沪教版高一数学第三章幂、指数与对数讲义

第三章幂、指数与对数【过关测试】
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知21
3
log a =
，则32a =______． 2．已知1
7a a
+
=，则22a a -+=______． 3．幂函数 f （x ）=x α（α∈R ）过点(2,√2)，则f （4）= ．
4．求值：
28log 3
log 9
=________. 5．若log 21x =，则x = ___________
6
．2
2
312
3(2018) 1.5(3)log 8--+⨯+=____________
7．计
8．4
3)=__________．
9．已知实数a 满足()()3
3
22211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________. 10．函数
的定义域为 .
11．函数21y ax =-在[0,2]上的最大值是7，则指数函数x y a =在[0,3]上的最大值与最小值之和为 ．
12．设3log 18a =，5log 50b =，7log 98c =，则,,a b c 的大小关系为__________（用“<”连
接）.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知集合{}
40log 1A x x =<<，{}
2
40B x x =-≤，则A
B =（ ）
A ．()0,1
B ．(]0,2
C ．()1,2
D ．(]1,2
14．使对数()log 21a a -+有意义的a 的取值范围为（ ）
A ．()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪
⎝⎭
B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．()()0,11,+∞
D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
15⋅=（ ）
A B ．5
C ．
D ．25
16．若幂函数()
3
222
33-+++=m m
x m m y 的图象不过原点，且关于原点对称，则
A ．m=-2
B ．m=-1
C ．m=-2或m=-1
D ．-3<m<1
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．已知幂函数()f x x α=的图像经过点(8,2)，求(27)f -的值.
18．求下列函数的定义域、值域.
（1）y ＝313
x
x
+；（2）y ＝4x －2x ＋1.
19．设
1 ()3,()()
3
x x f x g x
==.
(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？20．计算下列各式的值．
（1）4
6
0.2503
2)8( 2.017)⨯+-+-；
（2+．
21．已知函数()()lg ,,01mx f x n m n R m x ⎛⎫
=+∈>
⎪+⎝⎭
的图象关于原点对称. （Ⅰ）求m ，n 的值； （Ⅱ）若函数()()2
lg 221
x
x
x
b
h x f ⎛⎫
=--
⎪+⎝⎭
在()0,1内存在零点，求实数b 的取值范围.
第三章幂、指数与对数【过关测试】
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知21
3
log a =，则32a =______．
【分析】先利用对数的运算法则求出a ，由此能求出3
2a ． 【详解】∵21
3
log a =
，∴132a =， ∴13
3
322(2)a ==
．
【点睛】本题主要考查指数与对数运算法则等基础知识，考查运用求解能力，基础题． 2．已知1
7a a
+=，则22a a -+=______． 【答案】47
【分析】根据完全平方式进行变形即可.
【详解】
222117247a a a a a a
-+
=∴+=+-=，（） 【点睛】考查完全平方式的应用，基础题.
3．幂函数 f （x ）=x α（α∈R ）过点(2,√2)，则f （4）= ． 【答案】2
【解析】试题分析：将点代入幂函数，得，解得，所以,那
么
考点:幂函数的性质
4．求值：
28log 3
log 9
=________. 【答案】
32
【分析】利用对数的换底公式化简计算即可得到答案.
【详解】
28lg 3
log 3lg 3lg8lg 33lg 23
lg 2lg 9log 9lg 2lg 9lg 22lg 32lg8
==⨯=⨯=. 故答案为：
32
【点睛】本题主要考查对数的换底公式，同时考查对数的运算，属于简单题. 5．若log 21x =，则x = ___________ 【答案】2
【分析】根据指数和对数的关系log x
a a N x N =⇔=()01a a >≠且可得.
【详解】解：
log 21x =
12x ∴=
即2x = 故答案为：2
【点睛】本题考查指数和对数的关系，属于基础题.
6
．2
2
312
3(2018) 1.5(3)log 8--+⨯+=____________
【答案】
34
【分析】利用指数与对数的运算性质可得出答案．
【详解】(
)2
22
5
3
3
2
41122
33272018 1.53log 1log 2828--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⨯+=+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1
2
3
53
4
2434951log 2192944-⎡
⎤⎛⎫
=+⨯+=+⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
53
244=-
=，故答案为34
. 【点睛】本题考查指数幂的运算与对数的运算，熟练应用指数幂和对数的运算性质是解题的关键，考查计算能力，属于基础题．
7．计
【答案】
12
试题2323
3lg 2(3)312lg 2+=+=． 考点：对数的运算，指数的运算． 8．43
)=__________． 【答案】2
【解析】4
3
4
111)
13
22)((2
)
22+===
9．已知实数a 满足()()3
3
22211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.
