南通市名校2019-2020学年数学高二下期末质量检测试题含解析

南通市名校2019-2020学年数学高二下期末质量检测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()ln 41f x x x =-+的递增区间为（ ）
A ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．()0,4
C ．1,4⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．10,4⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】
∵f(x)=lnx−4x+1定义域是{x|x>0}
∵()1144x f x x x
-'=-= 当f′(x)>0时,1
04
x <<.
本题选择D 选项.
点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
(2)若可导函数f(x)在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
2．已知函数()y f x =的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是1
2
y x =+2,则()()11f f +'的值等于( ) A ．0 B ．1
C ．
52
D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】
根据导数定义，求得()1f '的值；根据点在切线方程上，求得()1f 的值，进而求得()()11f f +'的值。

【详解】
点M(1,f(1))在切线上，所以15(1)1222
f =⨯+= 根据导数几何意义，所以1'(1)2
f = 所以51
(1)'(1)322
f f +=+= 所以选D 【点睛】
本题考查了导数的几何意义及点在曲线上的意义，属于基础题。

3．设抛物线
的焦点为，过点
的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于
，，则与的面积之比（）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
∵抛物线方程为，
∴抛物线的焦点坐标为，准线方程为．
如图，设，，过A,B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，
由抛物线的定义可得，∴．
将代入得，
∴点的坐标为．
∴直线AB的方程为，即，
将代入直线AB的方程整理得，解得或（舍去），∴，∴．
在中，，
∴,
∴．选C．
点睛：与抛物线有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，特别是与焦点弦有关的问题更是这样，“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．
4．某校1000名学生中, O 型血有400人, A 型血有250人, B 型血有250人, AB 型血有100人,为了研究血型与色弱的关系,要从中抽取一个容量为60人的样本,按照分层抽样的方法抽取样本,则O 型血、A 型血、B 型血、AB 型血的人要分别抽的人数为（ ） A ．24,15,15,6 B ．21,15,15,9
C ．20,18,18,4
D ．20,12,12,6
【答案】A 【解析】 【分析】
根据分层抽样中各层抽样比与总体抽样比相等可得出每种血型的人所抽的人数. 【详解】
根据分层抽样的特点可知，O 型血的人要抽取的人数为400
60241000
⨯
=， A 型血的人要抽取的人数为25060151000⨯
=，B 型血的人要抽取的人数为250
60151000⨯=， AB 型血的人要抽取的人数为100
6061000
⨯
=，故答案为A. 【点睛】
本题考查分层抽样，考查分层抽样中每层样本容量，解题时要充分利用分层抽样中各层抽样比与总体抽样比相等来计算，考查计算能力，属于基础题．
5．过双曲线22
221(>0:0,>)x y a a C b b
-=的一个焦点F 向其一条渐近线1:2l y x =作垂线，垂足为E ，O 为
坐标原点，若OEF 的面积为1，则C 的焦距为（ ）
A ．
B ．3
C ．
D ．5
【答案】C 【解析】 【分析】
利用点到直线的距离可求得||EF ，进而可由勾股定理求出||OE ，再由1OEF S =△解方程即可求出结果． 【详解】
不妨设(c,0)F ，则其到渐近线:20l x y -=的距离
||EF =
=
在直角OEF 中，||5
OE c ===，
所以2111||||122555
OEF S EF OE c =
⋅⋅=⨯⨯==△，所以c =
所以椭圆C 的焦距为 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质，点到直线的距离公式，同时考查方程的思想，属于基础题．
6．在二项式3n
x ⎫⎪⎭的展开式中，各项系数之和为A ，二项式系数之和为B ，若72A B +=，则n =
（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
【答案】A 【解析】
分析：先根据赋值法得各项系数之和，再根据二项式系数性质得B ，最后根据72B +=解出.n 详解：因为各项系数之和为(13)4n
n
+=，二项式系数之和为2n , 因为72A B +=，所以4272283n n n n +=∴=∴=, 选A.
