2025届江苏省东海高级中学高三下学期联合考试数学试题含解析

2025届江苏省东海高级中学高三下学期联合考试数学试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()()()[)3log 1,1,84,8,6
x x f x x x ⎧+∈-⎪
=⎨∈+∞⎪-⎩ 若()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，则m 的取值范围是（ ）
A ．()0,∞+
B ．[)1,2
C ．[)1,+∞
D ．()0,1
2．已知命题3
00:2,80p x x ∃>->，那么p ⌝为（ ） A ．3
002,80x x ∃>-≤ B ．32,80x x ∀>-≤ C ．3002,80x x ∃≤-≤
D ．32,80x x ∀≤-≤
3．不等式42,
3
x y x y -⎧⎨+⎩的解集记为D ，有下面四个命题：1:(,),25p x y D y x ∀∈-；2:(,),22p x y D y x ∃∈-；
3:(,),22p x y D y x ∀∈-；4:(,),24p x y D y x ∃∈-.其中的真命题是（ ）
A ．12,p p
B ．23,p p
C ．13,p p
D ．24,p p
4．已知ABC 是边长为3的正三角形，若1
3
BD BC =，则AD BC ⋅=
A ．32
- B ．
152 C ．
32
D ．152
-
5．设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（ ） A ．1
B ．-1
C ．0
D ．2
6．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC 的外心，则2PC =；②ABC 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4
π⎛⎤ ⎥⎝
⎦
；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC 内轨迹的长度为1．其中正确的个数是（ ）． A ．1
B ．1
C ．3
D ．4
7．已知函数在上的值域为
，则实数的取值范围为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
8．圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．12
π
B ．
32
π C ．2π D ．3π
9．已知单位向量a ，b 的夹角为34
π
，若向量2m a =，4n a b λ=-，且m n ⊥，则n =（ ） A ．2
B ．2
C ．4
D ．6
10．已知抛物线C ：2
4x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB
的长为25
4
，则AF BF =（ ） A ．2或
12
B ．3或
13
C ．4或
14
D ．5或
15
11．已知椭圆22y a +2
2x b =1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角
三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A ．
5-1
2
B ．
3-12
C ．
31
4
+ D ．
51
4
+ 12．如图，正四面体P ABC -的体积为V ，底面积为S ，O 是高PH 的中点，过O 的平面α与棱PA 、PB 、PC 分别交于D 、E 、F ，设三棱锥P DEF -的体积为0V ，截面三角形DEF 的面积为0S ，则（ ）
A ．08V V ≤，04S S ≤
B ．08V V ≤，04S S ≥
C ．08V V ≥，04S S ≤
D ．08V V ≥，04S S ≥
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如果抛物线2
2y px =上一点()4,A m 到准线的距离是6，那么m =______.
14．如图梯形ABCD 为直角梯形，,AB AD CD AD ⊥⊥，图中阴影部分为曲线2y x 与直线2x x =+围成的平面图形，
向直角梯形ABCD 内投入一质点，质点落入阴影部分的概率是_____________
15．在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若412cos ,cos 513
B C ==，1b =，则a =__________.
16．已知0m >，若5
(1)mx +的展开式中2x 的系数比x 的系数大30，则m =______．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22ccosB a b =+． （1）求角C 的大小； （2）若函数()2sin 2cos 2()6f x x m x m R π⎛
⎫
=++∈ ⎪⎝
⎭图象的一条对称轴方程为2
C
x =且6
25f α⎛⎫= ⎪⎝⎭
，求(2)cos C α+的值．
18．（12分）设函数()()1f x x a x a R =++-∈． （1）当1a =时，求不等式()4f x ≥的解集；
（2）若对任意x ∈R 都有()2f x ≥，求实数a 的取值范围．
19．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>经过点(0,2)A -，离心率为3
3
．
（1）求椭圆M 的方程；
（2）经过点(0,1)E 且斜率存在的直线l 交椭圆于,Q N 两点，点B 与点Q 关于坐标原点对称．连接,AB AN ．求证：存在实数λ，使得AN AB k k λ=成立．
20．（12分）已知直线l 的参数方程为31212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）
，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.
（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点(1,0)P ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求||||AP PB +的值. 21．（12分）在极坐标系中，已知曲线C 的方程为r ρ
=（0r >），直线l 的方程为cos 24πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
.设直线l 与
曲线C 相交于A ，B 两点，且27AB =，求r 的值.
