惠州市高三4月模拟数学理试卷(含解析).docx

惠州市2015届高三模拟考试
数 学 试 题 （理科） 2015.04
本试卷共5页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回． 参考公式：锥柱体的体积公式：1
3
V Sh =
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 用最小二乘法求线性回归方程系数公式：12
2
1
n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx
==-⋅=
-∑∑，a y b x =-⋅．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求.
1．若集合{|01,}A x x x x R =<>∈或，{}
2,B x x x R =>∈，则 ( ) A ．A B ⊇ B ．A B = C ．A B ⊆ D ．A B φ=
2．已知b 为实数，i 为虚数单位，若
21b i
i
+⋅-为实数，则b = ( ) A ．1- B ．2- C ．1 D ．2
3．下列函数中，既是奇函数又存在极值的函数是 ( ) A ．3y x = B ．1
y x x
=+
C ．e x y x -=⋅
D ．ln()y x =- 4．若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩
，则目标函数2z x y =+的最大值等于 ( )
A ．7
B ．8
C ．10
D ．11 5．在ABC ∆中，2=AB ，3=AC ，3AB AC ⋅=，则=BC ( )
A ．3
B ．7
C ．19
D ．23 6．下列命题的说法 错误．．
的是 ( ) A ．若复合命题q p ∧为假命题，则,p q 都是假命题． B ．“1=x ”是“2320x x -+=”的充分不必要条件．
C ．对于命题2:,10,p x R x x ∀∈++> 则2:,10p x R x x ⌝∃∈++≤．
D ．命题“若2320x x -+=，则1=x ”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”． 7．多面体MN ABCD -的底面ABCD 矩形，其
正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多
面体的体积为 ( ) A ．
163 B ．6 C ．20
3
D ．6 8．对于三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，给出定义：设'()f x 是函数)(x f y =的导数，
''()f x 是'()f x 的导数，若方程''()0f x =有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数)(x f y =的
“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。

设函数12
5
32131)(23-+-=
x x x x g ，则122014201520152015
g g g ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
+++= ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ( )
A ．1
B ．2016
C ．2015
D ．2014
二、填空题（本大题共7小题，考生作答6题，每小题5分，满分30分，其中13题第一问2分，
第二问3分。

）
2
2
2
4
A
B
C
D
M
N
（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．设0,0a b >>，若1a b +=，则11
a b
+的最小值为__________． 10．计算积分
11
e
dx x =⎰ __________．
11．某单位为了了解用电量y （度）与当天平均气温x （°C ）之间的关系，随机统计了某4天的当
天平均气温与用电量（如右表）。

由数据运用最小二乘法得线性回归方程2y x a =-⋅+，则
a =__________．
12．如图所示的程序框图，若输入2015=n ，则输出的s 值为__________．
13．将自然数按如图排列，其中处于从左到右第m 列从下到上第n 行的数记为),(n m A ，
如4)1,3(=A ，12)2,4(=A ，则=),1(n A __________；=)10,10(A __________．
28212715202610141925691318243581217231
2
4
7
111622
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题． 14．（极坐标与参数方程选做题）若点(3,)P m 在以点F 为焦
点的抛物线2
44x t y t
⎧=⎨=⎩（t 为参数）上，则PF 等于______．
15．（几何证明选讲选做题）如图，PA 与圆O 相切于A ，PCB 为圆O 的割线，并且不过圆心O ，已知30BPA ∠=︒，
23PA =，1PC =，则圆O 的半径等于__________．
三、解答题。

本大题共6小题，满分80分。

解答需写出文字
平均气温x （°C ） 18 13 10 －1 用电量y （度）
25
35
37
63
是
否
开始
1n n =- 结束
3
sin
π
n s s += 1n ≤
输出s
输入n
0s = O
A
B
P
C
第15题图
说明、证明过程和演算步骤。