点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如2
(),()(,)n
n
ax b ax bx c a b R +++∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令1x =即可；对形如()(,)n
ax by a b +∈R 的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可.
7．函数()3
2
24f x x x x =--+,当[]3,3x ∈-时,有()2
14f x m m ≥-恒成立,则实数m 的取值范围是
（ ）
A ．()311
-， B ．()311
， C ．[]
2，7
D ．[]
311
， 【答案】D 【解析】 【分析】
要使原式恒成立，只需 m 2﹣14m≤f（x ）min ，然后再利用导数求函数f （x ）＝﹣x 3﹣2x 2+4x 的最小值即可． 【详解】
因为f （x ）＝﹣x 3﹣2x 2+4x ，x∈[﹣3，3]
所以f′（x ）＝﹣3x 2﹣4x+4，令f′（x ）＝0得2
x x 23
=
=-或， 因为该函数在闭区间[﹣3，3]上连续可导，且极值点处的导数为零，
所以最小值一定在端点处或极值点处取得， 而f （﹣3）＝﹣3，f （﹣2）＝﹣8，f （23）40
27
=，f （3）＝﹣33， 所以该函数的最小值为﹣33， 因为f （x ）≥m 2﹣14m 恒成立， 只需m 2﹣14m≤f（x ）min ，
即m 2﹣14m≤﹣33，即m 2﹣14m+33≤0 解得3≤m≤1． 故选C ． 【点睛】
本题考查了函数最值，不等式恒成立问题，一般是转化为函数的最值问题来解决，而本题涉及到了可导函数在闭区间上的最值问题，因此我们只要从端点值和极值中找最值，注意计算的准确，是基础题 8．已知函数 ()(1)e ln x f x x a x =--在1[,3]2
上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．)
3
9,e ⎡+∞⎣ B ．(
3
,9e ⎤-∞⎦
C ．)
2
4,e ⎡+∞⎣
D ．(
2
,4e ⎤-∞⎦
【答案】A 【解析】 【分析】
等价于'()e 0x
a f x x x
=-
在1[,3]2上恒成立，即2e x a x 在1
[,3]2上恒成立，再构造函数
2()e x g x x =并求g(x)的最大值得解.
【详解】
'()e 0x a f x x x
=-
在1
[,3]2上恒成立，
则2e x a x 在1
[,3]2上恒成立，
令2()e x
g x x =，(
)
2
'()2e 0x
g x x x =+>，
所以()g x 在1[,3]2
单调递增， 故g(x)的最大值为g(3)=39e . 故39a e ≥. 故选A 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，属于基础题. 9．已知集合
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
先化简求出集合A ，B ，进而求出A ∩B ． 【详解】 ∵集合A={x|
≤0}={x|0＜x≤3}，
B={x|x≥0}， ∴A∩B={x|0＜x≤3}． 故选：A ． 【点睛】
本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 10．⎰
-10
21dx x 的值是（）
A ．
8πB ．4πC ．2
π
D ．π 【答案】B 【解析】
试题分析：设()2
2
2
110y x x y y =-∴+=≥，结合定积分的几何意义可知定积分值为圆2
2
1x y +=在
第一象限的面积
⎰
-10
21dx x 的值是
4
π
考点：定积分的几何意义
11．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ） A ．82n - B ．62n - C ．82n + D ．62n +
【答案】D 【解析】 【分析】
由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出6根火柴棒，则火柴棒的个数组成了一个首项是8，公差是6的等差数列，写出通项，求出第n 项的火柴根数即可．
【详解】
由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出6根火柴棒，第一个图中有8根火柴棒组成，第二个图中有8+6个火柴棒组成，第三个图中有8+1×6个火柴组成，以此类推：组成n 个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n ﹣1）∴第n 个图中的火柴棒有6n+1． 故选：D ． 【点睛】
本题考查归纳推理，考查等差数列的通项，解题的关键是看清随着小金鱼的增加，火柴的根数的变化趋势，属于基础题． 12．设，
，则“
”是“
”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】D 【解析】 【分析】
利用特殊值来得出“”与“
”的充分必要性关系。

【详解】 若，则
，但
不成立； 若
，
，成立，但不成立。

因此，“”是“
”的既不充分也不必要条件，故选：D 。

【点睛】
本题考查充分必要条件的判断，常用集合的包含关系来进行判断，也可以利用特殊值以及逻辑推证法来进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题。

