南京市2017届高三期初模拟考试数学卷

南京市2019届高三期初模拟考试
数学 2019.09
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小
题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知集合{0,1,2}A =，2{|0}B x x x =-≤，则A B = .
2.设复数z 满足()34z i i i +=-+（i 为虚数单位），则z 的模为 .
3. 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40,80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40,60)内的汽车有 辆.
4.若函数()sin()6
f x x πω=+(0)ω>的最小正周期为π，则()3
f π
的值
是 .
5.下图是一个算法的流程图，则输出k 的值是 .
6.设向量(1,4)a =-，(1,)b x =-，3c a b =+，若//a c ，则实数x 的值是 .
7. 某单位要在四名员工（含甲乙两人）中随机选两名到某地出差，则甲乙两人中，至少有一人被选中的概率是 .
8. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线222:1(0)4
x y C a a -=>的一条渐近
线及直线21y x =+平行，则实数a 的值是 .
9. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线20ax y +-=及圆心为C 的圆
22(1)()16x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC ∆为直角三角形，则实数a 的值是 .
10. 已知圆柱M 的底面半径为2，高为2，圆锥N 的底面直径和母线长相等，若圆柱M 和圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为 .
11. 各项均为正数的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若
2578a a -=-，313S =，则数列{}n a 的通项公式n a = .
12. 已知函数
312,0
()2,0
x x x f x x x ⎧-≤=⎨
->⎩，当(,]x m ∈-∞时，()f x 的取值范围为[16,)-+∞，则实数m 的取值范围是 .
13.在ABC ∆中，已知3AB =，2BC =，D 在AB 上，13
AD AB =，若
3DB DC •=，则AC 的长是 .
14.已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且
1()()()2x f x g x +=，若存在01
[,1]2
x ∈，使得等式00()(2)0af x g x +=成立，
则实数a 的取值范围是 .
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和
钝角β的终边分别及单位圆交于点,A B ，若点A ，
点B 的纵坐标是
5
. （1）求cos()αβ-的值；
（2）求αβ+的值.
16. （本小题满分14分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点,M N 分别为线段11,A B AC 的中点.
（1）求证：//MN 平面11BB C C ；
（2）若D 在边BC 上，1AD DC ⊥，求证：MN AD ⊥. 17. （本小题满分14分）
如图，某城市有一块半径为40m 的半圆形（以O 为圆心，AB 为直径）绿化区域，现计划对其进行改建，在AB 的延长线上取点D ，使80OD m =，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为2Sm ，设AOC xrad ∠=. （1）写出S 关于x 的函数关系式()S x ，并指出x 的取值范围； （2）试问AOC ∠多大时，改建后的绿化区域面积S 最大. 18. （本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、
右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆上一点（在x 轴上方），连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设11PF FQ λ=.
（1）若点P 的坐标为3(1,)2
，且2PQF ∆的周长为8，求椭圆C 的方程；
（2）若2PF 垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率1[2e ∈，求实数λ的取值范围.
19. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，且
2315a a =，416S =.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足11b a =，11
1
n n n n b b a a ++-=. ①求数列{}n b 的通项公式；
②是否存在正整数,()m n m n ≠，使得2,,m n b b b 成等差数列？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由. 20. （本小题满分16分）
已知函数2()ln ,(,)f x ax bx x a b R =-+∈. （1）当1a b ==时，求曲线()y f x =
在1x =处的切线方程；
（2）当21b a =+时，讨论函数()f x 的单调性；
（3）当1,3a b =>时，记函数()f x 的导函数'()f x 的两个零点是1x 和2x （12x x <），求证：123
()()ln 24
f x f x ->-.
