)称命题的真假判断
[例2] 下列命题中为假命题的是
A．∀x∈R，ex>0
B．∀x∈N，x2>0
()
C．∃x0∈R，ln x0<1
D．∃x0∈N*，sinπ2x0＝1
[解析] 对于选项A，由函数y＝ex的图象可知，∀x∈R，
ex>0，故选项A为真命题；对于选项B，当x＝0时，x2＝0，故
选项B为假命题；对于选项C，当x0＝
A．锐角三角形有一个内角是钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，1x>2 解析：A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；
B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是特称命题又
是真命题；C中因为 2 ＋(－ 2 )＝0不是无理数，所以C是
假命题；D中对于任意一个负数x，都有
号，p是真命题；当x>0时，2x>1，q是假命题．所以p∧(綈q)
是真命题，(綈p)∧q是假命题．
答案：C
5．[考点三]若“∀x∈0，π4，tan x≤m”是真命题，则实数 m 的 最小值为________． 解析：由题意，原命题等价于tan x≤m在区间 0，π4 上恒成 立，即y＝tan x在0，π4上的最大值小于或等于m，又y＝tan x在0，π4上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1. 答案：1
解析：对于命题p：Δ<0且a>0，故a>2；对于命题q：a>2x
－2x＋1在x∈(－∞，－1)上恒成立，又函数y＝2x－2x＋1为
增函数，所以 2x－2x＋1 <1，故a≥1.命题“p∨q”为真命 题，命题“p∧q”为假命题，等价于p，q一真一假，即
a>2，

a<1
或aa≤ ≥21， ，
_假__
假
真
假___
_真__
_真__
假
假
_假___
_假___
_真___
简记为“p∧q两真才真，一假则假；p∨q一真则真，两假才
假；綈p与p真假相反”．
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
含逻辑联结词命题的真假判断 [例1] (2017·大连模拟)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命
题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；
(1)判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是正确理解 “或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联 结词进行命题结构的分析与真假的判断．
(2)判断命题真假的步骤
根据复合命题的真假求参数 [例2] 已知命题p：关于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的 解集是{x|x<0}，命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R， 如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围为 ________________．
－3y＝3 垂直”的充要条件，则以下结论正确的是 ( )
A．p∨q 为真命题
B．p∧q 为假命题
C．p∧綈 q 为真命题
D．綈 p∨q 为假命题
解析：当a>1时，一元二次方程x2＋2x＋a＝0的判别式Δ＝4－
4a<0，则x2＋2x＋a>0对任意x∈R恒成立，故函数y＝log
1 2
(x2＋
2x＋a)的定义域为R，故命题p是真命题；直线ax＋2y＝0与直
故aa>>112， 或0a<≤a12<，1， 解得a>1或0<a≤12，
即a∈0，12∪(1，＋∞)． [答案] 0，12∪(1，＋∞)
[方法技巧] 根据复合命题真假求参数的步骤
(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一 定只有一种情况)；
(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (3)根据给出的复合命题的真假推出每个命题的真假 情况，从而求出参数的取值范围．
根据全(特)称命题的真假求参数
[例3]
若命题“∃x0∈R，x
2 0
＋(a－1)x0＋1<0”是真命题，
则实数a的取值范围是
()
A．[－1,3]
B．(－1,3)
C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
[解析]
因为命题“∃x0∈R，x
2 0
＋(a－1)x0＋1<0”是真命
题等价于x
1 x
<0，不满足
1 x
>2，
所以D是假命题． 答案：B
4．[考点二]已知命题 p：∀x>0，x＋4x≥4；命题 q：∃x0∈(0，＋
∞)，2x0＝12，则下列判断正确的是
()
A．p 是假命题
B．q 是真命题
C．p∧(綈 q)是真命题 解析：当x>0时，x＋4x≥2
D．(綈 p)∧q 是真命题 x·4x＝4，当且仅当x＝2时取等
[易错提醒] 对全(特)称命题进行否定的方法
全(特)称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全 称命题和特称命题时：
(1)改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为 全称量词；
(2)否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可． [提醒] 对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的 量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题பைடு நூலகம்否定．
2 0
＋(a－1)x0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a－1)2
－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3，故选D. [答案] D
[方法技巧] 根据全(特)称命题的真假求参数的思路
与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题 的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般 先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方 程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值 或范围．
2．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知命题p：∀x∈R，2x<3x；命题q： ∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是 ( ) A．p∧q B．綈p∧q C．p∧綈q D．綈p∧綈q 解析：容易判断当x≤0时命题p为假命题，分别作出函数y＝ x3，y＝1－x2的图象(图略)，易知命题q为真命题．由綈p为真
线2x－3y＝3垂直等价于a×2＋2×(－3)＝0，解得a＝3，故“a
＝3”是“直线ax＋2y＝0与直线2x－3y＝3垂直”的充要条件，
故命题q是真命题．所以p∨q为真命题，p∧q为真命题，p∧綈
q为假命题，綈p∨q为真命题．故选A. 答案：A
3．[考点二]设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定义域为R； 命题q：不等式2x2＋x>2＋ax在x∈(－∞，－1)上恒成立， 如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则 实数a的取值范围为________．
[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2015·新课标全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为( )
A．∀n∈N，n2>2n C．∀n∈N，n2≤2n
B．∃n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
解析：因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈
p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N， n2≤2n”，故选C. 答案：C
2． [考点一]已知命题 p：∀x∈R,2x＝5，则綈 p 为
()
A．∀x∉R,2x＝5 C．∃x0∈R,2x0＝5
B．∀x∈R,2x≠5 D．∃x0∈R,2x0≠5
解析：结合全称命题的含义及其否定的格式可得綈p为“∃
x0∈R,2x0≠5”，所以选D. 答案：D
3．[考点二]以下四个命题既是特称命题又是真命题的是 ( )
1 e
时，ln
1 e
＝－1<1，故选
项C为真命题；对于选项D，当x0＝1时，sin
π 2
＝1，故选项D为
真命题．综上知选B.
[答案] B
[方法技巧] 全(特)称命题真假的判断方法
(1)全称命题真假的判断方法 ①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x，证明p(x)成立． ②要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中 的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可． (2)特称命题真假的判断方法 要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题 就是假命题．
调递增区间是[1，＋∞)，所以p是真命题；因为函数y＝x－
1 x
的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q是假命
题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题，綈q 为真命题．故选D. 答案：D
2．[考点一]已知命题 p：当 a>1 时，函数 y＝log12(x2＋2x＋a)的定
义域为 R；命题 q：“a＝3”是“直线 ax＋2y＝0 与直线 2x