【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】根据幂函数的定义域和单调性得到关于a 的不等式，解之可得实数a 的取值范围.
【详解】由题意知，332
2
(21)
(1)a a -
-
->+，
> 由于幂函数3
2
y x =的定义域为[0,)+∞，且在[0,)+∞上单调递增，
则2101121110
a a a a ->⎧⎪⎪>⎨-+⎪+>⎪⎩，即：()()12202111a a a a a ⎧>⎪⎪-⎪
>⎨-+⎪⎪>-⎪
⎩
，所以1221a a a ⎧>⎪⎪<⎨⎪>-⎪⎩， 所以实数a 的取值范围是：
1
22
a <<。

故填：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭。

【点睛】本题主要考查幂函数的定义域和单调性，属于基础题。

10．函数的定义域为 .
【答案】(1
2,+∞)
【分析】令2x ﹣1＞0解出x 的范围，即可得出定义域． 【详解】由函数有意义得2x ﹣1＞0，解得x ＞12
．
∴y ＝log 3（2x ﹣1）的定义域为（1
2，+∞）． 故答案为（12
，+∞）．
【点睛】本题考查了对数函数的定义域问题，保证真数大于0是关键，属于基础题． 11．函数21y ax =-在[0,2]上的最大值是7，则指数函数x y a =在[0,3]上的最大值与最小值之和为 ．
【答案】9
试题分析：显然21y ax =-在[0,2]上是单调的，0x =时，1y =-，因此417a -=，2a =，函数2x y =在[0,3]上的最小值为021=，最大值为328=，和为9． 考点：函数的最值．
【名师点睛】1．一次函数()f x ax b =+不是增函数就是减函数，因此其在闭区间上的最值一定在区间端点处取得．
2．指数函数x y a =(01)a a >≠且与对数函数log a y x =(01)a a >≠且在01a <<时是减函数，在1a >时，是增函数，因此这两类函数的单调性要按a 分类．
12．设3log 18a =，5log 50b =，7log 98c =，则,,a b c 的大小关系为__________（用“<”连
接）.
【答案】c b a <<
【解析】()333log 18log 922log 2a ==⨯=+，()555log 50log 2522log 2b ==⨯=+，
()777log 98log 4922log 2c ==⨯=+，
又357log 2log 2log 2>>， ∴a b c >>， 故答案为：c b a <<
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知集合{}
40log 1A x x =<<，{}
2
40B x x =-≤，则A
B =（ ）
A ．()0,1
B ．(]0,2
C ．()1,2
D ．(]1,2
【答案】D
【分析】根据对数函数的单调性化简集合A ，解不等式化简集合B ，按交集的定义，即可求
解.
【详解】由题意得{}
14A x x =<<，{}
22B x x =-≤≤， 所以{}
12A B x x ⋂=<≤.
故选：D.
【点睛】本题考查集合间的运算以及对数函数的性质，属于基础题. 14．使对数()log 21a a -+有意义的a 的取值范围为（ ）
A ．()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．()()0,11,+∞
D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
【答案】B
【分析】根据底大于零且不等于1，真数大于零列不等式组，解不等式组即可.
【详解】使对数()log 21a a -+有意义的a 需满足01
210a a a >⎧⎪
≠⎨⎪-+>⎩
, 解得102
a <<． 故选B ．
【点睛】本题考查对数式的性质，对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0，是基础题． 15⋅=（ ）
A B ．5
C ．
D ．25
【答案】C
【解析】⋅2
⎡=
==⎢⎥⎣
⎦
，故应选C.
点睛:指数运算性质()n
n n ab a b =⨯
16．若幂函数()322233-+++=m m x m m y 的图象不过原点，且关于原点对称，则
A ．m=-2
B ．m=-1
C ．m=-2或m=-1
D ．-3<m<1
【答案】A
试题分析：函数为幂函数，所以1332=++m m ，解得21-=-=m m 或，即()41x x f =或()51x x f =，又图象关于原点对称，所以()51x
x f =，即2-=m ． 考点：幂函数性质．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．已知幂函数()f x x α=的图像经过点(8,2)，求(27)f -的值.
【答案】-3.
