数学_2012年北京市海淀区高考数学一模试卷(理科)(含答案)

2012年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A ＝{x|x >1}，B ＝{x|x <m}，且A ∪B ＝R ，那么m 的值可以是（ ） A −1 B 0 C 1 D 2
2. 在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝a 3a 5，则a 7＝（ ） A 1
16
B 1
8
C 1
4
D 1
2
3. 在极坐标系中，过点(2,
3π2
)且平行于极轴的直线的极坐标方程是（ ）
A ρsinθ=−2
B ρcosθ=−2
C ρsinθ=2
D ρcosθ=2 4. 已知向量a →
=(1, x)，b →
=(−1, x)，若2a →
−b →
与b →
垂直，则|a →
|=( ) A √2 B √3 C 2 D 4
5. 执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（ ）
A 4
B 5
C 6
D 7
6. 从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是（ ） A 12 B 24 C 36 D 48
7. 已知函数f(x)={−x 2+ax ，x ≤1，
ax −1,x >1， 若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f(x 1)=f(x 2)成
立，则实数a 的取值范围是（ ）
A a <2
B a >2
C −2<a <2
D a >2或a <−2
8. 在正方体ABCD −A′B′C′D′中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 与AC′所成的角为45∘的点P 的个数为（ ）
A 0
B 3
C 4
D 6
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. 9. 复数
a+2i 1−i
在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数a =________．
10. 过双曲线x 2
9−y 2
16=1的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是________． 11. 若tanα=1
2，则cos(2α+π
2)＝________．
12. 设某商品的需求函数为Q ＝100−5P ，其中Q ，P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQ
EP 大于1（其中EQ
EP =−Q ′
Q P ，Q ′是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是________．
13. 如图，以△ABC 的边AB 为直径的半圆交AC 于点D ，交BC 于点E ，EF ⊥
AB 于点F ，AF =3BF ，BE =2EC =2，那么∠CDE =________，CD =________． 14. 已知函数f(x)={1,x ∈Q 0,x ∈C R Q
则
(I)f （f(x)）=________； （II ）给出下列三个命题： ①函数f(x)是偶函数；
②存在x i ∈R(i =1, 2, 3)，使得以点（x i , f(x i )）(i =1, 2, 3)为顶点的三角形是等腰直角三角形；
③存在x i ∈R(i =1, 2, 3, 4)，使得以点（x i , f(x i )）(i =1, 2, 3, 4)为顶点的四边形为菱形． 其中，所有真命题的序号是________．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列． （1）若b =√13，a =3，求c 的值； （2）设t =sinAsinC ，求t 的最大值．
16. 在四棱锥P −ABCD 中，AB // CD ，AB ⊥AD ，AB =4,AD =2√2,CD =2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝4．
(Ⅰ)设平面PAB ∩平面PCD ＝m ，求证：CD // m ； (Ⅱ)求证：BD ⊥平面PAC ；
(Ⅲ)设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC 所成角的正弦值为√3
3，求PQ
PB 的值．
17. 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0, 100]，样本数据分组为[0, 20),[20, 40),[40, 60),[60, 80),[80, 100]． （1）求直方图中x 的值；
（2）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；
（3）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）
18. 已知函数f(x)=e −kx (x 2+x −1
k )(k <0)．
（1）求f(x)的单调区间；
（2）是否存在实数k ，使得函数f(x)的极大值等于3e −2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．
19. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为F 1(−1, 0)，P 为椭圆G 的上顶点，且∠PF 1O ＝45∘． (Ⅰ)求椭圆G 的标准方程；
(Ⅱ)已知直线l 1:y ＝kx +m 1与椭圆G 交于A ，B 两点，直线l 2:y ＝kx +m 2(m 1≠m 2)与椭圆G 交于C ，D 两点，且|AB|＝|CD|，如图所示． (ⅰ)证明：m 1+m 2＝0；
(ⅱ)求四边形ABCD 的面积S 的最大值．
20. 对于集合M ，定义函数f M (x)={−1,x ∈M
1,x ∉M. 对于两个集合M ，N ，定义集合M △N ＝
{x|f M (x)⋅f N (x)＝−1}．已知A ＝{2, 4, 6, 8, 10}，B ＝{1, 2, 4, 8, 16}． (Ⅰ)写出f A (1)和f B (1)的值，并用列举法写出集合A △B ；
(Ⅱ)用Card(M)表示有限集合M 所含元素的个数，求Card(X △A)+Card(X △B)的最小值；
