2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版：第八章第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系含解析

[基础达标]
1．已知异面直线a ，b 分别在平面α，β内，且α∩β＝c ，那么直线c 一定( ) A ．与a ，b 都相交
B ．只能与a ，b 中的一条相交
C ．至少与a ，b 中的一条相交
D ．与a ，b 都平行
解析：选C.若c 与a ，b 都不相交，则c 与a ，b 都平行，根据公理4，知a ∥b ，与a ，b 异面矛盾．
2．如图所示，平面α∩平面β＝l ，A ∈α，B ∈α，AB ∩l ＝D ，C ∈β，C ∉l ，则平面ABC 与平面β的交线是( )
A ．直线AC
B ．直线AB
C ．直线C
D D ．直线BC 解析：选C.由题意知，D ∈l ，l ⊂β，所以D ∈β， 又因为D ∈AB ，所以D ∈平面ABC ，
所以点D 在平面ABC 与平面β的交线上． 又因为C ∈平面ABC ，C ∈β，
所以点C 在平面β与平面ABC 的交线上， 所以平面ABC ∩平面β＝CD .
3．已知AB 是平面α的斜线段，A 为斜足．若点P 在平面α内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．一条直线
D ．两条平行直线
解析：选B.如图，由于AB 的长为定值，且△ABP 的面积也是定值，因此空间中点P 到直线AB 的距离也为定值，从而可以推知点P 在空间的轨迹应是以AB 为旋转轴的圆柱面，又点P 在平面α内，且AB 与平面α不垂直，故点P 的轨迹应是该圆柱面被平面α截出的椭圆．
4．(2019·瑞安四校联考)若平面α∥平面β，点A ，C ∈α，B ，D ∈β，则直线AC ∥直线BD 的充要条件是( )
A ．A
B ∥CD B ．AD ∥CB
C ．AB 与C
D 相交 D ．A ，B ，C ，D 四点共面
解析：选D.因为平面α∥平面β，要使直线AC ∥直线BD ，则直线AC 与BD 是共面直线，即A ，B ，C ，D 四点必须共面．
5．如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长(包括底面边长)都是2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，
则EF 与侧棱C 1C 所成的角的余弦值是( )
A ．
55 B ．255
C ．12
D ．2
解析：选B.如图，取AC 中点G ，连接FG ，EG ，则FG ∥C 1C ，FG ＝C 1C ；EG ∥BC ，EG ＝1
2
BC ，
故∠EFG 即为EF 与C 1C 所成的角，在Rt △EFG 中，
cos ∠EFG ＝FG FE ＝25
＝25
5.
6．(2019·台州模拟)如图所示，ABCD ­A 1B 1C 1D 1是正方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确的是( )
A ．A ，M ，O 三点共线
B ．A ，M ，O ，A 1不共面
C ．A ，M ，C ，O 不共面
D ．B ，B 1，O ，M 共面
解析：选A.连接A 1C 1，AC (图略)，则A 1C 1∥AC ，
所以A 1，C 1，A ，C 四点共面，所以A 1C ⊂平面ACC 1A 1. 因为M ∈A 1C ，所以M ∈平面ACC 1A 1. 又M ∈平面AB 1D 1，
所以M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上， 同理A ，O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上． 所以A ，M ，O 三点共线． 7．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：
①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．
其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．
解析：直线AM 与CC 1是异面直线，直线AM 与BN 也是异面直线，故①②错误． 答案：③④ 8．(2019·金丽衢十二校联考) 如图所示，在三棱锥A -BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形，当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 是正方形．
解析：易知EH ∥BD ∥FG ，且EH
＝12
BD ＝FG ，同理EF ∥AC ∥HG ，且EF ＝1
2
AC ＝HG ，显然四
边形EFGH 为平行四边形．要使平行四边形EFGH 为菱形需满足EF ＝EH ，即AC ＝BD ；要使四边形EFGH 为正方形需满足EF ＝EH 且EF ⊥EH ，即AC ＝BD 且AC ⊥BD .
答案：A C ＝BD AC ＝BD 且AC ⊥BD 9．已知三棱锥A -BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 所成的角为60°，点M ，N 分别是BC ，
AD 的中点，则直线AB 和MN 所成的角为________．
解析：如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，
则PM ∥AB ，且PM ＝1
2AB ，
PN ∥CD ，且PN ＝1
2
CD ，所以∠MPN 为AB 与CD 所成的角(或其补角)，则∠MPN ＝60°或∠MPN
＝120°.
因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或其补角)． ①若∠MPN ＝60°，
因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，
则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°， 即AB 与MN 所成的角为60°.
②若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形，所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.
