数学分析期末试卷A答案

通化师范学院考试试题参考答案及评分标准
试卷代号（数学—001—A ） 考试科目：数学分析I
考试专业：数学与应用数学、信息与计算科学 考试年级：大一 考试学期：秋季学期
本参考答案共（3）页
………………………………………………………………………………………………………
一、填空题（每小题2分，共10分）
1.0,1； 2．1； 3．dx x x x x )2cos 22sin 2(2+； 4．t a b cot -； 5．]23,(-∞或)2
3,(-∞. 二、单项选择题（每小题2分，共10分）
1.C;
2.A;
3.D;
4.B;
5.D
三、判断题 （每小题2分，共10分，在对的后面划∨，在错的后面划×）
1. ∨；
2. ∨；
3. ×；
4. ×；
5. ∨
四、计算题（每小题5分，共20分）
1.求极限)122(lim n n n n ++-+∞→.
解:)112(lim )122(lim n n n n n n n n n ++-+-+=++-+∞→∞
→ .011lim 121lim =++-+++=∞→∞→n n n n n n （5分）
2.求极限2132lim 31x x x x -→+∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭
. 解:2132lim 31x x x x -→+∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭2311332332lim 13131x x x e x x --→+∞⎧⎫+⎪⎪⎡⎤⎛⎫=+⋅=⎨⎬ ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭⎪⎪⎩⎭. （5分）
3.设,)2(sin x x y =其中0>x ,求y '.
解:()())sin 2ln (cos )2(2ln sin sin 2ln sin 2ln sin x
x x x x x x e e y x x x x x +⋅='⋅='='. （5分） 4.设x x x f sin )(3=,求)()2009(x f .
解:令3)(,sin )(x x v x x u ==.由于
)2
sin()()(π
n x x u n +=,)4(0)(,6)(,6)(,3)()('''''2'≥====n x v x v x x v x x v n . （1分） 应用莱布尼茨公式)2009(=n 得
++++=)2
2008sin(3)22009sin()(1200923)2009(ππx C x x x x f )2
2006sin(6)22007sin(63200922009ππ+++x C x xC x x x x x x x sin 200720082009cos 200820093sin 20093cos 23⨯⨯-⨯⨯-⨯+=（4分）
五、证明题（每小题10分,共50分）
1.用“N -ε”定义证明11
lim =+∞→n n n . 证明:对任给0>ε,要使 ε<+=-+1
111n n n ， 只须11
->εn .令11+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN ,（5分）则当N n >时有ε<-+11n n .因此11lim =+∞→n n n .（5分） 2.用“δε-”定义证明42
4lim 22=--→x x x . 证明:由于当2≠x 时,
24242
42-=-+=---x x x x ,（2分） 故对任意给定的0>ε,只要取εδ=,（4分）则当δ<-<20x 时有ε<---42
42x x .这就证明了.42
4lim 22=--→x x x (4分) 3.根据柯西准则叙述lim ()x f x →+∞不存在的充要条件,并应用它证明lim cos x x →+∞
不存在.
证明:(1)设函数()f x 在()U +∞内有定义,则lim ()x f x →+∞
不存在的充要条件是:存在某个 00ε>,对于任何正数0M >,总存在,()x x U '''∈+∞,有,x x M '''>,但是
0)()(ε≥''-'x f x f .（4分）
(2) 取012ε=,对任意正数0M >,取1][+=M n 及2x n π'=,22
x n ππ''=+ ,则 ,x x M '''>,但
0|()()||cos cos ||cos 2cos(2)|12
f x f x x x n n π
ππε''''''-=-=-+=>. 所以,lim cos x x →+∞不存在.（6分） 4.证明:)0()(≠+=a b ax x f 在),(+∞-∞上一致连续.
证明:任给0>ε,由于,)()(''''''x x a x f x f -=-故可选取a εδ=
,（5分）则对任 何),(,'''+∞-∞∈x x ,只要δ<-'''x x ,就有ε<-)()('''x f x f .这就证得b ax x f +=)(在),(+∞-∞上一
致连续.（5分）
5.设)(x f 为],[b a 上二阶可导函数,0)()(==b f a f ,并存在一点),(b a c ∈使得0)(>c f .证明至少存在一点),(b a ∈ξ,使得0)(<''ξf .
证明:因为)(x f 在],[b a 上二阶可导⇒)(x f 在],[],,[b c c a 上均二阶可导,由拉格朗日中值定理推得
存在,,11c a <<ξξ使,0)()()(1>--=
'a
c a f c f f ξ 存在,,22b c <<ξξ使.0)()()(2<--='c b c f b f f ξ（6分） 而)(x f '在),(],[21b a ⊂ξξ可导,同样推得
.0)()()(1212<-'-'=
''ξξξξξf f f （4分）。