16．（本小题满分12分）
已知函数()sin()6
f x A x π
ω=+(0,0)A ω>>的最小正周期为6T π=，
且(2)2f π=．
（1）求()f x 的表达式； （2）设,[0,]2
π
αβ∈，16(3)5f απ+=
，520
(3)213
f πβ+
=-，求cos()αβ-的值．
17．（本小题满分12分）
一个盒子内装有8张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这8个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有5个．每张卡片被取出的概率相等．
（1）如果从盒子中一次随机取出2张卡片，并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数，
求所得新数是奇数的概率；
（2）现从盒子中一次随机取出1张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着
的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片．设取出了ξ次才停止取出卡片，求ξ的分布列和数学期望．
18．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD AD ===，1BC =，3CD =．
（1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；
（2）若二面角M BQ C --为 30，设PM t MC =⋅，
试确定 t 的值．
19．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2
2(1)n n S a n
=-+⋅，*n N ∈．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
M
P
C
A
B
D
Q
（2）设数列{}2n
n a ⋅的前n 项和为n T ，n A =
11T +21T +31T +……+n
T 1． 试比较n A 与
2
n
n a ⋅的大小．
20．（本小题满分14分）
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的点均在圆22
2:(5)9C x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，
M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值．
（1）求曲线1C 的方程；
（2）设000(,)(3)P x y y ≠±为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点
,A B 和,C D ．证明：当P 在直线4x =-上运动时，四点,A B ,,C D 的纵坐标之积为定值．
21．（本小题满分14分）
已知0a >，函数)(x f ＝
2x a
x a
-+．
（1）记)(x f 在区间[]40，
上的最大值为)(a g ，求)(a g 的表达式； （2）是否存在a ，使函数)(x f y =在区间()0,4内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂
直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
惠州市2015届高三模拟考试
数学（理科）参考答案与评分标准
一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
A
B
B
C
B
A
C
D
1．【解析】由集合的包含关系可知B A ⊆，故选A ．
2．【解析】
22(1)(2)(2)122
b i b i i b b i
i +⋅+⋅+-++==-（），所以2b =-，故选B ． 3．【解析】由选项可知，A 选项3y x =单调递增（无极值），C 、D 选
项不是奇函数，只有B 选项既为奇函数又存在极值．故选B ． 4．【解析】平面区域如图所示，所以24210z =⨯+=，故选C ．
5．【解析】1
3cos 2
AB AC A ⋅=⇒=，又由余弦定理知7=BC ．
6．【解析】若q p ∧为假命题，则,p q 至少有一个为假命题．故选A ．
7．【解析】用割补法可把几何体分割成三部分,可得2212021222233V ⨯⎛⎫
=
⨯+⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
，故选C ． 8．【解析】依题意得：2321g x x x g x x '=-+∴"=-（），（），由0210g x x "=-=（），即，可得1
2
x =
，而112g ⎛⎫=
⎪⎝⎭，即函数()g x 的拐点为1,12⎛⎫
⎪⎝⎭，即()()12g x g x -+=， 所以1201422013320122,201520152015201520152015g g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=+=+=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以所求为
2014
220142
⨯=，故选D ． 二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中13题第一问2分第二问3分． 9．4 10．1 11．60 12．
3
2
13．(1),1812n n + 14．4 15．7
9．【解析】
1111()()1b a b a b a b a +=++=+1224a b a
b a b
++≥+⋅=，当且仅当a b =时取等号，所以
11
a b
+的最小值为4． 10．【解析】111ln |ln ln11e e
dx x e x
==-=⎰．
11．【解析】1813101104x ++-=
=，25353763
404
y +++==，样本中心为(10,40)， 回归直线经过样本中心，所以4021060a a =-⋅+⇒=． 12．【解析】由程序框图知201420132sin sin sin sin 3333s ππππ
=++++， 又26sin
sin
sin 03
3
3
π
ππ+++=以及周期的性质，化简后得
y x
A
E
O
B
P
C
D
2343
sin
sin
sin sin 3
3332
s π
πππ=+++=
． 13．【解析】由题意，(1)
(1,)122
n n A n n +=+++=
， ∴(1,10)A =
1011
552
⨯=，∴(10,10)55101118181A =++++=．
14．【解析】抛物线为24y x =，PF 为(3,)P m 到准线1x =-的距离，即距离为4．
15．【解析】由圆的性质PA 2=PC ·PB ，得PB=12，连接OA 并反向延长
交圆于点E ，在直角三角形APD 中可以求得PD=4，DA=2，故CD=3， DB=8，记圆的半径为R ，由于ED ·DA=CD ·DB 因此8322R 2⨯=⨯-）（，解得R=7．
三、解答题。