南京市2019届高三年级学情调研 数学参考答案及评分标准
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法及本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部
分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）
1．{0，1} 2．
．80 4．1
2
5．5
6．4
7．5
6
8．1 9.－1 10．6 11．3n －1 12．[－2，8]
13
．
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文
字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（本小题满分14分）
从而sinα＝＝
……………………
2分
因为钝角β的终边及单位圆交于点B，且点B的纵坐标是
5
，
所以sinβ＝，从而cosβ＝－＝－
5
． …………………… 4分
（1）cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝
10
×(－
5
)＋
10
×
5
＝－
10
． …………………… 8分
（2）sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝
10
×(－
5
)＋
10
×
5
＝
2
． …………………… 11分 因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈(2
π，
32
π)，
所
以α＋β
＝
34
π． ………
…………… 14分
16．（本小题满分14分） 证明：（1）如图，连结A 1C ．
在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形． 又因为N 为线段AC 1的中点， 所以A 1C 及AC 1相交于点N ，
即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点． ……………… 2分
因为M 为线段A 1B 的中点，
所以MN ∥BC ． ………………
4分
又MN 平面BB 1C 1C ，BC
平面BB 1C 1C ，
所
以
MN ∥平面
BB 1C 1C ． ………………
…… 6分
（2）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ．
又
AD 平面ABC ，所以CC 1⊥
AD ． …………………… 8分
因为AD ⊥DC 1，DC 1平面BB 1C 1C ，CC 1平面BB 1C 1C ，CC 1∩DC 1
＝C 1，
所
以
AD ⊥平面
BB 1C 1C ． ………………
…… 10分
又
BC 平面BB 1C 1C ，所以AD ⊥
BC ． …………………… 12分
又由（1）知，MN ∥BC ，所以
MN ⊥
AD ． …………………… 14分
17．（本小题满分14分）
解：（1）因为扇形 AOC 的半径为 40 m ，∠AOC ＝x rad ，
所以 扇形AOC 的面积S
扇形AOC
＝
2
2
x OA •＝800x ，0＜x ＜
π． …………………… 2分
在△COD 中，OD ＝80，OC ＝40，∠COD ＝π－x ，
所以△COD 的面积S △COD ＝12
·OC ·OD ·sin ∠COD ＝1600sin(π－x )＝1600sin x ．
…
………………… 4分
从而 S ＝S △COD ＋S
扇形AOC
＝1600sin x ＋800x ，0＜x ＜
π． …………………… 6分
（2）由（1）知， S (x )＝1600sin x ＋800x ，0＜x ＜π．
S ′(x )
＝
1600cos x
＋
800
＝
1600(cos x
＋
1
2
)． …………………… 8分 由 S ′(x )＝0，解得x ＝23
π
．
从而当0＜x ＜23π时，S ′(x )＞0；当23
π
＜x ＜π时， S ′(x )
＜0 ．
因此 S (x )在区间(0，
23
π
)上单调递增；在区间(
23
π，π)
上单调递减． …………………… 11分
所以 当x ＝
23
π，S (x )取得最大值．
答：当∠AOC 为23
π时，改建后的绿化区域面积S 最
大． …………………… 14分 18．（本小题满分16分）
解：（1）因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点，
所以PF 1＋PF 2＝QF 1＋QF 2＝2a ，从而△PQF 2的周长为4a ． 由
题
意
，
得
4a
＝
8
，
解
得
a ＝
2． …………………… 2分
因为点P 的坐标为 (1，32)，所以22
1914a b +=， 解得b 2
＝3． 所
以
椭
圆
C 的方程为
22
143
x y +=． …………………… 5分
（2）方法一：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，
y 0＞0．设Q (x 1，y 1)．
因为P
在椭圆上，所以2
20
221y c a b
+=，解得
y 0＝
2
b a
，即P (c ，
2b a
)． …………………… 7分 因为