【分析】把点的坐标代入函数的解析式中，求出参数，然后把27=-x 代入函数解析式中求值即可
【详解】解：()f x x α=的图像经过点(8,2),128,3
a α∴=∴=， 11
3
3(),(27)(27)3f x x f ∴=∴-=-=-.
【点睛】本题考查了求幂函数解析式，考查了求函数值问题，考查了数学运算能力. 18．求下列函数的定义域、值域. （1）y ＝313
x
x +；（2）y ＝4x －2x ＋1. 【答案】（1）定义域为R ；值域为(0，1)；（2）定义域为R ；值域为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.
【分析】（1）降次后根据30x >，即可求出函数的值域.
（2）函数为指数函数与一元二次函数的复合函数，根据复合函数的值域求法即可求出答案. 【详解】（1）∵对一切x∈R，3x≠－1；
∴函数的定义域为R；
∵y＝131
13
x
x
+-
+
＝1－
1
13x
+
；
又∵3x>0，1＋3x>1；
∴0<
1
13x
+
<1，∴－1<－
1
13x
+
<0；
∴0<1－
1
13x
+
<1，∴值域为(0，1).
（2）函数的定义域为R；
y＝(2x)2－2x＋1＝
1
2
2
x
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
2＋
3
4
；
∵2x>0，∴2x＝1
2
，即x＝－1时，y取最小值
3
4
；
同时y可以取一切大于3
4
的实数；
∴值域为
3
,
4
⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭.
【点睛】本题考查函数的值域，属于基础题.复合函数的值域求法：先求内层函数的值域，再根据内层函数的取值范围找外层函数取值范围.
19．设
1 ()3,()()
3
x x f x g x
==.
(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
【分析】(1)作出函数的图像.(2) 计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中发现：两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称．
【详解】(1)函数f (x )，g (x )的图象如图所示：
(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝1
13-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝3， f (π)＝3π，g (－π)＝13π-⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝3π， f (m )＝3m ，g (－m )＝13m -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝3m .
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称．
【点睛】本题主要考查指数函数的图像和性质，考查指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
20．计算下列各式的值．
（1
）460.2503
2)8( 2.017)⨯+-+-； （2
+．
【答案】（1）217；（2
）2【分析】（1）利用根式、指数运算公式化简所求表达式.
（2）利用完全平方公式，结合根式运算化简所求表达式.
【详解】（1）原式()4
61131133324
442232221⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2311223221217=⨯⨯+-+=
.
（2）原式
22===【点睛】本小题主要考查根式、指数运算，考查运算求解能力，属于基础题. 21．已知函数()()lg ,,01mx f x n m n R m x ⎛⎫=+∈>
⎪+⎝⎭的图象关于原点对称. （Ⅰ）求m ，n 的值；
（Ⅱ）若函数()()2lg 221x x x b h x f ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭
在()0,1内存在零点，求实数b 的取值范围. 【答案】（1）1n =-，2m =；（2）27b <<
试题分析：
（Ⅰ）题意说明函数()f x 是奇函数，因此有()
()0f x f x 恒成立，由恒等式知识可得
关于,m n 的方程组，从而可解得,m n ； （Ⅱ）把函数()h x 化简得221()lg (2)2x x x
h x b -=--，这样问题转化为方程221(2)2x x x b -=--在(0,1)内有解，也即22(2)221(21)2x x x b =+⨯-=+-在(0,1)内有解，只要作为函数，求出函数的值域即得．
试题解析：
（Ⅰ）函数()()lg ,,01mx f x n m n R m x ⎛⎫=+∈> ⎪+⎝⎭
的图象关于原点对称， 所以()()0f x f x -+=，所以lg lg 011mx mx n n x x -⎛⎫⎛⎫+++=
⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭， 所以111mx mx n n x x -⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪-++⎝⎭⎝⎭，即()22221101
m n x n x ⎡⎤+-+-⎣⎦=-，
所以()2210100n m n m ⎧-=⎪⎪+-=⎨⎪>⎪⎩
，
解得1n =-，2m =；
（Ⅱ）由()()()221212lg 2lg lg 2lg 21212122x x x
x x x x x x x b b h x f b --⎛⎫⎛⎫
=--=--= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭--，由题设知()0h x =在()0,1内有解，即方程()22122x x x b -=--在()0,1内有解. ()()22
1221212x x x b +=+-=+-在()0,1内递增，得27b <<. 所以当27b <<时，函数()()221
x x b h x f x =+-+在()0,1内存在零点.。