本大题共6小题，满分80分。

解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16．（本小题满分12分）
解：(1)依题意得2π2π1==T 6π3ω=，∴x πf(x)=Asin(+)36
， ……2分 由f(2π)=2，得2ππAsin(+)=236，即5π
Asin =26，∴A=4， ……4分
∴x π
f(x)=4sin(+)36. ……5分
(2)由16f(3α+π)=5，得1π16
4sin[(3α+π)+)]=365，
即π164sin(α+)=25，∴4
cos 5α=， ……6分
又∵πα[0]2
∈，，∴3
sin 5α=， ……7分
由5π20f(3+)=213β-，得15ππ20
4sin[(3+)+)]=32613
β-，
即5sin(+π)=13β-，∴5
sin β13=， ……9分
又∵πβ[0]2∈，，∴12
cos β13
=， ……10分
cos(α－β)= cosαcosβ+ sinαsinβ4123563
51351365
=⨯+⨯=
. ……12分 17．（本小题满分12分）
(本题主要考查排列组合、古典概型、随机变量的分布列等基础知识，考查学生运用所学知识解决实际应用问题的能力) 解: (1)记事件A 为“任取2张卡片，将卡片上的数字相加得到的新数是奇数”, ……1分
因为奇数加偶数可得奇数，所以11352815
()28
C C P A C ⋅=
= 所以所得新数是奇数的概率等于
15
28
． ……………4分 (2)ξ所有可能的取值为1,2,3,4, ……………5分
根据题意得15185(1),8C P C ξ=== 1135118715
(2),56
C C P C C ξ==⋅=
1113521118765(3),56C C C P C C C ξ==⋅⋅= 1111
3521111187651
(4).56
C C C C P C C C C ξ==⋅⋅⋅= …………………9分
故ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
5
8 1556 556 156
……………10分
515513
123485656562
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………………12分
18．（本小题满分14分）
（本题考查平面与平面垂直的证明，求实数的取值．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题．） 解答：（Ⅰ）证法一：∵AD ∥BC ，BC=
1
2
AD ，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD ∥BQ ． …………………1分 ∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB ⊥AD ． …………………2分 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD∩平面ABCD=AD ，…………………4分 ∴BQ ⊥平面PAD ． …………………5分 ∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． …………………6分 证法二：AD ∥BC ，BC=
1
2
AD ，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形， ∴CD ∥BQ ． …………………1分 ∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB ⊥AD ． …………………2分 ∵PA=PD ，∴PQ ⊥AD ． …………………3分 ∵PQ∩BQ=Q PBQ 平面、⊂BQ PQ ， …………………4分
∴AD ⊥平面PBQ ． …………………5分 ∵AD ⊂平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． …………………6分 （Ⅱ）法一：∵PA=PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD ．
∵面PAD ⊥面ABCD ，且面PAD∩面ABCD=AD ，∴PQ ⊥面ABCD ．……………7分 如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC 的法向量为(0,0,1)n =；……8分
(0,0,0)Q ，(0,0,3)P ，(0,3,0)B ，(1,3,0)C -．
设(,,)M x y z ，则
(,,3)PM x y z =-，(1,3,)MC x y z =----……9分
PM t MC =⋅,∴1(1)3(3)13()3
1t x t x t x t y t y y t z t z z t ⎧=-⎪+=--⎧⎪
⎪⎪=-⇒=⎨
⎨+⎪⎪
-=-⎩⎪=⎪
+⎩
，………10分 在平面MBQ 中，(0,3,0)QB =，33,,111t t QM t t t ⎛
⎫
=-
⎪ ⎪+++⎝⎭
， ∴平面MBQ 法向量为(3,0,)m t =．……12分 ∵二面角M BQ C --为30°，∴2
3
cos302
30n m t n m
t ⋅︒=
=
=
⋅++，得3t =……14分 法二：过点M 作MO //PQ 交QC 于点O ，过O 作OE ⊥QB 交于点E ，连接ME ， 因为PQ ⊥面ABCD ,所以MO ⊥面ABCD ，由三垂线定理知ME ⊥QB ， 则MEO ∠为二面角M BQ C --的平面角。