F 1(－c ，0)，所以1PF ＝(－2c ，－
2
b a
)，1FQ ＝(x 1＋c ，
y 1)．
由1PF ＝λ1FQ ，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－2
b a
＝λy 1，
解得x 1＝－
2
λλ
+c ，y 1＝－
2b a
λ，所以Q (－2
λλ
+c ，－
2
b a
λ)． …………………… 11分
因为点Q 在椭圆上，所以(2λλ
+)2e 2
＋222b a λ＝1，
即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2
－1， 因为λ＋1≠0，
所以(λ＋3)e 2
＝λ－1，从而λ＝3e 2
＋11－e 2＝41－e 2－
3． …………………… 14分
因为e ∈[12
，
2
]，所以14≤e 2
≤12，即73
≤λ≤5．
所以λ的取值范围为[
73
，
5]． …………………… 16分
方法二：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．
因为P
在椭圆上，所以2
2
c a
＋202
y b
＝1，解得
y 0＝
2
b a
，即P (c ，
2b a
)． …………………… 7分
因为F 1(－c ，0)，故直线PF 1的方程为
y ＝2
2b ac
(x ＋c )．
由222
22
()21b y x c ac x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得(4c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2－4a 2)＝0． 因为直线PF 1及椭圆有一个交点为P (c ，
2
b a
)．设Q (x 1，y 1)，
则
x 1＋c ＝－
222
24b c
c b +，即－c －x 1＝
222
24b c
c b +． …………………… 11分
因为1PF ＝λ1FQ ，
所以λ＝
1
2c c x --＝
22
2
4c b b +＝
2222
3c a a c +-＝
22
311e e +-＝
2
4
31e
--． …………………… 14分
因为e ∈[12
，
2
]，所以14≤e 2
≤12，即73
≤λ≤5．
所以λ的取值范围为[
73
，
5]． …………………… 16分
19．（本小题满分16分）
解：（1）设数列{a n }的公差为d ，则d ＞0．
由
a 2·a 3＝15，S 4＝16，得111
()(2)15
4616a d a d a d ++=⎧⎨+=⎩
解得112
a d =⎧⎨=⎩或17
2a d =⎧⎨=-⎩（舍去）
所
以a n ＝2n －
1． …………………… 4分
（2）①因为b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝
1
1
n n a a +， 所以b 1＝a 1＝1，
b n +1－b n ＝
1
1n n a a +＝
1111
()(21)(21)22121
n n n n =--+-+， (6)
分
即 b 2－b 1＝11(1)23
-，
b 3－b 2＝111()235
-，
b n －b n －1＝111()22321
n n ---，（n ≥2）
累加得：b n －b 1＝
111
(1)22121
n n n --=
--， …………………… 9分
所以b n ＝b 1＋
121n n --＝1＋121n n --＝32
21
n n --． b 1＝1也符合上式．
故
b n ＝
32
21
n n --，
n ∈N*． ……………
……… 11分
②假设存在正整数m 、n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列， 则b 2＋b n ＝2b m ．
又b 2＝43
，b n ＝
3221n n --＝32－142n -，b m ＝32－1
42
m -， 所以43＋(32－142n -)＝2(32－142m -)，即121m -＝16＋142
n -，
化简得：2m ＝72
1
n n -+＝7－
9
1
n +． …………………… 14分
当n ＋1＝3，即n ＝2时，m ＝2，（舍去）； 当n ＋1＝9，即n ＝8时，m ＝3，符合题意．
所以存在正整数m ＝3，n ＝8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列． …………………… 16分 20．（本小题满分16分）
解：（1）因为a ＝b ＝1，所以f (x )＝x 2
－x ＋ln x ，
从而f ′(x)＝2x －1＋1
x
．
因为f(1)＝0，f ′(1)＝2，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－0＝2(x－1)，
即2x－y－2＝0．…………………… 3分
（2）因为b＝2a＋1，所以f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋ln x，
从而 f ′(x)＝2ax－(2a＋1)＋1
x ＝2
2(21)1
ax a x
x
-++＝
(21)(1)
ax x
x
--，x＞0．………… 5分
当a≤0时，