(Ⅲ)有多少个集合对(P, Q)，满足P，Q⊆A∪B，且(P△A)△(Q△B)＝A△B？
2012年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）答案
1. D
2. B
3. A
4. C
5. B
6. D
7. A
8. B
9. 2
10. 4x−3y−20=0
11. −4
5
12. (10, 20)
13. 60∘,3√13
13
14. 1，①③．
15. 解：（1）因为A，B，C成等差数列，所以2B=A+C．
因为A+B+C=π，所以B=π
3
．
因为b=√13，a=3，b2=a2+c2−2accosB，所以c2−3c−4=0，解得c=4，或c=−1（舍去）．
（2）因为A+C=2
3π，所以，t=sinAsin(2π
3
−A)=sinA(√3
2
cosA+1
2
sinA)
=√3
4sin2A+1
2
(1−cos2A
2
)=1
4
+1
2
sin(2A−π
6
)．
因为0<A<2π
3，所以，−π
6
<2A−π
6
<7π
6
．
所以当2A−π
6=π
2
，即A=π
3
时，t有最大值3
4
．
16. （1）如图所示，过点B作BM // PA，并且取BM＝PA，连接PM，CM．∴ 四边形PABM为平行四边形，∴ PM // AB，
∵ AB // CD，∴ PM // CD，即PM为平面PAB∩平面PCD＝m，m // CD．（2）在Rt△BAD和Rt△ADC中，由勾股定理可得
BD=√42+(2√2)2=2√6，AC=√22+(2√2)2=2√3．
∵ AB // DC，∴ OD
OB =OC
OA
=2
4
=1
2
，
∴ OD=1
3BD=2√6
3
，OC=1
3
AC=2√3
3
．
∴ OD 2+OC 2=(
2√63
)2
+(
2√33
)2
=4＝CD 2，
∴ OC ⊥OD ，即BD ⊥AC ；
∵ PA ⊥底面ABCD ，∴ PA ⊥BD ． ∵ PA ∩AC ＝A ，∴ BD ⊥平面PAC ．
(Ⅲ)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0, 0, 0)， B(4, 0, 0)，D(0, 2√2, 0)，C(2, 2√2, 0)，P(0, 0, 4)． ∴ PB →
=(4,0,−4)，
设PQ →=λPB →，则Q(4λ, 0, 4−4λ)，∴ QC →
=(2−4λ,2√2,4λ−4)． BD →=(−4,2√2,0)，由（2）可知BD →
为平面PAC 的法向量． ∴ cos <BD →
,QC →
>=
BD →
⋅QC →
|BD →
||QC →|
=
16λ
2√6√(2−4λ)2+(2√2)2+(4λ−4)2
，
∵ 直线QC 与平面PAC 所成角的正弦值为√3
3， ∴ √3
3=
|16λ|
2√6√(2−4λ)2+8+(4λ−4)2
，
化为12λ＝7，解得λ=7
12． ∴ PQ
PB =7
12．
17. 解：（1）由直方图可得：20×x +0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=1． 所以 x =0.0125．
（2）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003×2×20=0.12， 因为600×0.12=72，
所以600名新生中有72名学生可以申请住宿． （3）X 的可能取值为0，1，2，3，4．
由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为1
4， P(X =0)=(3
4)4=81
256，
P(X =1)=C 41
(14
)(34)3=
2764
， P(X =2)=C 42(14)2(34)2=
27128，
P(X =3)=C 43(1
4)3(3
4)=3
64，
P(X =4)=(14
)4=
1
256
．
所以X 的分布列为：
EX =0×
81256
+1×
2764
+2×
27128
+3×364
+4×
1256
=1．（或EX =4×14
=1）
所以X 的数学期望为1．
18. 解：（1）f(x)的定义域为R ，
f′(x)=−ke −kx (x 2+x −1
k )+e −kx (2x +1)=e −kx [−kx 2+(2−k)x +2]，即 f ′(x)=−e −kx (kx −2)(x +1)(k <0)． 令f ′(x)=0，解得：x =−1或x =2
k ．
①当k =−2时，f ′(x)=2e 2x (x +1)2≥0， 故f(x)的单调递增区间是(−∞, +∞)；
②当−2<k <0时，f(x)，f ′(x)随x 的变化情况如下：
所以，函数f(x)的单调递增区间是(−∞,2k )和(−1, +∞)，单调递减区间是(2k
，−1)． ③当k <−2时，f(x)，f ′(x)随x 的变化情况如下：
所以，函数f(x)的单调递增区间是(−∞, −1)和(2k
，+∞)，单调递减区间是(−1,2k
)． 综上，当k =−2时，f(x)的单调递增区间是(−∞, +∞)；当−2<k <0时，f(x)的单调递增区间是(−∞,2
k )和(−1, +∞)，单调递减区间是(2
k ，−1)；
当k <−2时，f(x)的单调递增区间是(−∞, −1)和(2
k ，+∞)，单调递减区间是(−1,2
k )． （2） ①当k =−2时，f(x)无极大值．
②当−2<k <0时，f(x)的极大值为f(2k
)=e −2(
4k
2+1
k
)，
令e −2(
4
k 2
+1k
)=3e −2，即
4
k 2
+1k
=3，解得 k =−1或k =4
3
（舍）．
③当k <−2时，f(x)的极大值为f(−1)=−e k k
． 因为 e k <e −2，0<−1
k <1
2，所以 −
e k k
<1
2e −2．
因为 1
2e −2<3e −2，所以 f(x)的极大值不可能等于3e −2， 综上所述，当k =−1时，f(x)的极大值等于3e −2． 19. （1）设椭圆G 的标准方程为
x 2a
2+
y 2b 2
=1(a >b >0)．
因为F 1(−1, 0)，∠PF 1O ＝45∘，所以b ＝c ＝1．
所以，a 2＝b 2+c 2＝2．
所以，椭圆G 的标准方程为x 2
2+y 2=1．
（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，C(x 3, y 3)，D(x 4, y 4)． (ⅰ)证明：由{y =kx +m 1
x 2
2
+y 2
=1.