22．（10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90ABC ∠=︒，
11
222
AB BC AD PB ==
==，E 为PB 的中点，F 是PC 上的点.
（1）若//EF 平面PAD ，证明：EF ⊥平面PAB . （2）求二面角B PD C --的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
先解不等式()2f x ≤，可得出89x ≥-，求出函数()y f x =的值域，由题意可知，不等式()()819
m f x -≥-在定义域上恒成立，可得出关于m 的不等式，即可解得实数m 的取值范围.
()()()[)3log 1,1,84,8,6
x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩，先解不等式()2f x ≤.
①当18x -<<时，由()()3log 12f x x =+≤，得()32log 12x -≤+≤，解得889x -≤≤，此时8
89
x -≤<； ②当8x ≥时，由()4
26
f x x =
≤-，得8x ≥. 所以，不等式()2f x ≤的解集为89x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩
⎭.
下面来求函数()y f x =的值域.
当18x -<<时，019x <+<，则()3log 12x +<，此时()()3log 10f x x =+≥； 当8x ≥时，62x -≥，此时()(]4
0,26
f x x =
∈-. 综上所述，函数()y f x =的值域为[)0,+∞， 由于()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，
则不等式()()819
m f x -≥-在定义域上恒成立，所以，10m -≥，解得m 1≥. 因此，实数m 的取值范围是[
)1,+∞. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用函数不等式恒成立求参数，同时也考查了分段函数基本性质的应用，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 2、B 【解析】
利用特称命题的否定分析解答得解. 【详解】
已知命题0:2p x ∃>，3
80x ->，那么p ⌝是32,80x x ∀>-≤. 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 3、A
作出不等式组表示的可行域，然后对四个选项一一分析可得结果. 【详解】
作出可行域如图所示，当1,2x y ==时，max (2)3y x -=，即2y x -的取值范围为(,3]-∞，所以
1(,),25,x y D y x p ∀∈-为真命题；
2(,),22,x y D y x p ∃∈-为真命题；34,p p 为假命题.
故选：A
【点睛】
此题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于中档题. 4、A 【解析】
由1
3BD BC =可得13
AD AB BD AB BC =+=+，因为ABC 是边长为3的正三角形，所以
221113
()33cos12033332
AD BC AB BC BC AB BC BC ⋅=+⋅=⋅+=⨯︒+⨯=-，故选A ．
5、A 【解析】
根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得a 的值. 【详解】
复数()()1z a i i R =+-∈， 由复数乘法运算化简可得()11a a i z =++-，
所以由复数定义可知10a -=，
故选：A. 【点睛】
本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题. 6、C 【解析】
由线面垂直的性质,结合勾股定理可判断①正确; 反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错误;由线面角的定义和转化为三棱锥的体积,求得C 到平面PAB 的距离的范围,可判断③正确;由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确. 【详解】 画出图形：
若O 为ABC 的外心，则2OA OB OC ===
，
PO ⊥平面ABC ,可得PO OC ⊥,即222PC PO OC =+=，①正确; ABC 若为等边三角形，⊥AP BC ，又AP PB ⊥
可得AP ⊥平面PBC ，即AP PC ⊥,由PO OC ⊥可得
222622PC PO OC AC =+=+==，矛盾，②错误;
若90ACB ∠=︒，设PC 与平面PAB 所成角为θ 可得2,2OC OA OB PC ===
=，
设C 到平面PAB 的距离为d 由C PAB P ABC V V --=可得
1111
2223232
d AC BC ⋅⋅⋅=⋅ 即有22
2242
AC BC AC BC d
+⋅==，当且仅当2AC BC ==取等号.
可得d 2，2sin 2
2
d θ=
即θ的范围为0,4
π⎛⎤ ⎥⎝
⎦
，③正确；
取BC 中点N ，PB 的中点K ，连接,,OK ON KN 由中位线定理可得平面//OKN 平面PAC 可得M 在线段KN 上，而1
22
KN PC ==，可得④正确； 所以正确的是：①③④ 故选：C 【点睛】
此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目. 7、A 【解析】 将
整理为
，根据的范围可求得
；根据
，结合
的值域和
的图象，可知
，解不等式求得结果.
