辽宁省沈阳铁路实验中学2015-2016学年高二下学期期末

沈阳铁路实验中学2015-2016学年度下学期期末考试
高二数学（文）
一、选择题 1．设集合()(){}
13,1202A x
x B x x x ⎧⎫
=<<=+-<⎨⎬⎩⎭
,则A B = （ ） A ．122x
x ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
B ．{}13x x -<<
C ．112x
x ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
D ．{}12x x << 2．下列有关命题的说法错误的是（ ）
A ．若“∨p q ”为假命题，则，p q 均为假命题
B ．“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件
C ．“1sin 2x =
”的必要不充分条件是“6
x π
=” D ．若命题200:,0p x R x ∃∈≥，则命题2
:,0⌝∀∈<p x R x
3．设复数z 的共轭复数为z ，且满足11i
z z i
+-=-，i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A ．12 B ．2 C ．1
2
- D ．-2
4．下面使用类比推理正确的是（ ）
A ．直线,,a b c ，若，a ∥b,b ∥c,则a ∥c ，类推出：向量,,a b c ，若,a b b c ，则a c
B ．同一平面内，直线,,a b c ，若,a c b c ⊥⊥，则a ∥b ，类推出：空间中，直线,,a b c ，若,a c b c ⊥⊥，则a ∥b
C ．实数,a b ，若方程20x ax b ++=有实数根，则2
4a b ≥，类推出：复数,a b ，若方程20x ax b ++=有实数根，
则24a b ≥
D ．由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义.
5．在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x （万元）和需求量y （吨）之间的一组数据为：
若y 关于x 的线性回归方程为
11.528.1y x =-+，则上表中的0y 值为（ ）
A ．7.4
B ．5.1
C ．5
D ．4
6．一次试验：向如右图所示的正方形中随机撒一大把豆子. 经查数，落在正方形中的豆子的总数为N 粒，其中有m （N m <）粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π的值为（ ）
A.
N m B. N m 2 C. N m 3 D. N
m 4 7．如图，PA 是圆O 的切线，切点为,A PO 交圆O 于,B C
两点，1PA PB ==，则ABC ∠=（ ）
A ．70︒
B ．60︒
C ．45︒
D ．30︒ 8．在极坐标系中的点2,
3π⎛⎫
⎪⎝
⎭
到圆2cos ρθ=的圆心的距离为（ ） A ．2 B
9．直线21
(1
x t t y t =-⎧⎨
=+⎩为参数) 被圆229x y +=截得的弦长等于（ ）
A ．
125 B
C
．5
10．若函数()22,0240x x x f x +≤⎧=⎨->⎩
，则()()1f f =（ ）
A ．-10
B ．10
C ．-2
D ．2
11．已知(21)3,1(),1
x a x a x f x a x -+<⎧=⎨≥⎩满足对任意12x x ≠都有1212
()()
0f x f x x x -<-成立，
那么a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．1(0,)2 C ．11[,)42 D ．1[,1)4
12．已知函数()21log 3x
f x x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，实数,,a b c 满足()()()()0,0f a f b f c a b c ⋅⋅<<<<若实数0x 为方程
()0f x =的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是（ ）
A ．0x a <
B ．0x b >
C ．0x c <
D ．0x c > 二、填空题
13．设曲线C 的参数方程为4cos x a θ
=+⎧（θ是参数，0>a ），直线l 的极坐标方程为3cos 4sin 5ρθρθ+=，
若曲线C 与直线l 只有一个公共点，则实数a 的值是 ．
14．若函数)43lg(2x x y +-=的定义域为M .当M x ∈时，x x x f 432)(2⨯-=+的最大值为__________. 15．已知p ：(x －m ＋1)(x －m －1)＜0；q ：
12
23
x <<，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是_______________
16．如图，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4AB =
，C E =D A = ．
三、解答题
17．某研究性学习小组对4月份昼夜温差大小与花卉种子发芽多少之间的关系研究，记录了4月1日至4月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数，如下表：
（Ⅰ）请根据上表中4月2日至4月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程 y bx
a =+ ；若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，请用4月1日和4
月5日数据检验你所得的线性回归方程是否可靠?
（Ⅱ）从4月1日至4月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为,m n ，求事件“m ，n 均不小于25”的概率.
（参考公式：回归直线的方程是 ˆy
bx a =+ ，其中1
2
2
1
n
i i
i n
i
i x y n x y
b x
nx ==-⋅⋅=-∑∑ ， a
y bx =-）
18．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院的60人进行了问卷调查，得到如下列联表：
已知在女病人中随机抽取一人，抽到患心肺疾病的人的概率为5
. （1）求出,m n ；
（2）探讨是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明理由；
②2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
19．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()(2)f x x x =-． （1）在给定的图示中画出函数()f x 的图象（不需列表）；
（2）求函数()f x 的解析式；
（3）讨论方程()0f x k -=的根的情况。

