函数的奇偶性 - 拔高难度 -习题

函数的奇偶性
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 已知函数f(x)是定义在(−∞,+∞)上的偶函数，当x∈(−∞,0)时，f(x)=x−x4，则当x∈
(0,+∞)时，f(x)等于( )
A. x+x4
B. −x−x4
C. −x+x4
D. x−x4
2. 若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数，则g(x)=a3+bx2+cx是( )
A. 奇函数不是偶函数
B. 偶函数不是奇函数
C. 既是奇函数又是偶函数
D. 既不是奇函数也不是偶函数
3. 已知f(x)=ax2+(b−3)x+3，x∈[a2−2,a]是偶函数，则a+b=( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是
( )
A. f(x)g(x)是偶函数
B. ∣f(x)∣g(x)是奇函数
C. f(x)∣g(x)∣是奇函数
D. ∣f(x)g(x)∣是奇函数
5. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1+x2>0，则f(x1)+
f(x2)的值( )
A. 恒为负值
B. 恒等于零
C. 恒为正值
D. 无法确定正负
6. 若函数f(x)=x
(2x+1)(x−a)
为奇函数，则a等于( )
A. 1
2B. 2
3
C. 3
4
D. 1
7. 已知f(x)是偶函数，且其图象与x轴有4个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和为( )
A. 4
B. 2
C. 1
D. 0
8. 若函数y=f(x)=2x+1
2x−a
是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )
A. (−∞,−1)
B. (−1,0)
C. (0,1)
D. (1,+∞)
9. 已知f(x)=ax7−bx5+cx3+2，且f(−5)=m，则f(5)+f(−5)的值为( )
A. 4
B. 0
C. 2m
D. −m+4
10. 函数f(x)=x
1−2x −x
2
( )
A. 是偶函数但不是奇函数
B. 是奇函数但不是偶函数
C. 既是偶函数又是奇函数
D. 既不是偶函数也不是奇函数
11. 设偶函数f(x)的定义域为R，函数g(x)=x
x2+1
，则下列结论中正确的是( )
A. ∣f(x)∣g(x)是奇函数
B. f(x)g(x)是偶函数
C. f(x)∣g(x)∣是奇函数
D. ∣f(x)g(x)∣是奇函数
12. 若f(x)=ax2+(b+1)x+1(a≠0)是偶函数，g(x)=x3+(a−1)x2−2x是奇函数，则a+
b=( )
A. 0
B. 1
C. −1
D. 2
13. 若函数 f (x )=2x+1+m 2x −1
是奇函数，则 m = ( )
A. 2
B. −2
C. 0
D. −1 14. 已知 f (x )=ax 2+bx +1 是定义在 [−2a,a 2−3] 上的偶函数，那么 a +b 的值是 ( )
A. 3
B. −1
C. −1 或 3
D. 1
15. 设 f (x ) 是定义在 R 上的一个函数，则函数 F (x )=f (x )−f (−x ) 在 R 上一定是 ( )
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数
D. 非奇非偶函数
16. 已知函数 f (x )=
x 2+x+1x 2+1
，若 f (a )=2
3，则 f (−a )= ( ) A. 2
3 B. −2
3 C. 4
3 D. −4
3 17. 已知函数 f (x ) 为偶函数，当 x ∈[0,+∞) 时，f (x )=x −1，则 f (x −1)<0 的解集是 ( ) A. (0,2) B. (−2,0) C. (−1,0) D. (1,2) 18. 已知 R 上的奇函数 f (x ) 满足：当 x >0 时，f (x )=x 2+x −1，则 f [f (−1)]= ( ) A. −1
B. 1
C. 2
D. −2
19. 已知 f (x ) 是定义在 R 上的且以 2 为周期的偶函数，当 0≤x ≤1 时，f (x )=x 2，如果直线 y =
x +a 与曲线 y =f (x ) 恰有两个交点，则实数 a 的值为 ( ) A. 0
B. 2k (k ∈Z )
C. 2k 或 2k −1
4(k ∈Z )
D. 2k 或 2k +1
4
(k ∈Z )
20. 定义在 R 上的奇函数 f (x ) 满足 f (x +2)=−
1
f (x )
．且在 (0,1) 上，f (x )=3x ．则 f (log 354)= ( )
A. 3
2
B. 2
3 C. −3
2
D. −2
3
二、填空题（共6小题；共30分） 21. 已知函数 y =x 2−bx +3 是偶函数，则实数 b 的值为 ．
22. 已知函数 f (x )=−ax 3−bx +3a +b 的图象关于原点对称，它的定义域为 [a −1,2a ]，则
f (x )= ．
23. 已知 f (x ) 是偶函数，g (x ) 是奇函数，若 f (x )+g (x )=1
x−1，则 f (x )= ．
24. 已知定义在 R 上的奇函数 f (x ) 和偶函数 g (x ) 满足 f (x )+g (x )=a x −a −x +2 （ a >0，且
a ≠1 ），若 g (2)=a ，则 f (2)= ．
25. 已知定义在 R 上的奇函数 f (x )，当 x >0 时，f (x )=x 2+∣x ∣−1，那么 x <0 时，
f (x )= ．
26. 已知函数 f (x )={2x +1,x >0
0,
x =02x −1,x <0
，则不等式 f (x 2−2)+f (x )<0 的解集为 ．
三、解答题（共8小题；共104分）
27. 判断函数f(x)=√1+x2+x−1
√1+x2+x+1
的奇偶性．
28. 若奇函数f(x)(x≠0)在(0,+∞)上的解析式为f(x)=x−1，求满足不等式f(x−1)<0的x
取值范围．
29. 已知函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，它们的定义域均为{x∣x∈R且x≠±2}，且f(x)+
g(x)=x
x−2
，求f(x)，g(x)的解析式．
30. 判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)=√x−2+√2−x；
（2）f(x)=x4+2x2；
（3）f(x)=x−1
x3
；
（4）f(x)=√1−x2
∣x+2∣−2
；
（5）f(x)=√x2−1+√1−x2；
（6）f(x)=∣x+a∣−∣x−a∣(a∈R)．
31. 判断下列函数的奇偶性并说明理由：
（1）f(x)=1+a 2x
1−a2x
(a>0且a≠1)；
（2）f(x)=√x−1+√1−x；
（3）f(x)=x2+5∣x∣．
32. 已知y=f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2−2x．
（1）求f(1)，f(−2)的值；
（2）求f(x)的解析式；
（3）画出y=f(x)的简图；写出y=f(x)的单调递增区间（只需写出结果，不要解答过程）．
33. 已知定义在R上的偶函数f(x)，当x∈(−∞,0]时的解析式为f(x)=x2+2x．
（1）求函数f(x)在R上的解析式；
（2）画出函数f(x)的图象并直接写出它的单调区间．
34. f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)=2x
4x+1（1）求f(x)在(−1,0)上的解析式；
（2）证明f(x)在(0,1)上是减函数．。