高中数学 1.2.2第2课时 分段函数、映射课时作业 新人

活页作业(九) 分段函数、映射
知识点及角度
难易度及题号
基础中档稍难
分段函数4、67、912
分段函数的图象38 11
映射的概念及应用1、2、5 10
1．已知集合M＝{x|0≤x≤6}，P＝{y|0≤y≤3}，则下列对应关系中，不能构成M到P 的映射的是( )
A．f：x→y＝
1
2
x B．f：x→y＝
1
3
x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝
1
6
x
解析：由映射定义判断，选项C中，x＝6时，y＝6∉P.
答案：C
2．在给定映射f：A→B即f：(x，y)→(2x＋y，xy)(x，y∈R)的条件下，与B中元素⎝
⎛
⎭⎪
⎫
1
6
，－
1
6对应的A中元素是( )
A.
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
1
6
，－
1
36
B．
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
1
3
，－
1
2
或
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
－
1
4
，
2
3
C.
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
1
36
，－
1
6
D．.
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
1
2
，－
1
3
或
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
－
2
3
，
1
4
解析：由
⎩⎪
⎨
⎪⎧2x＋y＝16，
xy＝－
1
6
，
得
⎩⎪
⎨
⎪⎧x＝13，
y＝－
1
2
或
⎩⎪
⎨
⎪⎧x＝－14，
y＝
2
3
.
故选B.
答案：B
3．下列图象是函数y＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧x2，x＜0
x－1，x≥0
的图象的是( )
解析：由于f(0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x＜0时，y＝x2，则函数是开口向上的抛物线在y轴左侧的部分．因此只有图象C符合．
答案：C
4．已知f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x －5，x ≥6，
f x ＋2，x <6，
则f (3)为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：f (3)＝f (5)＝f (7)＝7－5＝2. 答案：A
5．已知函数f (x )的图象如下图所示，则f (x )的解析式是________．
解析：由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x ＜0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，
(0,1)代入解析式，则⎩⎪⎨
⎪⎧
－a ＋b ＝0，
b ＝1.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝1，
∴f (x )＝x ＋1.
当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则
k ＝－1，∴f (x )＝－x .
综上f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋1，-1≤x <0－x ，0≤x ≤1
答案：f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋1，
－1≤x ＜0，－x ， 0≤x ≤1.
6．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x 2
， x ≤1
x 2
＋x －2，x ＞1，则f ⎝
⎛⎭
⎪
⎫1f 2的值为________．
解析：f (2)＝22
＋2－2＝4，∴
1f 2＝1
4
， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516.
答案：1516
7．如图是一个电子元件在处理数据时的流程图：
(1)试确定y 与x 的函数解析式． (2)求f (－3)，f (1)的值． (3)若f (x )＝16，求x 的值．
解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋22
，x ≥1，
x 2
＋2，x ＜1.
(2)f (－3)＝(－3)2
＋2＝11；
f (1)＝(1＋2)2＝9.
(3)若x ≥1，则(x ＋2)2
＝16， 解得x ＝2或x ＝－6(舍去) 若x ＜1，则x 2
＋2＝16， 解得x
＝14(舍去)或x ＝－14. 综上，可得x ＝2或x ＝－14.
8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋2 －1＜x ＜0，
－1
2x 0≤x ＜2，
3 x ≥2.则f (x )的值域是( )
A ．(－1,2)
B ．(－1,3]
C ．(－1,2]
D ．(－1,2)∪{3}
解析：对f (x )来说，当－1＜x ＜0时，f (x )＝2x ＋2∈(0,2)；当0≤x ＜2时，f (x )＝－1
2
x ∈(－1,0]；当≥2时，f (x )＝3.故函数y ＝f (x )的值域为(－1,2)∪{3}．故选D. 答案：D
9．若定义运算a ⊙b ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ，a ≥b ，
a ，a ＜
b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是________．
解析：由题意得f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ，x ＜1，
2－x ，x ≥1画函数f (x )的图象，得值域是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
10．已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，
x2＋1)，求A
中元素2在B中的对应元素和B中元素⎝
⎛
⎭⎪
⎫
3
2
，
5
4
在A中的对应元素．解：将x＝2代入对应关系，可求出其在B中的对应元素(2＋1,3)．
由
⎩⎪
⎨
⎪⎧x＋1＝32，
x2＋1＝
5
4
，
得x＝
1
2
.
所以2在B中的对应元素为(2＋1,3)，⎝
⎛
⎭⎪
⎫
3
2
，
5
4
在A中的对应元素为
1
2
.
11．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分钟)的关系，试写出y＝f(x)的函数解析式．
解：当∈[0,30]时，设y＝k1x＋b1，
由已知得
⎩⎪
⎨
⎪⎧b1＝0，
30k1＋b1＝2，
解得
⎩⎪
⎨
⎪⎧k1＝1
15
，
b1＝0，
∴y＝
1
15
x.
当x∈(30,40)时，y＝2；
当x∈[40,60]时，设y＝k2x＋b2，
由已知得
⎩⎪
⎨
⎪⎧40k2＋b2＝2，
60k2＋b2＝4，
解得
⎩⎪
⎨
⎪⎧k2＝1
10
，
b2＝－2，
∴y＝
1
10
x－2.
综上，f(x)＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧115x，x∈[0，30]，
2，x∈30，40，
1
10
x－2，x∈[40，60].
12．已知f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
，－1≤x ≤1，
1，x ＞1或x ＜－1，
(1)画出f (x )的图象．
(2)若f (x )≥1
4，求x 的取值范围．
(3)求f (x )的值域． 解：
(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．
(2)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫±12＝1
4
，结合此函数图象可知，使f (x )≥14的x 的取值范围是
⎝
⎛
⎦⎥⎤
－∞，－
1
2
∪⎣
⎢⎡⎭
⎪⎫
1
2
，＋∞. (3)由图象知，当－1≤x ≤1时，
f (x )＝x 2的值域为[0,1]，
当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＝1. 所以f (x )的值域为[0,1]．
1．对分段函数的三点认识
(1)分段是针对定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对应关系不一样． (2)一般而言，分段函数的定义域部分是各不相交的，这是由函数定义中的唯一性决定的．
(3)分段函数的图象应分段来作，它可以是一条平滑的曲线，也可以是一些点、一段曲线、一些线段或曲线段等．作图时，要特别注意各段两端点是用实点还是用空心圈表示．
2．对映射概念的三点认识
(1)映射包括非空集合A ，B 以及对应关系f ，其中集合A ，B 可以是数集，可以是点集，也可以是其他任何非空的集合．(关键词：非空集合)
(2)集合A ，B 是有先后顺序的，即A 到B 的映射与B 到A 的映射是不同的．(关键词：顺序)
(3)集合A 中每一个元素在集合B 中必有唯一的元素和它对应(有，且唯一)，但允许B
中元素在A中无元素与之相对应．(关键词：唯一)。