【详解】
当时，
又，，
由
在
上的值域为
解得：
本题正确选项： 【点睛】
本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题，关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限，从而得到关于参数的不等式. 8、B 【解析】
三视图对应的几何体为如图所示的几何体，利用割补法可求其体积. 【详解】
根据三视图可得原几何体如图所示，它是一个圆柱截去上面一块几何体， 把该几何体补成如下图所示的圆柱，
其体积为213π⨯⨯，故原几何体的体积为32
π. 故选：B. 【点睛】
本题考查三视图以及不规则几何体的体积，复原几何体时注意三视图中的点线关系与几何体中的点、线、面的对应关系，另外，不规则几何体的体积可用割补法来求其体积，本题属于基础题. 9、C 【解析】
根据m n ⊥列方程，由此求得λ的值，进而求得n . 【详解】
由于m n ⊥，所以0m n ⋅=，即
()
2
3248282cos
8204
a a
b a a b π
λλλλ⋅-=-⋅=-⋅=+=， 解得422
λ==-所以442n a b =+ 所以
()
2
22
344
2163223248322cos
483244
a b
a a
b b n π
+=+⋅+=-==
+=.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，考查向量模的求法，属于基础题. 10、C 【解析】
先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出,AF BF . 【详解】
设直线的倾斜角为θ，则22
2425
cos cos 4
p AB θθ=
==， 所以216cos 25θ=，2
219tan 1cos 16θθ=-=，即3tan 4
θ=±，
所以直线l 的方程为314y x =±+.当直线l 的方程为3
14
y x =+，
联立243
1
4x y
y x ⎧=⎪
⎨=+⎪⎩
，解得11x =-和24x =，所以()40401AF BF -==--； 同理，当直线l 的方程为314y x =-+.14AF BF =，综上，4AF BF =或1
4
.选C. 【点睛】
本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义. 11、A 【解析】
联立直线与椭圆方程求出交点A ，B 两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式，解方程求解即可. 【详解】
联立方程22
22
11
y x a b y x a b
⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解方程可得0x y a =⎧⎨=⎩或0x b y =-⎧⎨=⎩，
不妨设A (0，a )，B (-b ，0)，由题意可知，BA ·BF =0， 因为(),BA b a =，(),BF b c =-，
由平面向量垂直的坐标表示可得，0b b ac ⋅-=，
因为222b a c =-，所以a 2-c 2=ac ，
两边同时除以2a 可得，210e e +-=，
解得e =5-12或152e --=（舍去）， 所以该椭圆的离心率为
5-12. 故选：A
【点睛】 本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
12、A 【解析】
设2AB =，取EF 与BC 重合时的情况，计算出0S 以及0V 的值，利用排除法可得出正确选项.
【详解】
如图所示，利用排除法，取EF 与BC 重合时的情况.
不妨设2AB =，延长MD 到N ，使得//PN AM ．
PO OH =，PN MH ∴=，2AH MH =，33AM MH PN ∴==，则
13PD AD =， 由余弦定理得2
2222331132cos 22232224BD AB AD AB AD π⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， 2232DM BD BM =-=，01332222
S =⨯⨯=，
又22
S ==041S S ∴==>， 当平面//DEF 平面ABC 时，04S S =，04S S ∴≤，排除B 、D 选项； 因为13PD AD =，014V V ∴=，此时，0821V V
=>， 当平面//DEF 平面ABC 时，08V V =，08V V ∴≥，排除C 选项.
故选：A.
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、排除法，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、±
【解析】
先求出抛物线22y px =的准线方程，然后根据点()4,A m 到准线的距离为6，列出462
p +=，直接求出结果. 【详解】
抛物线22y px =的准线方程为2p x =-
， 由题意得462
p +=，解得4p =. ∵点()4,A m 在抛物线22y px =上，
∴2244m =⨯⨯，∴m =±
故答案为：±.
【点睛】
本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.
14、35
【解析】
联立直线与抛物线方程求出交点坐标，再利用定积分求出阴影部分的面积，利用梯形的面积公式求出ABCD S ，最后根据几何概型的概率公式计算可得；
【详解】
解：联立22y x y x ⎧=⎨=+⎩
解得24x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，即(2,4)B ，(1,1)C -，(1,0)D -，(2,0)A ， ()222321111922232
S x x dx x x x --⎡⎤∴=+-=+-=⎣⎦⎰阴影，()11514322ABCD S =+⨯⨯= 932155
2
ABCD S P S ∴===阴影
故答案为：
35
【点睛】 本题考查几何概型的概率公式的应用以及利用微积分基本定理求曲边形的面积，属于中档题.
15、5639
【解析】
先求得sin ,sin B C 的值，由此求得sin A 的值，再利用正弦定理求得a 的值.