…………9分（没有证明扣2分） 设CM a =，则PM a t =⋅，7PC =
，
t CP CM +==11
PQ MO ，∴37
a MO =……………10分 OE ⊥QB ，BC ⊥QB ，且三线都共面，所以BC //OE
∴
t t PC PM QC QO +===1BC EO ，∴7
t a
EO ⋅= …………11分 E
E
O
在MOE Rt ∆中EO
MO
MEO =
=∠
30tan tan ，………13分 ∴3
33==t EO MO 解得3t = ……………14分 19．（本小题满分14分）
解析：（1）由11111
232
a S a a ==-⇒=， …………………1分 由112221211n n n n S a S a n n --⎛⎫⎛⎫=-+⇒=-+
⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
，其中2n ≥ 于是1122111n n n n n a S S a a n n --⎛⎫⎛⎫
=-=+-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
…………………3分 整理得
()1
1221
n n a a n n n -=⨯≥-， …………………4分 所以数列n a n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是首项及公比均为12的等比数列. …………………5分 1
111222
n n n
a n -⎛⎫
=⨯=
⎪⎝⎭
⇒*
,2N n n a n n ∈= …………………6分 （2）由（1）得1
111222
n n n a n -⎛⎫
=⨯=
⎪
⎝⎭
于是()()1121
12,123,2211n
n n n n n a n T n T n n n n +⎛⎫==+++
=
==- ⎪++⎝⎭
………8分 1111
122122311
n n A n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=-+-+
+-=
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ …………………9分 又1222n n na n +=，问题转化为比较122n n +与21n n +的大小，即22n
n
与1n n +的大小 设
()()()()()()2
22212,,11
1n n n n n f n g n f n f n n n n n --⎡⎤⎣⎦==+-=
++⎡⎤⎣⎦
…………………10分
当3n ≥时，10f n f n +-（
）（）＞，∴当3n ≥时()f n 单调递增， ∴当4n ≥时，41f n f ≥=（
）（），而1g n （）＜， ∴当4n ≥时，f n g n （
）＞（） …………………12分
经检验n =1，2，3时，仍有f n g n ≥（
）（） …………………13分 因此，对任意正整数n ，都有f n g n （）＞（），即2n n
A na ＜
…………………14分 20．（本小题满分14分）
（本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到,,,A B C D 四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.）
（Ⅰ）解法1 ：设M 的坐标为(,)x y ，由已知得222(5)3x x y +=-+-，……1分
易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所以22(5)5x y x -+=+.
化简得曲线1C 的方程为220y x =. …………………4分 解法2 ：曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，
所以曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，…………… 2分
故其方程为220y x =. …………………4分
（Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆
2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，
切线方程为0(4)y y k x -=+，040kx y y k -++=即于是0254 3.1k y k
k ++=+
整理得2200721890.k y k y ++-= ① …………………6分
设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根， 故001218.724
y y k k +=-=- ② …………………7分 由101240,20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩
得21012020(4)0.k y y y k -++= ③…………………8分 设四点,,,A B C D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则是方程③的两个实根，
所以01121
20(4).y k y y k +⋅= ④…………………9分 同理可得0234220(4).y k y y k +⋅=
⑤…………………10分 于是由②，④，⑤三式得
0102123412400(4)(4)y k y k y y y y k k ++=201201212
4004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦= []6400164002
12122=+-=k k k k y y .…………………13分 所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点,,,A B C D 的纵坐标之积为定值6400. …14分 21．（本小题满分14分）
解：(1)当0x a ≤≤时，()f x ＝
2a x x a -+； 当x a >时，()f x ＝2x a x a
-+. …………………2分 因此，当(0,)x a ∈时，'()f x ＝
232a x a -(+)＜0，()f x 在(0,)a 上单调递减； ……3分 当(,)x a ∈+∞时，'()f x ＝2
32a x a (+)＞0，()f x 在(,)a +∞上单调递增．………4分 ①若4a ≥，则()f x 在(0,4)上单调递减，()g a ＝(0)f ＝12
. …………………5分 ②若04a <<，则()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,4)a 上单调递增．
所以()g a ＝max{(0)f ，(4)f }．
而(0)f －(4)f ＝
1412422a a a a
---=++， …………………6分 故当01a <≤时，()g a ＝(4)f ＝442a a
-+； 当14a <<时，()g a ＝(0)f ＝12. …………………8分 综上所述，()g a ＝4,01,421, 1.2
a a a a -⎧<≤⎪⎪+⎨⎪>⎪⎩ …………………9分
(2)由(1)知，当4a ≥时，()f x 在(0,4)上单调递减，故不满足要求．…………10分 当04a <<时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,4)a 上单调递增．
若存在1x ，2x ∈(0,4) (1x ＜2x )，使曲线y ＝()f x 在()11()x f x ，，()22()x f x ，两点处的切线互相垂直，则1x ∈(0,)a ，2x ∈(,4)a ，且12'()'()f x f x ⋅＝－1， 即221233122a a x a x a -⋅=-(+)(+)，亦即a x 21+＝a
x a 232+.(*) …………………11分 由1x ∈(0,)a ，2x ∈(,4)a 得a x 21+∈(2,3)a a ，a x a 232+∈3,142a a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
. 故(*)成立等价于集合A ＝(2,3)a a 与集合B ＝3,142a a ⎛⎫
⎪+⎝⎭的交集非空． 因为342a a +＜3a ，所以当且仅当021a <<，即102
a <<时，A∩B≠∅.……13分 综上所述，存在a 使函数()f x 在区间(0,4)内的图象上存在两点，
在该两点处的切线互相垂直，且a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
. …………………14分。