2020年高考一轮复习数学(文)课时跟踪检测(十一)函数与方程

课时跟踪检测(十一) 函数与方程一抓基础，多练小题做到眼疾手快
2
1已知函数f(x)= JXR+ a的零点为1,则实数a的值为 ______________
解析：
2 1由已知得f(1) = 0,即717 + a= 0,解得a=—-.
1
答案：-2
2.已知关于x的方程x2+ mx- 6= 0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是_______________ .
解析：设函数f(x) = x2+ mx-6,则根据条件有f(2) v 0,即卩4 + 2m-6v 0，解得m v 1. 答案：(—3 1)
f- 2, x> 0,
3•已知函数f(x)= 2若f(0)=- 2, f(- 1) = 1，则函数g(x) = f(x)
-x2+ bx+ c, x< 0,
+x的零点个数为 ________
c=- 2,
解析：依题意得*
—1 —b+ c= 1,
由此解得b=- 4, c=- 2.由g(x)= 0 得f(x) + x = 0,
该方程等价于广°
—2 + x= 0,
严0,
—x2- 4x —2+ x= 0.
解①得x= 2，解②得x=- 1或x=- 2.
因此，函数g(x) = f(x) + x的零点个数为 3.
答案：3
4. (2019连云港调研)已知函数f(x)= 2-x2- x+ b有一个零点，则实数b的取值范围为.
解析：由已知，函数f(x) = 2- x2-x + b有一个零点，即函数y= x- b和y= .2—x2的图象有1个交点，如图，其中与半圆相切的直线方程为y= x+ 2,过点
(0, 2)的直线方程为y= x+ .2,所以满足条件的b的取值范围是b=
-2 或—2 v b< 2.
答案：{- 2} U (- 2, 2]
5. (2018苏州质检)已知函数f(x) = 1 x- cos x，贝V f(x)在［0,2n]的零点个数为
解析：作出g(x)= ［2 x与h(x)= cosx的图象如图所示，可以看到其在［0,2 n上的交点个数为3,所以函数f(x)在［0,2 n上的零点个数为3.
答案：3
6. (2018泰州中学上学期期中)已知函数y= f(x)的周期为2,当x€ ［—1,1］时，f(x)= x2, 那么函数y= f(x)的图象与函数y= |lg x|的图象的交点共有 ______________ 个.
解析：在同一直角坐标系中分别作出y= f(x)和y= |lg x|的图象，如图，结合图象知，共
有10个交点.
答案：10
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1. ________ 设X0为函数f(x)= 2x+ x—2的零点，且x°€ (m, n),其中m, n为相邻的整数，则m + n= _____ .
解析：函数f(x)= 2x+ x—2为R上的单调增函数，又f(0) = 1 + 0 —2=—1V 0, f(1) = 2 + 1 —2 = 1>0,所以f(0)屮)V 0,故函数f(x) = 2x+ x —2的零点在区间(0,1)内，故m= 0, n =1, m+ n = 1.
答案：1
2. ______________________ (2018镇江中学检测)已知函数f(x)= 2x+ 2x —6的零点为X。

，不等式x—4>X。

的最小的整数解为k,则k= .
解析：函数f(x)= 2x+ 2x—6为R上的单调增函数，又f(1) =—2V 0, f(2) = 2 > 0,所以函数f(x) = 2x+ 2x —6的零点X Q满足1V x0v 2,故满足x0v n的最小的整数n = 2,即k —4 =2,所以满足不等式x—4> X Q的最小的整数解k= 6.
答案：6
3. ________________________________________________________ 已知方程2x+ 3x= k 的解在［1,2)内，贝V k的取值范围为___________________________________ .
解析：令函数f(x) = 2x+ 3x—k,
则f(x)在R上是增函数.
当方程2x+ 3x= k的解在(1,2)内时，f(1) H2)v 0,
即(5 —k)(10 —k)v 0,解得5V k v 10.
当f(1) = 0 时，k = 5.
综上，k的取值范围为［5,10).
答案：［5,10)
4. ____________________________________ (2019太原模拟)若函数f(x) = (m—2)x2+ mx+ (2m+ 1)的两个零点分别在区间(一1,0) 和区间(1,2)内，则实数m的取值范围是.
尸2,
解析：依题意并结合函数f(x)的图象可知，f —1 f 0 < 0,
f 1 f 2 < 0,
阿工2,
即Qm—2—m+ (2m+ 1 j|(2m+ 1 戶0,
jm—2+ m + (2m+ 1 j][4(m —2)+ 2m+ (2m + 1 j]< 0,
1 1
解得；< m< T.