（只需写出结果)
20．已知奇函数()x f 的定义域为[]1,1-，当[)0,1-∈x 时，()x
x f ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=21.
（1）求函数()x f 在[]1,0上的值域； （2）若(]1,0∈x ，y=()()12
4
12
+-x f x f λ的最小值为2-，求实数λ的值.
21．如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的角平分线，ACD ∆的外接圆交BC 于点E ，2AB AC =.
（1）证明：2BE AD =；（2）当1AC =，2EC =时，求AD 的长.
22．已知直线的极坐标方程为
，圆M 的参数方程为
（其中θ为参数）．
（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求圆M 上的点到直线的距离的最小值．
23．设函数()|2||1|f x x x =+-- （I ）画出函数()y f x =的图象；
24．如图AB 是
直径，AC 是切线，BC 交与点E.
（Ⅰ）若D 为AC 中点，求证：DE 是
切线；
（Ⅱ）若OA = ，求ACB ∠的大小.
25．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位,已知直线 l 的参数方程为 1cos sin x t y t α
α
=+⎧⎨
=⎩（t 为参数， 0απ<<），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．
（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程。

（Ⅱ）设直线 l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当a 变化时，求 AB 的最小值
26．已知函数()21f x x =+， ()g x x a =+ （Ⅰ）当0a =时，解不等式()()f x g x ≥；
（Ⅱ）若存在x R ∈,使得()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围.
参考答案
1．A 【解析】
试题分析：()(){}{
}
11201222B x x x x x A B x
x ⎧⎫
=+-<=-<<∴=<<⎨⎬⎩⎭
,选A 考点：集合的运算
2．C 【解析】 试题分析：对于A ，由复合命题的真值表可知正确；对于B 由1x =可推出1x ≥，但由1x ≥不一定得到1x =；故正确；对于C ，6
x π
=应为1
sin 2
x =
充分不必要条件，故错误；对于D ，由特称命题的否定可知正确.故选C 考点：符合命题的真假判断，充要条件等 3．A. 【解析】
试题分析：由题意得，2
1(1)1(1)(1)
i i z z i i i i ++-===--+，
设(,)z a bi a b R =+∈，∴z a bi =-， ∴1
212
b b =⇒=
，即虚部为12，故选A.
考点：复数的计算．
4．D 【解析】
试题分析：A.若0b = ，则,a c
不一定共线，所以A 错误；B.空间中，直线a 与b 相交、平
行、异面皆有可能，所以B 错误；C.方程20x ax b ++=有实根，但2
,4a b 可能都是复数，
所以2
4a b ≥不一定成立，故C 错误；D.两不共线向量,a b 的和表示以,a b
为邻边的平行四
边形的对角线，两个复数对应复平面内的两个向量，其和也是平行四边形的对角线，故D 正确.
考点：类比推理. 5．C 【解析】 试题分析：由题意，
()009(12)53211
1.4 1.6 1.82
2.21073555
y x y +=
++++=++++=，y =， y 关于x 的线性回归方程为 11.528.1
y x =-+009
11.325528.15
5y y =-⨯+∴+= 故选C ．
考点：线性回归方程 6．D