【详解】 由于412cos ,cos 513B C ==
，所以35sin ,sin 513
B C ====，所以()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+312455651351365
=⨯+⨯=.由正弦定理得56
sin 56653sin sin sin 39
5
a b b A a A B B ⋅=⇒===. 故答案为：
5639
【点睛】
本小题主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查三角形的内角和定理，属于中档题.
16、2
【解析】
利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得m 的值．
【详解】
()51mx +展开式通项为：15r r r r T C m x +=
0m >且()5
1mx +的展开式中2x 的系数比x 的系数大30
2215530C m C m ∴-=，即：2260m m --= 解得：32
m =-（舍去）或2m = 本题正确结果：2
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）23C π=
（2）7225cos C α+=-（） 【解析】
（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理可求1cosC 2
=-，即可求C 的值．
（2）利用三角函数恒等变换的应用，可得()()f x m 1cos2x =++，根据题意，得到()2πf 0f 3⎛⎫=
⎪⎝⎭，解得m 2=-，得到函数的解析式，进而求得πsin α6⎛⎫- ⎪⎝
⎭的值，利用三角函数恒等变换的应用可求()cos 2αC +的值． 【详解】
（1）由题意，根据正弦定理，可得2sinCcosB 2sinA sinB =+，
又由()A B C π=-+，所以 ()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，
可得2sinCcosB 2sinBcosC 2cosBsinC sinB =++，即2sinBcosC sinB 0+=，
又因为()0,B π∈，则sin 0B >， 可得1cosC 2=-，∵()0,C π∈，∴2πC 3
=． （2）由（1）可得()()f x 2sin 2x 1mcos2x 2sin2xcos 2cos2xsin mcos2x =++=++
()
m 1cos2x =++，
所以函数()f x 的图象的一条对称轴方程为πx 3
=，
∴()2πf 0f 3⎛⎫= ⎪⎝⎭，得()4π4πm 1m 1cos 33+=++，即m 2=-，
∴()πf x cos2x 2sin 2x 6⎛
⎫=-=- ⎪⎝⎭
， 又απ6f 2sin α265⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π3sin α65⎛⎫-= ⎪⎝
⎭， ∴()22ππππ7cos 2αC cos 2αcos 2α-cos2α2sin α1336625⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+
=-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【点睛】
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18、（1）(][),22,∞-⋃+∞-（2）(]
[),31,-∞+∞
【解析】 ()1114||x x ++≥﹣利用零点分区间法，去掉绝对值符号分组讨论求并集， ()2()2f x ≥对x ∈R 恒成立，则()2min f x ≥， 由三角不等式|1||1|1x a x
x a x a ++≥+++﹣﹣＝，得12a +≥求解 【详解】
解：()1当1a =时，不等式()4f x ≥即为114||x x
++≥﹣， 可得1114x x x ≤-⎧⎨--+-≥⎩或11114x x x -<<⎧⎨++-≥⎩或1114x x x ≥⎧⎨++-≥⎩
， 解得2x -≤或x ∈∅或2x ≥，
则原不等式的解集为(,2[2,])∞-⋃+∞-
()2若对任意x ∈R 、都有()2f x ≥，
即为()2min f x ≥， 由|1||1|1x a x
x a x a ++≥+++﹣﹣＝，当()(1)0x a x +-≤取得等号， 则()1min f x a +＝，由12a +≥，可得13a a ≥≤-或，
则a 的取值范围是(,3][1,)-∞+∞
【点睛】
本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法及利用三角不等式解恒成立问题. （1）含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解（2）利用三角不等
式a b a b a b －＋把不等式恒成立问题转化为函数最值问题. 19、（1）22
164
x y +=（2）证明见解析 【解析】
（1）由点(0,2)A -可得2b =,
由c e a ==,根据222a c b -=即可求解； （2）设直线l 的方程为1y kx =+,联立22116
4y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(23)690k x kx ++-=,设1122(,),(,)Q x y N x y ,由韦达定理可得12122269,2323k x x x x k k
+=-=-++,再根据直线的斜率公式求得Q A AN k k ⋅；由点B 与点Q 关于原点对称,可设11(,)B x y --,可求得AQ AB k k ⋅,则
AQ AN AN AB AQ AB k k k k k k ⋅=⋅,即可求证. 【详解】
解:（1）由题意可知2b =
,c e a =
=, 又222a c b -=
,
得a c ==所以椭圆M 的方程为22
164
x y += （2）证明:设直线l 的方程为1y kx =+，
联立22
116
4y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,可得22(23)690k x kx ++-=, 设1122(,),(,)Q x y N x y ,
则有12122269,2323k x x x x k k +=-
=-++, 因为1212
22,AQ AN y y k k x x ++==, 所以2222121212Q 1212
223()92232A AN y y k x x k x x k k k k k x x x x +++++⋅=⋅==+--=-, 又因为点B 与点Q 关于原点对称,所以11(,)B x y --,即112AB y k x -+=
-,
则有21112111224AQ AB y y y k k x x x +-+-⋅=⋅=--,由点Q 在椭圆22:164
x y C +=上,得2211243y x -=,所以23AQ AB k k ⋅=-, 所以2323
AQ AN AN AB AQ AB k k k k k k ⋅-===⋅-,即3AN AB k k =， 所以存在实数3λ=,使AN AB k k λ=成立
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程,考查直线的斜率公式的应用,考查运算能力.
