泛函分析习题

泛函分析习题
泛函分析练习题
⼀名词解释：
1.范数与线性赋范空间
2.⽆处稠密⼦集与第⼀纲集
3.紧集与相对紧集
4.开映射
5.共轭算⼦
6. 内点、内部：
7. 线性算⼦、线性范函：
8. ⾃然嵌⼊算⼦
9. 共轭算⼦
10. 内积与内积空间：
11. 弱有界集：
12. 紧算⼦：
13. 凸集
14. 有界集
15. 距离
16. 可分
17. Cauchy 列
18.⾃反空间
⼆、定理叙述
1、压缩映射原理
2. 共鸣定理
3.逆算⼦定理
4. 闭图像定理
5.实空间上的Hahn-Banach 延拓定理
6、Baire 纲定理
7、开映射定理
8、Riesz 表现定理
三证明题：
1.若(,)x ρ是度量空间，则1d ρρ=
+也使X 成为度量空间。

证明：,,x y z X ?∈
显然有（1）(,)0d x y ≥，(,)0d x y =当且仅当x y =。

（2）(,)(,)d x y d y x =
（3）由1()111t f t t t =
=-++，(0)t >关于t 单调递增，得 (,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,)
x z x y y z d x z x z x y y z ρρρρρρ+=≤+++
(,)(,)1(,)1(,)
x y y z x y y z ρρρρ≤+++ (,)(,)d x y d y z =+
故d 也是X 上的度量。

2，设H 是内积空间，,,,n n x x y y H ∈，则当,n n x x y y →→时，(,)(,)n n x y x y →，即内积关于两变元连续。

证明：22|(,)(,)||(,)|||||||||n n n n n n x y x y x x y y x x y y -=--≤-?-
已知 ,n n x x y y →→，即||||0,||||0n n x x y y -→-→。

故有 2|(,)(,)|0n n x y x y -→
即 (,)(,)n n x y x y →。

3.考虑[,]C a b 上的⾮线性积分⽅程
()(,,())()b
a x t k t s x s ds t λ?-=?
其中[,],(,,)C a b k t s ?ω∈是[,][,]a b a b R ??上的连续函数，满⾜
1212|(,,)(,,)|||k t s k t s b ωωωω-≤-
证明当||λ⾜够⼩时，此⽅程存在唯⼀解0[,]x C a b ∈。

证明：令
()()(,,())b
a Tx t t k t s x s ds ?λ=+?
则T 是[,][,]C a b C a b →的算⼦。

并且12,[,]x x C a b ?∈
1212|()()||(,,())(,,())|b
b a a
Tx t Tx t k t s x s ds k t s x s ds λλ-=-?? 12||
|(,,())(,,())|b
a k t s x s k t s x s ds λ≤-? 12|||||()()|b
a b x s x s ds λ≤-? 12||||()||||b b a x x λ≤--
所以1212||||||||()||||Tx Tx b b a x x λ-≤--。

故当||λ⾜够⼩时，T 为[,]C a b 到[,]C a b 的压缩算⼦，由压缩映射原理，存在唯⼀的0[,]x C a b ∈，使得00Tx x =，也即此⽅程存在唯⼀解0.x
4.若函数族{()}n f t 在紧集A 上等度连续并且点点收敛，则{()}n f t 在A 上⼀致收敛。

证明：由{()}n f t 在紧集A 上等度连
续，12120,0,..,,||||s t t t A t t εδδ?>?>?∈-<有 12|()()|, 1.3n n f t f t n ε
-
令()(),.n f t f t t A →?∈上式两端令n →∞得，12|()()|3n n f t f t ε
-<。

因为A 为紧集，存在A 的有限δ⽹12{,,,}m t t t ，对12{,,,}m t t t 存在N ，s.t. n N ?≥有 12|()()|,{,,,}.3n i i i m f t f t t t t t ε
-
12,{,,,},..||||.k m k t A t t t t s t t t δ?∈?∈-< 故
|()()||()()||()()||()()|n n n i n i i i f t f t f t f t f t f t f t f t -≤-+-+- .333ε
ε
ε
ε≤++=
此即{()}n f t 在A 上⼀致收敛。