x∈(0，1)时，f ′(x)＞0，x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＜0，
所以，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．…………………… 7分
当0＜a＜1
2
时，
由f ′(x)＞0得0＜x＜1或x＞1
2a
，由f ′(x)＜0得1＜
x＜1
2a
，
所以f(x)在区间(0，1)和区间(1
2a
，＋∞)上单调递增，在
区间(1，1
2a
)上单调递减．
当a＝1
2
时，
因为f ′(x)≥0（当且仅当x＝1时取等号），
所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
当a ＞12
时，
由f ′(x )＞0得0＜x ＜
12a
或x ＞1，由f ′(x )＜0得
12a
＜x ＜1，
所以f (x )在区间(0，1
2a
)和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(
1
2a
，1)上单调递减． …
………………… 10分
（3）方法一：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2
－bx ＋ln x ，从而f ′(x )
＝221x bx x
-+ (x ＞0)．
由题意知，x 1，x 2是方程2x 2
－bx ＋1＝0的两个根，故x 1x 2
＝12
．
记g (x ) ＝2x 2
－bx ＋1，因为b ＞3，所以g (12)＝
32
b
-＜0，g (1)＝3－b ＜0，
所以x 1∈(0，12
)，x 2∈(1，＋∞)，且bx i ＝22i x ＋1 (i ＝1，2)． …………………… 12分
f (x 1)－f (x 2)＝(2212x x -)－(bx 1－bx 2)＋ln 12
x x ＝－(2212x x -)
＋ln
12
x x ．
因为x 1x 2＝12
，所以f (x 1)－f (x 2)＝22x －22
14x －ln(222x )，
x 2∈(1，＋∞)． ……………… 14分
令t ＝222x ∈(2，＋∞)，φ(t )＝f (x 1)－f (x 2)＝12
2t t
-
－ln t ．
因为φ′(t )＝2
2
(1)2t t
-≥0，所以φ(t )在区间(2，＋∞)单调
递增，
所以φ(t )＞φ(2)＝
34
－ln2，即f (x 1)－f (x 2)＞
34
－
ln2． …………………… 16分
方法二：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2
－bx ＋ln x ，从而f ′(x )＝
221
x bx x
-+ (x ＞0)．
由题意知，x 1，x 2是方程2x 2
－bx ＋1＝0的两个根． 记g (x ) ＝2x 2
－bx ＋1，因为b ＞3，所以g (12)＝
32
b
-＜0，g (1)＝3－b ＜0，
所以x 1∈(0，12
)，x 2∈(1，＋∞)，且f (x )在[x 1，x 2]上为减函数． …………………… 12分
所以f (x 1)－f (x 2)＞f (12)－f (1)＝(14－2b ＋ln 12
)－(1－b )＝－34
＋2
b －ln2．
因为b ＞3，故f (x 1)－f (x 2)＞－
34
＋
2
b －ln2＞
34
－
ln2． …………………… 16分
南京市2019届高三年级学情调研
数学附加参考答案及评分标准
21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题
10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．选修4—1：几何证明选讲
证明：因为点A 、D 、E 、B 在圆O 上，即四边形ADEB 是圆内接四边形，
所
以
∠
B ＝∠
EDC ． …………
…………… 3分
因
为
AB ＝AC ，所以∠B ＝∠
C ． (5)
分
所
以
∠
C ＝∠EDC ，从而E
D ＝
EC ． ……………………… 7分
又因为EF ⊥DC 于点F ，所以F 为线段DC 中点． ……………………… 10分 B ．选修4—2：矩阵及变换 解：（1）M ＝AB ＝
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
2 －2 1 －3
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤ 1 0 0 －1 ＝
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤ 2 2 1 3 ． ……………………… 5分
（2）矩阵M 的特征多项式为
f (λ)＝ ⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪
λ－2 －2 －1 λ－3 ＝(λ－2)(λ－3)－2
令f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝4， 所
以
矩
阵
M 的特征值为1或
4． ……………………… 10分
C ．选修4—4：坐标系及参数方程 解：曲线C 的极坐标方程为
＝2cos θ，