【解析】
试题分析：设圆的半径为1．则正方形的边长为2， 根据几何概型的概率公式可以得到2
122
m N
π⨯=
⨯，即4m N π=
考点：几何概型 7．B 【解析】
试题分析：连接AO ，
∵PA 是圆O 的切线，切点为,A PO 交圆O 于,B C 两点，1PA PB ==，
∴2
PA PB PC =⋅，
∴31PC =⨯，解得2BC =， ∴1,2,OA PO PA OA ==⊥， ∴60ABC ∠=︒， 故选B ．
考点：1.与圆有关的比例线段的应用；2.计算. 8．D 【解析】
试题分析：由题意得，点2,
3π⎛⎫
⎪⎝
⎭
的直角坐标为(1，圆2cos ρθ=的直角坐标方程为22222(1)1x y x x y +=⇒-+=，
所以圆心坐标为(1,0)，所以点2,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
到圆2cos ρθ=的
= D. 考点：极坐标与直角坐标的互化；两点间的距离公式. 9．B 【解析】
试题分析：由直线的参数方程21
(1
x t t y t =-⎧⎨
=+⎩为参数)，
可得直线的普通方程为230x y -+=，
则圆22
9x y +=的圆心到直线的距离
为5
d =
=
，所以所求弦长
是l ==
B. 考点：直线与圆的位置关系及圆的弦长公式.
10．C 【解析】 试题分析：由()()1
1(24)(2)2(2)22f
f f f =-=-=⨯-+=-，故选C ．
考点：分段函数的求值． 11．C 【解析】
试题分析：函数()f x 对任意12x x ≠都有
1212
()()
0f x f x x x -<-成立，不妨设12x x <，则
12()()f x f x >，所以函数()f x 是减函数，因此210
01
213a a a a a
-<⎧⎪
<<⎨⎪-+≥⎩
，解得1142a ≤<． 考点：函数的单调性． 12．D 【解析】
试题分析：由题意得,,a b c 分布在0x 两侧，因此0x c >必不成立，选D.
考点：函数零点 13．7 【解析】
试题分析：曲线C 的普通方程为()()2
2
116x a y -+-=，直线l 的普通方程
3450x y +-=，直线l 与圆C 相切，则圆心(),1a 到l 的距离345
475
a d d +-=
=⇒=． 考点：参数方程与极坐标方程．
【方法点晴】本题主要考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化和直线与圆的位置关系的判定与应用，其中把直线的极坐标方程化为直角坐标方程及圆的参数方程化为普通方程是解答本题的关键，属于中档试题，着重考查了学生的推理与运算你能力，同时直线与圆位置关系的判定方法也要熟记． 14．
43
. 【解析】
试题分析：由题意知：函数)43lg(2
x x y +-=的定义域为{}
=|13M x x x <>或；函数
2
2
224()2
34=42323233x x
x
x
x f x +⎛
⎫=-⨯⨯-⨯=--+ ⎪⎝
⎭；令2x t =，则28t t <>或；所以当且仅
当23t =
时，()max 4
3
f x =. 考点：指数函数和对数函数的定义域和值域；二次函数的最值. 15．13,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【解析】
试题分析：命题p ：m-1<m+1, q ：1223x <<,若p 是q 的必要不充分条件,则有112213
m m ⎧
-≤⎪⎪
⎨
⎪+≥
⎪⎩ 1332m ∴-≤≤，实数m 的取值范围是13,32⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
考点：充分条件与必要条件 16．3
【解析】连结C O ，则C D O ⊥E ，因为D D A ⊥E ，所以C//D O A ，所以
C D O OE
=A AE
，由切割线定理得：2C E =BE⋅AE ，所以()412BE BE+=，即2