5.设2()(),Tx t t x t =若T 是从21[0,1][0,1]L L →的算⼦，计算||||;T 若T 是从22[0,1][0,1]L L →的算⼦再求||||T 。

解：（1）当T 是从21[0,1][0,1]L L →的算⼦。

1
2
10|||||()|Tx t x t dt =?≤? 所以 ||||
T ≤。

取2
0()x t =，则02|||| 1.x = 4010||||Tx dt ==? 所以 ||||
T ≥。

故有
|||.T = （2）当T 是从22[0,1][0,1]L L →的算⼦时
11
421/221/22200||||(())(())||||Tx t x t dt x t dt x =≤=?? 所以 |||| 1.T ≤
取11)()1
0,01n t n x t t n -≤≤=??≤<-??
，则11/2211/||||1)1n n x dt -==?。

5141/21/2211/11(1)||||)[]5
n n n Tx t dt ---==? ⼜ 55
1/21/22111(1)1(1)lim ||||[]lim[]1155n n n n n n Tx n
→∞→∞----===? 所以 |||| 1.T ≥
故有|||| 1.T =
6.若||||?是[,]C a b 上的另⼀完备范数(原范数记为||||∞?),并且当||||
0n x x -→时必有|()()|0n x t x t -→,([,])t a b ?∈,则||||?与||||∞?等价.
证明: 定义 :([,],||||)([,],||||)T C a b C a b ∞?→?, ,[,].Tx x x C a b =?∈
因为([,],||||)C a b ?与([,],||||)C a b ∞?完备,显然T 是⼀⼀的到上的线性算⼦,故只须证明T 是连续算⼦.
||||0,||||n n x x Tx y ∞?-→-→
由已知 ||||0n x x -→时,必有|()()|0n x t x t -→,([,])t a b ?∈.
||||0n Tx y ∞-→,即()n x t ⼀致收敛到()y t .由收敛的唯⼀性知 ()(),x t y t =([,])t a b ?∈. 所以T 为闭算⼦,⼜([,],||||)C a b ?与([,],||||)C a
b ∞?完备, 由闭算⼦定理得,T 是连续算⼦.
7. 若(,),,n T X Y x x X ∈∈B 并且n x x ω??→，则n Tx Tx ω
→。

证 *f Y ?∈，令
:f T X →Φ，()()(),f T x f Tx x X =?∈。

则()*f T X ∈。

由n x x ω??→，知
()()()()n f T x f T x →，
即
()()n f Tx f Tx →
故有n Tx Tx ω??→。

8．应⽤H?der 不等式证明，若,f g 是(,,)µΩ∑上定义的⾮负可测函数， 01α≤≤，则
11()()f g d fd gd ααααµµµ--ΩΩΩ≤?
. 证令1/,1/(1)p q αα==-， 111/11/(1)1||||||||[()][()]p q f g d f g f d g d ααααααααααµµµ-----ΩΩΩ
≤= 1()()fd gd ααµµ-ΩΩ=??
此题得证。

9.设[,]E C a b ?，E 有界且满⾜α阶Lipschitz 条件
121212|()()|||,,[,],,x t x t C t t t t a b x E α-≤-∈?∈
(0)α>则E 是[,]C a b 中的相对紧集。

证 0ε?>，取1/(/)C αδε=，则12||t t δ?-<有
1212|()()|||,.x t x t C t t x E αε-≤-
故E 为等度连续函数。

⼜E 为有界，故由Arzela-Ascoli 定理知E 是相对紧集。

四论述题：
1、证明[,]C a b 完备，并叙述证明空间完备的⼀般步骤。

2、论述紧集、相对紧集、完全有界集、有界集的关系。

3、证明[,]
||||max ()t a b x x t ∈=为[,]c a b 上范数，并论述证明范数的⼀般步骤。