化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ． 即(x －1)2＋y 2＝1，表示以(1，0)为圆心，1为半径的圆． ……………………… 3分
直线l 的极坐标方程是 sin(θ＋π6)＝m ，即
1
2
cos θ＋
32
sin θ＝m ，
化为直角坐标方程为
x ＋ 3y －2m ＝
0． ……………………… 6分
因为直线l 及曲线C 有且只有一个公共点， 所以|1－2m |2＝1，解得m ＝－12或m ＝3
2．
所以，所求实数
m
的值为－1
2
或
3
2
． ……………………… 10分 D ．选修4—5：不等式选讲 解：原不等式等价于
⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－x －2x ≤4x
或
⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤1，
1－x ＋2x ≤4x
或
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＞1，
x －1＋2x ≤4x ． ……………………… 6分
解⎩
⎪⎨⎪⎧x ≤0，
1－x －2x ≤4x ，得x ∈；
解⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤1，1－x ＋2x ≤4x ，得 13≤x ≤1；
解⎩
⎪⎨⎪⎧x ＞1，x －1＋2x ≤4x ．得x ＞1．
所以原不等式的解集为 [13，＋
∞)． ……………………… 10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）
解：（1）在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥
底面ABCD ，
所以DA 、DC 、DP 两两垂直，故以{DA →，DC →，DP →}为正交基底，建立空间直角坐标系D －xyz ．
因为PD ＝DC ，所以DA ＝DC ＝DP ，不妨设DA ＝DC ＝DP ＝2， 则D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)
2，0)．
因为E 是PC 的中点，所以E (0，1，1)．
所以AP →＝(－2，0，2)，BE →＝(－2，－1，1)， 所以cos<AP →，BE →>＝AP →·BE
→|AP →|·|BE →|＝32，
从而<AP →，BE →>＝π6． 因此异面直线
AP 及BE 所成角的大小为
π
6
． ……………………… 4分 （2）由（1）可知，DE →＝(0，1，1)，DB →＝(2，2，0)，PB →＝(2，2，－2)．
设PF →＝λPB →，则PF →＝(2λ，2λ，－2λ)，从而DF →＝DP →＋PF →＝(2λ，2λ，2－2λ)．
设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面DEF 的一个法向量，
则⎩⎨⎧m ·DF →＝0， m ·DE →＝0，即⎩
⎪⎨⎪⎧λx 1＋λy 1＋(1－λ)z 1＝0，
y 1＋z 1
＝0，
取z 1＝λ，则y 1＝－λ，x 1＝2λ－1．
所以m ＝(2λ－1，－λ，λ)为平面DEF 的一个法向量． ……………………… 6分
设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面DEB 的一个法向量，
则⎩⎨⎧n ·DB →＝0，n ·DE →＝0，即⎩⎪
⎨⎪⎧2x 2＋2y 2＝0，y 2＋z 2
＝0，
取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝1．
所以n ＝(1，－1，1)为平面BDE 的一个法向量． ………………………… 8分
因为二面角F －DE －B 的正弦值为3
3，所以二面角F －DE －B
的余弦的绝对值为6
3，
即 |cos<m ，n >|＝6
3
，
所以 |m ·n || m |·| n |＝63， |4λ－1|3·(2λ－1)2＋2λ2＝6
3， 化简得，4λ2
＝1，因为点F 在线段PB 上，所以0≤λ≤1， 所以λ＝12，即PF PB
＝
1
2． ………………………… 10分
23．（本小题满分10分）
解：（1）设甲第i 次投中获胜的事件为A i (i ＝1，2，3)，则A 1，
A 2，A 3彼此互斥．
甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3． P (A 1)＝2
5
；
P (A 2)＝35×13×25＝2
25；
P (A 3)＝(35)2×(13)2×25＝2
125
．
第 21 页 所以P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝25＋225＋2125＝
62125．
答：甲获胜的概率为62125． ……………………… 4分
（2）X 所有可能取的值为1，2，3．
则 P (X ＝1)＝25＋35×23＝45；
P (X ＝2)＝225＋35×13×35×23＝425；
P (X ＝3)＝(35)2×(13)2×1＝125．
即X 的概率分布列为
……………………… 8分
所以X 的数学期望E (X )＝1×45＋2×425＋3×1
25＝
31
25． ……………………… 10分。