甘肃省陇南市礼县第一中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题

甘肃省陇南市礼县第一中学2024-2025学年高二上学期第二次
月考数学试题
一、单选题
1．已知()()1,2,,,1,2a y b x =-=r r
，且
()2a b +r r ∥()
2a b -r r ，则（ ） A ．1
,13
x y ==
B ．1,42
x y ==- C ．12,4
x y ==
D ．1,1x y ==-
2．已知复数1i z a =+（0a >），且3z =，则a =（ ）
A ．1
B ．2
C D ．3．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何? ”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深
4CD =-AB =¼ACB
与弦AB 围成的弓形的面积为（ ）
A ．4π
B ．8
C ．4π8-
D ．8π8-
4．已知1sin 33πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，则cos(2)3πα-=（ ）
A ．79-
B ．79
C ．2
9-
D ．2
9
5．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，侧面11A ADD 是正方形，且1120A AB ∠=︒，60DAB ∠=︒，2AB =，若P 是1C D 与1CD 的交点，则异面直线AP 与DC 的夹角的余弦值为（ ）
A B C D 6．已知线段AB 的端点B 的坐标是()3,4，端点A 在圆()()2
2
124x y -+-=上运动，则线段AB 的中点P 的轨迹方程为（ ） A ．()()22
232x y -+-= B ．()()22
231x y -+-= C ．()()2
2
341x y -+-=
D ．()()2
2
552x y -+-=
7．若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的
） A ．43
B ．2
C ．136
D ．7
3
8．已知点P 在椭圆τ：22
221x y a b
+=(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点
为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设3,4
PD PQ →→
=直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若
P A ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（ ）
A ．12
B C D
二、多选题
9．已知直线l ：20x y λλ+--=，圆C ：221x y +=，O 为坐标原点，下列说法正确的是（ ） A ．若圆C 关于直线l 对称，则2λ=- B ．点O 到直线l
C ．存在两个不同的实数λ，使得直线l 与圆C 相切
D ．存在两个不同的实数λ，使得圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为12
10．已知函数()f x 的定义域为(),1f x -R 为偶函数，()1f x +为奇函数，则下列选项正确的是（ ）
A ．()f x 的图象关于直线1x =-对称
B ．()f x 的图象关于点()1,0对称
C ．()31f -=
D ．()f x 的一个周期为8
11．如图，四棱锥P ABCD -中，面PAB ⊥面ABCD ，且AD ∥,22BC AD BC ==，1,AP BP Q ==是棱PD 的中点，π
2
APB ADC BCD ∠∠∠===
，则（ ）
A ．CQ ∥平面PA
B B ．CQ ⊥平面PAD
C ．CQ 和平面PBC
D ．四面体Q BCD -外接球的表面积为5π
2
三、填空题
12．已知向量()1,2a =-r ，(),4b m =-r
．若()
a a
b ⊥+r r r ，则m =．
13．在空间直角坐标系中已知()1,2,1A ，()1,0,2B ，()1,1,4C -，CD 为三角形ABC 边AB 上的高，则CD =．
14．已知2024是不等式
()22log 2321log x x a a
+->+的最小整数解，则a 的取值范围为．
四、解答题
15．已知两圆222610x y x y +---=和2210120x y x y m +--+=．求： (1)m 取何值时两圆外切？
(2)当45m =时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
16．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为()1101p p <<，收到0的概率为11p -；发送1时，收到0的概率为()2201p p <<，收到1的概率为21p -．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1,0,1，则译码为1，若依次收到1,1,1，则译码为1）．
(1)已知1223,34
p p ==．
①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；
②若采用单次传输方案，依次发送0,0,1，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．
(2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求2p 的取值范围．
17．如图，在几何体PABCD 中，
PA ⊥平面ABC ，//PA DC ，AB AC ⊥，2PA AC AB DC ===，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点.
(1)证明：//EF 平面PAC ． (2)证明：AB EF ⊥.
(3)求直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值.
18．在ABC V 中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，满足DE BC ∥，且DE 经过ABC V 的重心．将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1
AC CD ⊥，存在动点M 使()110A M A D λλ=>u u u u r u u u u r
如图所示．
(1)求证：1
AC ⊥平面BCDE ； (2)当1
2
λ=
时，求二面角C MB E --的正弦值； (3)设直线BM 与平面1A BE 所成线面角为θ，求sin θ的最大值． 19
．基本不等式是最基本的重要不等式之一，二元基本不等式为
12
2
a a +≥高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．基本不等式可以推广到一般的情形：对于n 个正数12,,...,n a a a ，它们的算术平均数
121...1n
n n i i a a a A a n n =+++==∑（注：121
...n
i n i a a a a ==+++∑）不小于它们的几何平均数
()
11
121...n
n
n
n n i i G a a a a =⎛⎫== ⎪
⎝⎭
∏（注：121
...n
i n i a a a a ==∏）
，即)12...n n n a a a A G n +++≥≥，当且仅当12...n a a a ===时，等号成立． (1)已知0x y >>，求()
1
x y x y +
-的最小值；
(2)已知12,,...,0n a a a >且12...1n a a a +++=． （ⅰ）求证：()()
22
211
11n
n
n
i
i
i i a
n
a
==-≥-∏∏；
（ⅱ）当2024n ≥，求31
11
n i
i i i a n a a =++-∑的最小值，其中11n a a +=．。