4 2
答案：4 2
1, x > 1 ,
5. (2018无锡期末股函数f(x)= 若方程f(x)—mx= 0恰好有3
|X 1og2 X+ 1 , X< 1 ,
个零点，则实数m的取值范围为__________ .
1 解析：当x> 1时，方程
f(x) —mx= 0变为1—mx= 0,解得x=—;
m
当一1< x< 1 时，方程f(x) —mx= 0 变为x[log2(x + 1) —m]= 0,解得x= 0 或x= 2m— 1.
1
因为f(x)—mx= 0恰好有3个零点，所以一> 1,且一1< 2m— 1 < 1, m
解得0<m<1,
故实数m的取值范围为(0,1).
答案：(0,1)
x + 2
I ---- , x< 0,
6. (2019镇江调研)已知k为常数，函数f(x)=S x—1若关于x的方程f(x)
[|ln x|, x>0,
=kx+ 2有且只有4个不同的解，则实数k的取值范围为_____________ .
解析：作出函数y= f(x)的大致图象如图所示，若关于x的方程f(x)= kx+ 2有且只有4
个不同解，当直线y= kx + 2与y= ln x的图象相切时，设切点为(m, n),可得n = ln m, y =ln x 的导数为y' = 一(x> 1)，可得k= 一，贝U n = km+ 2,解得m = e3, k = e—3,则实数k 的取值范围为(0, e—3).
答案：(0, e—3)
ln x, x> 0,
7. (2018苏州调研)已知函数f(x)=f 若直线y= ax与y= f(x)交于三个
2x + 1, x< 0,
1
不同的点A(m,f (m)), B(n,f (n)) ,C(t,f (t))(其中m v n v t),则n 计 ------- 卜2的取值范围是
令 g(n)= n +
,当 f(x) = In x , x >0 与 y = ax 相切时，由 f '
n
解得x = e ,所以要满足题意，则
1v n v e.由g' (n) = 1+ 1』n > 0，所以g(n)= n + 在 (1, e)上单调递增，所以 g(n) = n +
+ 2C
1, e +
答案：
1 e +
e
8. (2018南京、盐城一模)设f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x) = 2x +灵设g(x)=
fx , x >1 ,
若函数y = g(x)— t 有且只有一个零点，则实数
t 的取值范围是
f ( — x y x < 1,
解析：因为f(x)为奇函数，所以f(— x)
=— f(x)，即2一x + m2x =— (2x
i 2——
2「 x >1 作出函数g(x)的图
2 — 2x , x w 1,
象(如图所示).当x > 1时，g(x)单调递增，此时g(x)>2；当x < 1时，g(x)
单调递减，此时g(x)>—号，所以当t € — 3, 2时,y = g(x)— t 有且只有一个零点.
答案：
1 1
1
2 |3
2 |
3 1 _____ 1
2
9.已知二次函数 f(x)= x + (2a — 1)x + 1— 2a , (1)判断命题：“对于任意的
a € R ,方程f(x) = 1必有实数根”的真假，并写出判断
过程；
⑵若y = f(x)在区间(一1,0)及0,-内各有一个零点，求实数 a 的取值范围.
解：(1) “对于任意的a € R,方程f(x)= 1必有实数根”是真命题.依题意，f(x)= 1有 实根，即 x 2+ (2a — 1)x — 2a = 0 有实根，因为 △= (2a — 1)2+ 8a = (2a + 1)2>0 对于任意的 a € R 恒成立，即x 2+ (2a — 1)x — 2a = 0必有实根，从而 f(x) = 1必有实根.
⑵依题意，要使y = f(x)在区间(一1,0)及0, 1内各有一个零点，
2m + 1 = am ,
解析：由已知条件可得*
In n = an ,
壬
1
2+一= a ,
m 所以
In n =a , n
所以 n + — + 2 = n +
,
m n
1 i
(x)=-,得-=a ,又 In x = ax , x
x
一 x
+ m 2
),解得 m =— 1，故 g(x) =
故实数a 的取值范围为2, 3 . 10.(2018通州中学检测)已知二次函数
有两个不同零点 x 1, x 2,函数g(x)有两个不同零点 x 3, x 4.
(1) 若X 3< X 1V &,试比较X 2, X 3, x 4的大小关系；
f ' (m f' f n\ f' f p\ 4
、十
(2) 若 x 1 = X 3< x 2, rn , n , p € (— a, x 1),，求证：m = n =
p.
g n g p g m
解：(1)因为函数g(x)的图象开口向上，且零点为 x 3, x 4,
故 g(x)v 0? x € (X 3, X 4).
因为X 1, X 2是f(x)的两个不同零点， 故 f(X 1)= f(X 2)= 0.
因为 X 3V X 1<X 4,故 g(x 1)v 0 = f(x 1), 于 是 (a 2-a)x f v 0. 注意到X 1^ 0,故a 2 - a v 0.