二、填空题：本题共4小题
13．期末考试结束后，某老师随机抽取了本班五位同学的数学成绩进行统计，五位同学平均每天学习数学的时间t （分钟）与数学成绩y 之间的一组数据如下表所示： 时间t （分钟） 30 40 70
90 120 数学成绩y
35
48
m
82
92
通过分析，发现数学成绩y 与学习数学的时间t 具有线性相关关系，其回归方程为0.715ˆy
t =+，则表格中的m 的值是___． 【答案】63 【解析】
30407090120
705
x ++++=
=
回归方程过样本中心点，则：0.7701564y =⨯+=， 即：
35488292
645
m ++++=，
解得：63m =.
点睛：(1)正确理解计算,b a 的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y bx a =+必过样本点中心(),x y ．
14．在平面直角坐标系xOy 中,已知()cos f x x =,()g x x =
,两曲线()y f x =与()y g x =在区间
(0,)2
π
上交点为A .若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于,B C 两点,则线段BC 的为____________.
【解析】
分析：求出A 点坐标，然后分别求出()cos f x x =和()g x x =在A 处切线方程，即可求出,B C 两点坐标
详解：由cos x x =可得6
x π
=
，
所以,62A π⎛ ⎝⎭
又因为()cos f x x =所以()‘sin f x x =-
所以()f x 在A 点处切线方程为：1y 262
x π⎛⎫=--+ ⎪
⎝⎭
令y 0=解得6
x π
=，
所以B ,06π
⎫⎪⎭
又因为()g x x =所以()’g x =
所以()g x 在A 点处切线方程为：3y 262
x π⎛⎫=
-+ ⎪
⎝⎭ 令y 0=解得336
x π
√=-
+， 所以3B ,036π⎛⎫
√-
+ ⎪⎝⎭
所以线段BC 的长度为
43
3
√ 点睛：熟练记忆导函数公式是解导数题的前提条件，导数的几何意义是在曲线上某一点处的导数就等于该点处切线斜率，是解决曲线切线的关键，要灵活掌握. 15．正项等比数列{a n }中，，则
的前9项和
_____．
【答案】
【解析】 由题意得
,当
时, 当
时,
所以
或
点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
16．若函数2243,0(),0
x x x f x ax bx c x ⎧-+≥=⎨++<⎩为偶函数，则(1)'(1)f f -+-的值为______．
【答案】2. 【解析】
分析：因为函数是偶函数，先根据()()f x f x -=得出第二段函数表达式，然后再计算即可. 详解：由题可得：当0x <时，-x>0，故
2()43()
1,4,3f x x x f x a b c -=++=⇒===
2()43()1,4,3(1)1430'()24,0'()2,
f x x x f x a b c f f x x x f x -=++=⇒===-=-+==+<-=
所以()()1'1f f -+-=0+2=2， 故答案为2.
点睛：考查偶函数的基本性质，根据偶函数定义求出第二段表达式是解题关键，属于中档题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数(1)()(2)a x f x x e -=-（a R ∈，e 为自然对数的底数）. （1）若1a =，求()f x 的最大值； （2）若()()g x f x x =-在R 上单调递减， ①求a 的取值范围；
②当(1,2)x ∈时，证明：1
ln
x x
>-.
【答案】（1）1；（2）①2a ≤，②证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）求出函数的导函数，利用导函数与函数单调性的关系当()0f x '>，求出单调递增区间，当()0f x '<，求出函数的单调递减区间，进而可求出最大值.
（2）①求出()0g x '≤对x R ∀∈恒成立，化为(1)(1)
121a x a x ax a e e
---+-≤
=对x R ∀∈恒成立，记
(1)()21a x h x e ax a -=+-+，讨论a 值，求出()h x 的最小值即可证出；②由题意可得()(1)0g x g <=，
即2(1)
2x x e
x -<
-，两边取对数可得ln
222x
x x
>--，下面采用分析法即可证出. 【详解】
（1）1a =时，1
1()(2)()(1)01,x x f x x e
f x x e x -'-=-∴=-=∴=
1x <时，()0f x '>，()f x ∴在(,1]-∞上单调递增
1x >时，()0f x '<，()f x ∴在[100+，）上单调递减 max ()(1)1f x f ∴==
（2）由(1)
(1)()(2)()(21)1a x a x g x x e x g x e ax a -'-=--∴=-+--
①
()g x 在R 上单调递减，(1)()(21)10a x g x e ax a '-∴=-+--≤对x R ∀∈恒成立，
即(1)(1)
121a x a x ax a e e
---+-≤
=对x R ∀∈恒成立，记(1)()21a x h x e ax a -=+-+，
则()0h x ≥对x R ∀∈恒成立，(1)
(1)()[1]0,1a x a x h x ae a a e x '
--=-+=-=∴=
当0a =时，()2h x =，符题
当0a >时，1x <时，()0h x '<，()h x ∴在(,1]-∞上单调递减
1x >时，()0h x '>，()h x ∴在[1,)+∞上单调递增；min ()(1)2002h x h a a ∴==-≥∴<≤
当0a <时，1x <时，()0h x '<，()h x ∴在(,1]-∞上单调递减
1x >时，()0h x '>，()h x ∴在[1,)+∞上单调递增；
min ()(1)200h x h a a ∴==-≥∴<
综上：2a ≤
②当2a =时，()g x 在(1,2)上单调递减，()(1)0g x g ∴<=，2(1)
(2)x x e
x -∴-<
(1,2)x ∴∈，2(1)2x x e x -<
-，ln
222x
x x
∴>--. 要证(21)1
ln
2x x x x x
->--，即证2ln
2ln(21)2x x x x x >---- 下面证明2
222ln(21)x x x x
->-
-- 令2()2ln(21)H x x x
=-+-，12x <<，则22
2(1)()0(21)x H x x x '
-=>-， ()H x ∴在区间(1,2)上单调递增，()(1)0H x H ∴>=，得证(21)1
ln
2x x x x x
->--
【点睛】
本题考查了导函数在研究函数单调性的应用，分析法证明不等式，考查了分类讨论的思想，综合性比较强，属于难题.
18．某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米。