4120BE +BE -=，解得：
2BE =或6BE =-（舍去），所以C 26
D 34
O ⋅AE ⨯A =
==OE ，所以答案应填：3．
考点：1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．
17．（Ⅰ） y 关于x 的线性回归方程为5
ˆ32
y
x =-． 该研究所得到的线性回归方程是可靠的．（Ⅱ）310
. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据给定数据，依次确定,,x y xy 等相关数据，利用公式求
,b
a ． 计算当10x =，当8x =时的估计值，与均值比较，得出结论．
（Ⅱ）列举,m n 的所有取值情况， 明确“m ，n 均不小于25”为事件A ，包含的基本事件.
利用古典概型概率的计算公式计算. 试题解析：（Ⅰ） 1(111312)123x =
++=，1
(253026)273
y =++=，3972xy =. 3
1
112513*********i i i X Y ==⨯+⨯+⨯=∑，3
22221
111312434i i X ==++=∑，2
3432x =.
由公式，求得1
2
2
1
97797254344322
n
i i
i n
i
i x y n x y
b
x
nx ==-⋅⋅-==
=
--∑∑ ， 5271232a y bx =-=-⨯=-．
所以y 关于x 的线性回归方程为5
ˆ32
y
x =-． 当x=10时，5
ˆ103222
y =⨯-=，|22－23|＜2； 当x=8时，5
ˆ83172
y =⨯-=，|17－16|＜2． 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的． （Ⅱ）,m n 的所有取值情况有：(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，
(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，即基本事件总数为10. 设“m ，n 均不小于25”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26). 所以3()10P A =
，故事件A 的概率为3
10
. 考点：1、线性回归分析；2、古典概型．
【名师点晴】本题主要考查线性回归分析，其间涉及平均数等概念，考查古典概型，综合性较强，属于中档题．利用列举法写出基本事件空间，要注意按顺序列举，做到不重不漏，防止出现错误．． 18．（1）24m =，18n =；（2）有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关. 【解析】
试题分析：（1）根据在女病人中随机抽取一人，抽到患心肺疾病的人的概率为2
5
，所以入院的60人中女性有2
12=305
÷
（人），男性有6030=30-（人），所以30624m =-=（人），301218n =-=（人）；（2）利用公式求得2
K ,与临界值比较，即可得到结论.
试题解析：
解：（1）由题女性患者中，患有心肺疾病的概率为2
5
，共12人， ∴18n =，601218624m =---=
（2）∵22
2
()60(2418612)107.789()()()()30303624
n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯=
==>++++⨯⨯⨯ ∴有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关.
考点：独立性检验.
19．（2）(2)
[0,)()(2)
(,0)
x x x f x x x x -∈+∞⎧=⎨
-+∈-∞⎩；（3）()k f x =，当0k <或1k =时，方程
()0f x k -=有两个根，
当0k =时，方程()0f x k -=有三个根， 当01k <<时，方程()0f x k -=有四个根。