消去y 得：(1+2k 2)x 2+4km 1x +2m 12
−2=0．
则△=8(2k 2−m 12
+1)>0，{x 1+x 2=−4km
1
1+2k 2
x 1x 2=2m 12−2
1+2k 2.
⋯ 所以 |AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+
k 2√(−4km 11+2k 2
)
2
−4⋅2m 1
2−21+2k 2
=2√2√1+k 2
√2k 2−m 1
2+11+2k 2
．
同理 |CD|=2√2√1+k 2
√2k 2−m 2
2+11+2k 2
．
因为|AB|＝|CD|， 所以 2√2√1+k 2
√2k 2−m 1
2+11+2k 2
=2√2√1+k 2
√2k 2−m 2
2+11+2k 2
．
因为 m 1≠m 2，所以m 1+m 2＝0．
(ⅱ)由题意得四边形ABCD 是平行四边形，设两平行线AB ，CD 间的距离为d ，则 d =
12√1+k 2
．因为 m 1+m 2＝0，所以 d =
1√1+k 2
．
所以 S =|AB|⋅d =2√2√1+k 2√2k 2−m 1
2+11+2k 2
⋅1√1+k 2
=4√2
√(2k 2−m 12+1)m 1
21+2k 2
≤4√2
2121
221+2k 2
=
2√2． （或S =4√2√
(2k 2+1)m 12−m 1
4(1+2k 2)2
=4√2√−(m 12
1+2k 2−12)2+1
4≤2√2）
所以 当2k 2+1=2m 12
时，四边形ABCD 的面积S 取得最大值为2√2．
20. （1）结合所给定义知，f A (1)＝1，f B (1)＝−1，A △B ＝{1, 6, 10, 16}． （2）根据题意可知：对于集合C ，X ，
①若a∈C且a∉X，则Card(C△(X∪{a})＝Card(C△X)−1；
②若a∉C且a∉X，则Card(C△(X∪{a})＝Card(C△X)+1．
所以要使Card(X△A)+Card(X△B)的值最小，2，4，8一定属于集合X；
1，6，10，16是否属于X不影响Card(X△A)+Card(X△B)的值，但集合X不能含有A∪B 之外的元素．
所以当X为集合{1, 6, 10, 16}的子集与集合{2, 4, 8}的并集时，Card(X△A)+Card(X△B)取到最小值4．
所以Card(X△A)+Card(X△B)的最小值
(Ⅲ)因为A△B＝{x|f A(x)⋅f B(x)＝−1}，
所以A△B＝B△A．
由定义可知：f A△B(x)＝f A(x)⋅f B(x)．
所以对任意元素x，f
（A△B）△C
(x)＝f A△B(x)⋅f C(x)＝f A(x)⋅f B(x)⋅f C(x)，
f
A△（B△C）
(x)＝f A(x)⋅f B△C(x)＝f A(x)⋅f B(x)⋅f C(x)．
所以f
（A△B）△C (x)＝f
A△（B△C）
(x)．
所以(A△B)△C＝A△(B△C)．
由(P△A)△(Q△B)＝A△B知：(P△Q)△(A△B)＝A△B．所以(P△Q)△(A△B)△(A△B)＝(A△B)△(A△B)．
所以P△Q△⌀＝⌀．
所以P△Q＝⌀，即P＝Q．
因为P，Q⊆A∪B，
所以满足题意的集合对(P, Q)的个数为27＝128．。