所以 g(x 2)— f(x 2) = (a 2— a)x 2v 0, 故 g(X 2) V f(X 2) = 0,从而 X 2^ (X 3, X 4), 于是 X 3V X 2V x 4.
2
2 2
2 2
⑵证明：记 X 1 = X 3= t ,故 f(t) = at +bt + 1= 0, g(t) = at + bt + 1= 0,于是(a — a )t = 0.
因为a 丰0,且埒0,故a = 1. 所以f(x)= g(x)且图象开口向上.
所以对？ x € (—a, x 1), f ' (x)递增且 f ' (x) v 0, g(x)递减且 g(x)> 0. 1 1
若 m > n ，贝U f ' (n)v f ' (m) v 0, > > 0,从而 g(p) > g(n)>0，故 n > p.
g(n ) g P )
同上，当n > p 时，可推得p > m.
所以p >m > n > p ,矛盾.所以 m > n 不成立. 同理，n > m 亦不成立. 所以 m = n.同理，n = p. 所以m = n = p.
f -1 > o ,
只需f0 V 0，
f1
2 >o ,
-3 — 4a > 0, 即 1 - 2a v 0,
解得学a v 3.
2 4
f(x) = ax 2 + bx + 1, g(x) = a 2x 2 + bx + 1•若函数 f(x)
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|ln x|+ 3, x> 0,
1.(2019镇江期中)函数f(x)= 2冇冇门右关于x的方程f2(x) + bf(x) + 4b
—x —2x—2, x w 0,
+ 1 = 0有4个不同的实数根，则实数b的取值范围是 ____
解析：令t= f(x)，则原方程等价于t2+ bt+ 1 + 4b = 0.作出函数f(x)的图象如图所示.
由
图象可
知，当
t> 3,
—2<
t v—1
时，函
[g(— 2 尸5+ 2b> 0,令g(t) = t2+ bt+ 1 + 4b,则由根的分布可得g — 1 = 2+ 3b v 0,
g3 = 10+ 7b v 0,
解得一号三b v —书.
一一 5 一侧
J〉7 )
x _ 一x 2. (2019 南京调研)设函数f k(x)= 2 + (k—1) 2 (x€ R, k€ Z).答案:
17 (1)若f k(x)是偶函数，求不等式f k(x)> —的解集;
⑵设不等式f o(x) + mf i(x)w 4的解集为A,若A n ［1,2］工？，求实数m的取
值范
(3)设函数g(x)=入f x)—f2(2x)—2，若g(x)在x€ ［1 ,+s )上有零点，求实数入的取值范围. 解：⑴因为f k(x)是偶函数，所以f k(—X) = f k(x)恒成立, 即2 —
x+ (k —1) 2x= 2x+ (k—1) 2—x, 所以k = 2.
由2x+ 2 —x>立，得4 22x—17 2x+ 4>0, 4
1
解得2x v 1 或2x> 4,即x v—2或x> 2,
17
所以不等式f k(x) >17的解集为{x|x v—2或x> 2}.
⑵不等式f°(x) + mf1(x)w 4，即为2x—2 x+ m 2x< 4,
2—x—2x+ 4 j
所以m w ------ ，即m w京
1
令t=尹x€ [1,2]，则t
€
设h(t) = t2+ 4t—1, t€~1 4
则h(t)max= h 1= 4.
由A n ［1,2］丰?，即不等式f o(x)+ mf1(x)w 4在［1,2］上有解,
5
则需 m W h(t)max ，即 m W -.
4 所以实数m 的取值范围为
—g,-.
⑶函数 g(x)= 42x — 2—
x ) — (22x + 2— 2x
) — 2 在 x € [1, + g )上有零点, 即 X 2x — 2 —
x )—(22x + 2
—2x
)
— 2 = 0 在 x € [1, + g )上有解， 因为 x € [1, + g )，所以 2x — 2—
x > 0,
r^~x
I 2-
2x | 2
所以问题等价于
k= ——x_在x € [1, + g )上有解.
2 — 2
x 1
令 p = 2x ，贝U p >2，令 u = p — p , 则u 在p € [2, + g )上单调递增， 3 u + 4
因此u 》3, k=- .
2 u
上单调递减，当 u 》2时，r (u) > 0,即函数r(u)在 [2 ,+g )上单调递增,
所以函数r(u)在 u = 2时取得最小值，且最小值 r(2) = 4,
所以 r(u)€ [4, + g ), 从而满足条件的实数
入的取值范围是[4, + g ).
设 r( u)=
u 2+ 4
u
(u) = 1-
皐当号
W u W 2
时,「’
(u)W 0
即函数r(u)在;。