20、（1
）10x -=；22(2)4x y -+=（2
【解析】
（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；
（2
）将直线参数方程代入圆的普通方程，可得12t t +=123t t =-，而根据直线参数方程的几何意义，知
12||||PA PB t t +=-=
.
【详解】 （1）直线
l 的参数方程为112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），
消去
t ；得10x -=
曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.
由cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，
可得224x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为22
(2)4x y -+=； （2
）将直线l 的参数方程1212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）代入C 的方程22(2)4x y -+=，
可得230t -=，>0∆，
设1t ，2t 是点,A
B 对应的参数值，
12t t +=123t t =-
，则
12||||PA PB t t +=-==.
【点睛】
本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题.
21、3r =
【解析】
先将曲线C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，可得圆心到直线的距离，再由勾股定理，计算即得.
【详解】
以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，
可得曲线C ：r ρ=（0r >）的直角坐标方程为222x y r +=，表示以原点为圆心，半径为r 的圆.
由直线l 的方程cos 4πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，化简得cos cos sin sin 44ππ
ρθρθ-= 则直线l 的直角坐标方程方程为20x y --=.
记圆心到直线l 的距离为d ，则d =
= 又222
2AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即2279r =+=，所以3r =. 【点睛】
本题考查曲线和直线的极坐标方程化为直角坐标方程，是基础题.
22、（1）证明见解析（2 【解析】
（1）因为//BC AD ，利用线面平行的判定定理可证出//BC 平面PAD ，利用点线面的位置关系，得出//BC PM 和//EF BC ，由于PA ⊥底面ABCD ，利用线面垂直的性质，得出
PA BC ⊥，且AB BC ⊥，最后结合线面垂直的判定定理得出BC ⊥平面PAB ，即可证出EF ⊥平面PAB .
（2）由（1）可知AB ，AD ，AP 两两垂直，建立空间直角坐标系A xyz -，标出点坐标，运用空间向量坐标运算求出所需向量，分别求出平面BDP 和平面CDP 的法向量，最后利用空间二面角公式，即可求出B PD C --的余弦值.
【详解】
（1）证明：因为//BC AD ，BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，
所以//BC 平面PAD ，
因为P ∈平面PBC ，P ∈平面PAD ，所以可设平面PBC 平面PAD PM =，
又因为BC ⊂平面PBC ，所以//BC PM .
因为//EF 平面PAD ，EF ⊂平面PBC ，
所以//EF PM ，从而得//EF BC .
因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA BC ⊥.
因为90ABC ∠=︒，所以AB BC ⊥.
因为PA AB A =，所以BC ⊥平面PAB .
综上，EF ⊥平面PAB .
（2）解：由（1）可得AB ，AD ，AP 两两垂直，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在
直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -. 因为11222AB BC AD PB ====，所以2223PA PB AB =-=， 则(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,23)P ，
所以(2,4,0)BD =-，(2,0,23)BP =-，(2,2,0)CD =-，(2,2,23)CP =--.
设()111,,m x y z =是平面BDP 的法向量，
由0,0,m BD m BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩取1111240,2230,
x y x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 取123x =(23,3,2)m =.
设()222,,n x y z =是平面CDP 的法向量，
由0,0,n CD n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩得22222220,22230,
x y x y z -+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩ 取23x =，得(3,3,2)n =，
所以13190cos ,190
m n
m n m n ⋅==，
--.
即B PD C
【点睛】
本题考查线面垂直的判定和空间二面角的计算，还运用线面平行的性质、线面垂直的判定定理、点线面的位置关系、空间向量的坐标运算等，同时考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.。