要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个桶圆形状（如图）。

（1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少米？
（2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小，
并求出最小土方量？（已知：椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的面积公式为S ab π=，本题结果拱高h 和拱
宽l 精确到0.01米，土方量精确到1米3）
【答案】 (1)33.26；(2) 拱高约为6.36米、拱宽约为31.11米时，土方工程量最小．最小土方量为389立方米. 【解析】 【分析】
（1）根据题意，建立坐标系，可得P 的坐标并设出椭圆的方程，将6b h ==与点P 坐标代入椭圆方程，
得447
a =，依题意，可得2l a =，计算可得答案；（2）根据题意，设椭圆方程为22
221x y a b
+=，将(11,4.5)
代入方程可得222211 4.51a b +=，结合基本不等式可得22
22
11 4.5211 4.5
a b ab
⨯⨯+，分析可得当99ab 且2l a =，h b =时，9922
ab S ππ
=，进而分析可得答案．
【详解】
（1）如图建立直角坐标系，则点(11,4.5)P ，
椭圆方程为22
221x y a b
+=．
将6b h ==与点P 坐标代入椭圆方程， 得447a =
， 此时此时887
233.26l a ==
≈ 因此隧道的拱宽约为33.26米；
（2）由椭圆方程22
221x y a b
+=，
根据题意，将(11,4.5)代入方程可得
22
2211 4.51a b
+=． 因为22
22
11 4.5211 4.5
a b ab
⨯⨯+ 即99ab 且2l a =，h b =， 所以992
2
ab S ππ
=
当S 取最小值时，
有222211 4.512
a b ==， 得112a =，92
b =
此时222231.11l a ==≈， 6.36h b =≈
故当拱高约为6.36米、拱宽约为31.11米时，土方工程量最小． 最小土方量为
99
25003892
π⨯≈立方米.
【点睛】
本题考查椭圆的实际运用，注意与实际问题相结合，建立合适的坐标系，设出点的坐标，结合椭圆的
有关性质进行分析、计算、解题．
19．为了研究广大市民对共享单车的使用情况,某公司在我市随机抽取了111名用户进行调查，得到如下数据：
每周使用次
1次2次3次4次5次6次及以上数
男 4 3 3 7 8 31
女 6 5 4 4 6 21
合计11 8 7 11 14 51
认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑共享单车”.
(1)分别估算男、女“喜欢骑共享单车”的概率；
(2)请完成下面的2×2列联表,并判断能否有95%把握,认为是否“喜欢骑共享单车”与性别有关.
不喜欢骑共享单车喜欢骑共享单车合计
男
女
合计
附表及公式：，其中.
1.15 1．11 1.15 1.125 1.111 1.115 1.111
2.172 2.716
3.841 5.124 6.635 7.879 11.828 【答案】（1）男用户中“喜欢骑共享单车”的概率的估计值为，女用户中“喜欢骑共享单车”的概率的估计值为（2）填表见解析，没有95%的把握认为是否“喜欢骑共享单车”与性别有关
【解析】
【分析】
(1)利用古典概型的概率估算男、女“喜欢骑共享单车”的概率；（2）先完成列联表，再利用独立性检验判断能否有95%把握,认为是否“喜欢骑共享单车”与性别有关.
【详解】
解:(1)由调查数据可知,男用户中“喜欢骑共享单车”的比率为，
因此男用户中“喜欢骑共享单车”的概率的估计值为.
女用户中“喜欢骑共享单车”的比率为，
因此女用户中“喜欢骑共享单车”的概率的估计值为.
（2）由图中表格可得列联表如下： 不喜欢骑共享单车 喜欢骑共享单车 合计 男 11 45 55 女 15 31 45 合计 25
75
111
将
列联表代入公式计算得：
所以没有95%的把握认为是否“喜欢骑共享单车”与性别有关. 【点睛】
本题主要考查古典概型的概率的计算，考查独立性检验，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
20．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知
cos 2cos 2cos A C c a
B b
--=
（1） 求
sin sin C
A
的值 （2） 若1
cos ,24
B b == ，求AB
C ∆的面积.
【答案】（1）sin 2sin C A = （215
【解析】 【分析】
（1）正弦定理得边化角整理可得()()sin 2sin A B B C +=+，化简即得答案．
（2）由（1）知