当1k >时，方程()0f x k -=没有实数根。

【解析】（1）函数()f x 的图象如图所示
（2）设0≤x ，则0≥-x ， ∵当0x ≥时，()(2)f x x x =- ∴)2()(+-=-x x x f ；
由()f x 是定义域为R 的偶函数知：()()f x f x -= ∴()(2),((,0])f x x x x =-+∈-∞；
所以函数()f x 的解析式是(2)
[0,)()(2)
(,0)
x x x f x x x x -∈+∞⎧=⎨
-+∈-∞⎩。

（3）由题意得：()k f x =，当0k <或1k =时，方程()0f x k -=有两个根， 当0k =时，方程()0f x k -=有三个根， 当01k <<时，方程()0f x k -=有四个根。

当1k >时，方程()0f x k -=没有实数根。

考点：本题考查求解析式，判断方程根的个数
点评：解决本题的关键是利用奇偶性求分段函数解析式，利用图像法判断根的个数 20．（1）(]}0{2,1⋃ （2）4=λ 【解析】
试题分析：（1）先根据()x f 为奇函数，求出函数()x f 在[]1,0上的解析式：设(]1,0∈x ，
则[)0,1-∈-x 时，所以
()x
x
x f 221-=⎪
⎭⎫
⎝⎛-=--，当(]1,0∈x 时，()()x
x f x f 2=--=，
所以()(]2,1∈x f ，又()00=f ，所以当[]1,0∈x 时函数()x f 的值域为(]}0{2,1⋃. （2）
本题已知最小值，故先确定其何时取到最小值，令
()x f t 21
=
，则
()()12
4
1
2
+-x f x f λ
12
+-=t t λ4122
2
λλ-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t ，根据定义区间与对称轴的相对位置关系讨论最小值的取法：①当212≤
λ
，即1≤λ时，
()⎪
⎭⎫
⎝⎛>21g t g ，无最小值， ②当
1221≤<λ，即21≤<λ时，()24122
min
-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλg t g ，解得32±=λ舍去③当
1
2>λ
，即2>λ时，
()()21min -==g t g ，解得4=λ，本题也可利用变量分离法转化为
2min (2)12(),2(1,2]22x x x
t λ+==∈⋅
试题解析：解:（1）设(]1,0∈x ，则[)0,1-∈-x 时，所以
()x
x
x f 221-=⎪
⎭⎫
⎝⎛-=--
又因为()x f 为奇函数，所以有()()x f x f -=- 所以当(]1,0∈x 时，()()x
x f x f 2=--=，
所以()(]2,1∈x f ，又()00=f ，所以当[]1,0∈x 时函数()x f 的值域为(]}0{2,1⋃. 7分
（2）由（1）知当(]1,0∈x 时()x f (]2,1∈，所以()x f 21⎥
⎦⎤ ⎝⎛∈1,21 令
()x f t 21=
，则121
≤<t ，
()=t g ()()12
412
+-x f x f
λ
12
+-=t t λ4122
2
λλ-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t 9分 ①当212
≤
λ
，即1≤λ时，
()⎪
⎭⎫
⎝⎛>21g t g ，无最小值，
②当1221≤<λ，即21≤<λ时，()24122
min
-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλg t g ，
解得32±=λ舍去
③当1
2
>λ
，即2>λ时，
()()21min -==g t g ，解得4=λ 15分
综上所述，4=λ 16分
考点：根据奇函数求解析式，二次函数求最值 21．（1）证明见解析；（2）1
2
AD =. 【解析】
试题分析：（1）由题可证得DBE ∆∽CBA ∆，得
BE DE
AB AC
=，由CD 是ACB ∠的平分线得2BE AD =；（2）由切割线定理可得1
2
AD =
. 试题解析：（1）证明：如图2，连接DE ，
∵四边形ACED 是圆的内接四边形，∴BDE BCA ∠=∠， 又∵DBE CBA ∠=∠，∴DBE ∆∽CBA ∆，∴BE DE
AB AC
=. ∵2AB AC =，∴2BE DE =， 又∵CD 是ACB ∠的平分线， ∴AD DE =，∴2BE AD =.
（2）解：由题意知：22AB AC ==，设AD t =， 根据切割线定理得：BD AB BE BC ⋅=⋅，
即()2(2)AB AD AB AD AD EC -⋅=⋅+，∴(2)22(22)t t t -⨯=+，
即22320t t +-=1
2
t ⇒=或2t =-（舍）， 即12
AD =
. 考点：弦切角定理、切割弦定理. 22．（Ⅰ）01=-+y x ；（Ⅱ）
22
2
3-； 【解析】 试题分析：（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，利用和角的正弦函数，即可求得该直线的直角坐标方程；（Ⅱ）圆M 的普通方程为4)2(22=++y x ，求出圆心M （0，﹣2）到直线01=-+y x 的距离，即可得到圆M 上的点到直线的距离的最小值． 试题解析：（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．（1分） 因为22)4
sin(=
+
π
θρ，2
2
)cos sin (22=+θθρp ，于是1cos sin =+θρθρ（2分） 故该直线的直角坐标方程为01=-+y x ．（3分） （Ⅱ）圆M 的普通方程为4)2(22=++y x （4分） 圆心M （0，﹣2）到直线01=-+y x 的距离22
32
|120|=--=
d ．（5分） 所以圆M 上的点到直线的距离的最小值为
22
2
3-．
（7分） 考点：①圆的参数方程②直线与圆的位置关系③简单曲线的极坐标方程 23．（I ）
1
x
O
（II ）[3,4]m ∈-。

