商人过河数学模型

商人过河数学模型

专业信息与计算科学

班级 113010102 姓名罗彪

学号 ***********

一、问题重述

3名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全过河呢？

二、问题分析

商随过河问题可以视为一个多步决策过程，通过多次优化，最后获取一个全局最优的决策方案。对于每一步，即船由此岸驶向彼岸或由彼岸驶向此岸，都要对船上的人员作出决策，在保证两岸的商人数不少于随从数的前提下，在有限步内使全部人员过河。用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律，问题转化为在状态的允许变化范围内(即安全渡河条件)，确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。

三、模型假设

1.每个商人和随从都会划船；

2.只有一条船，且每条船上最多只能乘坐两个人；

3.所有商人与随从之间没有矛盾，不会出现两人不愿意坐一条船的现象；

4.船在渡河的过程中不受外界环境的影响。

四、模型的建立与求解 1.模型建立

k x ~第k 次渡河前此岸的商人数，k y ~第k 次渡河前此岸的随从数

k x , k y =0,1,2,3; k =1,2,… …

k S =(k x , k y , c k )~过程的状态，

其中k x , k y , c k 分别表示对应时刻此岸的商人，仆人数以及船的行进方向，其中c 取值1表示即将向彼岸运行，为0表示即将向此岸运行

S ~ 允许状态集合，S={(x , y )| x =0, y =0,1,2,3; x =3 ,y =0,1,2,3; x =y =1,2}

k u ~第k 次渡船上的商人数 k v ~第k 次渡船上的随从数

k d =(k u , k v )~决策，D={(u , v )| 21≤+≤v u ,k u , k v =0,1,2} ~允许决策集合

k =1,2,… …

因为k 为奇数时船从此岸驶向彼岸，k 为偶数时船从彼岸驶向此岸，所以状态

k S 随决策k d 的变化规律是

1+k S =k S +k )1(-k d ~状态转移律

求k d ∈D(k =1,2, …n), 使k S ∈S, 并按转移律由1S =(3,3,1)到达状态

1+n S =(0,0,0(1))。

2.模型求解

本模型使用MATLAB 软件编程求解，运行结果如下

>> chouxiang 输入商人数目:3

输入仆人数目:3

输入船的最大容量:2

ans =

0 0

1 1

0 1

0 3

0 2

2 2

1 1

3 1

3 0

3 2

3 1

3 3

Matlab程序

function foot=chouxiang

%程序开始需要知道商人数，仆人数，船的最大容量

sr=input('输入商人数目:');

pr=input('输入仆人数目:');

c=input('输入船的最大容量:');

sr=input('输入商人数目:');

pr=input('输入仆人数目:');

c=input('输入船的最大容量:');

end

%状态数组生成

zt=1; % 状态数组存放在矩阵“A”中,zt为插入新元素的行标初始为1

for i=sr:-1:0

for j=pr:-1:0

if

((i>=j)&((sr-i)>=(pr-j)))|((i==0)|(i==sr)) %(i>=j)&((sr-i)>=(pr-j)))|((i==0 )|(i==sr))为可以存在的状态的约束条件

A(zt,1:3)=[i,j,1]; % 表示此岸安全

A(zt+1,1:3)=[i,j,0];

zt=zt+2;

end

j=pr;

end;

end;

jc=1;

for i=0:c

for j=0:c

if (i+j<=c)&(i+j>0) % 满足条件D={(u,v)|1<=u+v<=c,u,v=0,1,2}

d(jc,1:3)=[i,j 1]; %表示从此岸到彼岸

d(jc+1,1:3)=[-i,-j,-1]; %表示从彼岸到此岸

jc=jc+2;

end

end

j=0;

end

%将状态数组生成抽象矩阵

k=(1/2)*size(A,1);

CX=zeros(2*k,2*k);

a=size(d,1);

for i=1:2*k

for j=1:a

c=A(i,:)+d(j,:) ;

x=find((A(:,1)==c(1))&(A(:,2)==c(2))&(A(:,3)==c(3))) ;

v(i,x)=1; % x为空不会改变v的值

end

end

%dijstra方法

x=1; y=size(A,1);

m=size(v,1);

T=zeros(m,1);

T=T.^-1;

lmd=T;

P=T;

S=zeros(m,1);

S(x)=1;

P(x)=0; lmd(x)=0;

k=x;

while(1)

a=find(S==0);

aa=find(S==1);