sin 2sin c C a A ==，结合题意由余弦定理可解得1a = ，15
sin B =
【详解】
（1）由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin a R A b R b c R C ===， 所以
cos cos 22sin sin cos sin A C c a C A
B b B
---==
即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=- 即有()()sin 2sin A B B C +=+，即sin 2sin C A = 所以
sin 2sin C
A
= （2）由（1）知
sin 2sin c C a A
==，即2c a =， 又因为2b = ，所以由余弦定理得：
2
2
2
2cos b c a ac B =+-，即222
1
24224
a a a a =+-⨯⨯
，解得1a =, 所以2c =，又因为1cos 4B =
，所以sin 4
B =
， 故ABC ∆的面积为11sin 1222ac B =⨯⨯
⨯
. 【点睛】
正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，本题主要考查由正余弦定理解三角形，属于一般题．
21．已知直线l
：12,212x t y ⎧=-⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：4cos ρθ=．
（1）分别求直线l 和圆C 的普通方程并判断直线l 与圆C 的位置关系； （2）已知点(2,1)P ，若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值．
【答案】（1
(10y +-+=，圆2
2
(2)4x y -+=，直线l 和圆C 相交（2）3 【解析】 【分析】
（1）消去直线参数方程中参数t ，可得直线的普通方程，把4cos ρθ=两边同时乘以ρ，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断直线l 和圆C 的位置关系；
（2）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化为关于t 的一元二次方程，利用参数t 的几何意义及根与系数的关系，求PA PB ⋅的值. 【详解】
解：（1）由l
：12,212x t y t ⎧=-⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），消去参数t
(10y +-+=．
由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，因222
x y ρ=+，cos x ρθ=，
则圆C 的普通方程为22
(2)4x y -+=． 则圆心(2,0)到直线l 的距离1
2
d =
2<，故直线l 和圆C 相交． （2
）设111(2,1)2A t -
，221(2,1)2B t -，
将直线l 的参数方程代入2
2
(2)4x y -+=
得230t +-=， 因直线l 过P 点，且P 点在圆C 内， 则由t 的几何意义知PA PB ⋅=123t t -⋅=． 【点睛】
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程和普通方程的互化，关键是直线参数方程中参数的几何意义的应用，属于中档题.
22．已知F 是抛物线:C 22(0)y px p =>的焦点，(1,)P t 是抛物线上一点，且||2PF =. （1）求抛物线C 的方程;
（2）直线l 与抛物线C 交于A B 、两点，若4OA OB ⋅=-（O 为坐标原点），则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由. 【答案】（1） 2
4y x = （2）见解析 【解析】 【分析】
（1）由抛物线的定义知12,2
p PF =+
=得p 值即可求解（2）设AB 的方程为：x my n =+，代入2
4y x =，
消去x 得y 的二次方程，向量坐标化4OA OB ⋅=-结合韦达定理得2n =，则定点可求 【详解】
（1）由抛物线的定义知12,22
p
PF p =+
=∴=， ∴抛物线C 的方程为：24y x =
（2）设AB 的方程为：x my n =+，代入2
4y x =有2
440y my n --=，
设1122(,),(,)A x y B x y ，则124y y n ⋅=-，
2
21212()16
y y x x n ⋅∴⋅==,
21212442
OA OB x x y y n n n ∴⋅=⋅+⋅=-=-∴=
AB ∴的方程为：2x my =+，恒过点(2,0)N ，
【点睛】
本题考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，韦达定理的应用，向量运算，准确计算是关键，是中档题。