【解析】
试题分析：（I ）函数()f x 可化为
3,
2()21,213,2x f x x x x -≤-⎧⎪
=+-<<⎨⎪≥⎩
……………………3'
其图象如下：
1
x
O ………………5'
（II ）关于x 的不等式()+4|12|f x m ≥-有解等价于()max ()+4|12|f x m ≥-…………6' 由（I ）可知max ()3f x =，（也可由()()()|2||1|21|3,f x x x x x =+--≤+--=得
max ()3f x =）……………8'
于是 |12|7m
-≤，
解得 [3,4]m
∈-……………10'
考点：含绝对值函数的求解方法；分段函数。

点评：解决含绝对值的式子的有关问题，我们经常采用的方法是：分段讨论，去掉绝对值符号。

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．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60° 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ，由直角三角形中线性质知DE=DC ，OE=OB ，利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=90°，即∠OED=90°，所以DE 是圆O 的切线；（Ⅱ）设CE=1,由OA =得，AB=设AE=x ，由勾股定理得BE =，
由直角三角形射影定理可得2
AE CE BE = ，列出关于x 的方程，解出x ，即可求出∠ACB
的大小. 试题解析：（Ⅰ）连结AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ， 在Rt △AEC 中，由已知得DE=DC ，∴∠DEC=∠DCE ， 连结OE ，∠OBE=∠OEB ，
∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，
∴∠OED=90°，∴DE 是圆O 的切线.
（Ⅱ）设CE=1，AE=x ,由已知得AB=BE =， 由射影定理可得，2AE CE BE = ，
∴2x x
考点:圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理 25．（Ⅰ）x y 42
=（Ⅱ）4 【解析】
试题分析：（Ⅰ）将
2sin 2cos a ρθθ=两边乘以ρ得，22sin 2cos a ρθρθ=，将
sin cos y
x
ρθρθ=⎧⎨
=⎩代入上式得曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）将将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中，整理关于t 的二次方程，设M ，N 两点对应的参数分别为12,t t ，利用一元二次方程根与系数将12t t +，12t t 用a 表示出来，利用直线参数方程中参数t 的几何意义得，|AB|=12||t t -，再转化为关于12t t +与12t t 的函数，利用前面12t t +，12t t 关于α的表示式，将上述函数化为关于α的函数，利用求最值的方法即可求出|AB|的最小值． 试题解析：（Ⅰ）由θθρcos 4sin
2
=,得θρθρcos 4)sin (2=
所以曲线C 的直角坐标方程为x y 42
= （4分）
（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入x y 42=,得22
sin 4cos 40t t a a --=
设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2,则 t 1+t 2=
αα2sin cos 4,t 1t 2=α
2sin 4
-,
∴|AB|=|t 1-t 2α
ααα2
242sin 4
sin 16sin cos 16=+,
当2
p
a =
时,|AB|的最小值为4 （10分） 考点： 极坐标方程与直角坐标互化，直线与抛物线的位置关系，直线的参数方程中参数t 的几何意义，设而不求思想
26．(Ⅰ)
)31[]1(∞+---∞，， ；
（Ⅱ）21
-≥a 。

【解析】(1))当0a =时, ()()f x g x ≥等价于x x ≥+12，两边平方整理
23410x x ++≥，
转化为解一元二次不等式；（2）由)()(x g x f ≤得x x a -+≥12，只需
min (|21|||)a x x ≥+-，去掉绝对值符号分段求解得最小值.
解：(Ⅰ)当0=a 时，由)()(x g x f ≥得x x ≥+12，两边平方整理得
23410x x ++≥ ……2分
解之得1-≤x 或31-
≥x ∴原不等式的解集为)3
1[]1(∞+---∞，， ……5分 （Ⅱ）由)()(x g x f ≤得x x a -+≥12 ……6分，
令x x x h -+=12)(，则⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
≥+<<-+-≤--=0,1021,1321,1)(x x x x x x x h ……8分
故21)21
()(min -=-=h x h ，从而所求实数a 的范围为2
1
-≥a ……10分。