综上，直线AB 和MN 所成的角为60°或30°. 答案：60°或30°
10．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ＝BC ＝3，CD ＝1，AD ＝5，∠ADC ＝90°.沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD ′，直线AC 与BD ′所成角的余弦的最大值是__________．
解析：作BE ∥AC ，BE ＝AC ，连接D ′E ，则∠D ′BE 为所求的角或其补角，作D ′N ⊥AC 于点N ，设M 为AC 的中点，连接BM ，则BM ⊥AC ，作NF ∥BM 交BE 于F ，连接D ′F ，设∠D ′NF ＝θ，因为
D ′N ＝56＝306，BM ＝FN ＝152＝302，所以D ′F 2＝25
3
－5cos θ，因为AC ⊥D ′N ，AC ⊥FN ，所以
D ′F ⊥AC ，所以D ′F ⊥B
E ，又B
F ＝MN ＝6
3
，所以在Rt △D ′FB 中，D ′B 2＝9－5cos θ，所以cos ∠D ′BE
＝BF D ′B ＝639－5cos θ≤6
6
，当且仅当θ＝0°时取“＝”． 答案：6
6
11. 如图，已知不共面的三条直线a 、b 、c 相交于点P ，A ∈a ，B ∈a ，C ∈b ，D ∈c ，求证：AD 与BC 是异面直线．
证明：假设AD 与BC 共面，所确定的平面为α，那么点P 、A 、B 、C 、D 都在平面α内， 所以直线a 、b 、c 都在平面α内，与已知条件a 、b 、c 不共面矛盾，假设不成立， 所以AD 与BC 是异面直线． 12．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，
(1)求AC 与A 1D 所成角的大小；
(2)若E ，F 分别为AB ，AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小．
解：(1)如图，连接B 1C ，AB 1，由ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，易知A 1D ∥B 1C ，从而B 1C 与AC
所成的角就是AC 与A 1D 所成的角．
因为AB 1＝AC ＝B 1C ， 所以∠B 1CA ＝60°.
即A 1D 与AC 所成的角为60°. (2)连接BD ，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1.
因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点，
所以EF ∥BD ，所以EF ⊥AC .所以EF ⊥A 1C 1. 即A 1C 1与EF 所成的角为90°.
[能力提升]
1．设A ，B ，C ，D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( ) A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面
B ．若A
C 与B
D 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BC D ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ⊥BC
解析：选C.A 中，若AC 与BD 共面，则A ，B ，C ，D 四点共面，则AD 与BC 共面；B 中，若AC 与BD 是异面直线，则A ，B ，C ，D 四点不共面，则AD 与BC 是异面直线；C 中，若AB ＝AC ，DB ＝DC ，AD 不一定等于BC ；D 中，若AB ＝AC ，DB ＝DC ，可以证明AD ⊥BC .
2．(2019·温州市高考数学模拟)棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，点P ，Q 分别为平面A 1B 1C 1D 1和线段B 1C 上的动点，则△PEQ 周长的最小值为( )
A ．2 2
B ．10
C ．11
D ．2 3
解析：选B.由题意，△PEQ 周长取得最小值时，P 在B 1C 1上，在平面B 1C 1CB 上，设E 关于B 1C 的对称点为M ，关于B 1C 1的对称点为N ，则EM ＝2，EN ＝2，∠MEN ＝135°，
所以MN ＝
4＋2－2×2×2×⎝⎛⎭
⎫
－
22＝10.
3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1、CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，
EF ，CD 都相交的直线有________条．
解析：法一：如图，在EF 上任意取一点M ，直线A 1D 1与M 确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有一个交点N ，当M 取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD 有不同的交点N ，而直线
MN 与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条．
法二：在A 1D 1上任取一点P ，过点P 与直线EF 作一个平面α，因为CD 与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q ，连接PQ (图略)，则PQ 与EF 必然相交，即PQ 为所求直线．由点P 的任意性，知有无数条直线与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交．
答案：无数
4．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是________．
解析：构造四面体ABCD ，使AB ＝a ，CD ＝2，AD ＝AC ＝BC ＝BD ＝1，取CD 的中点E ，则
AE ＝BE ＝2
2，
所以22＋2
2>a ，所以0<a < 2.
答案：0<a < 2
5. 如图所示，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，P A ＝AB ＝AC ＝2，E 是PC
的中点．
(1)求证：AE 与PB 是异面直线；
(2)求异面直线AE 和PB 所成角的余弦值．
解：(1)证明：假设AE 与PB 共面，设平面为α. 因为A ∈α，B ∈α，E ∈α， 所以平面α即为平面ABE ， 所以P ∈平面ABE ， 这与P ∉平面ABE 矛盾， 所以AE 与PB 是异面直线． (2) 取BC 的中点F ，
连接EF 、AF ，则EF ∥PB ，
所以∠AEF (或其补角)就是异面直线AE 和PB 所成的角． 因为∠BAC ＝60°，
P A ＝AB ＝AC ＝2，P A ⊥平面ABC ， 所以AF ＝3，AE ＝2，EF ＝2，
cos ∠AEF ＝AE 2＋EF 2－AF
2
2·AE ·EF
＝2＋2－32×2×2＝14
， 所以异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为1
4
.
6. 如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB
＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊1
2
F A ，
G ，
H 分别为F A ，FD 的中点．
(1)求证：四边形BCHG 是平行四边形；
(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？
解：(1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ，
所以GH 綊12AD .又BC 綊1
2
AD ，故GH 綊BC .
所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)C ，D ，F ，E 四点共面． 理由如下：
由BE 綊1
2F A ，G 是F A 的中点知，BE 綊GF ，
所以EF 綊BG .
由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面． 又点D 在直线FH 上，
所以C ，D ，F ，E 四点共面．。