2016-2017学年高二物理鲁科版选修3-1学案：第1章 第5讲 习题课 静电场力的性质

第5讲 习题课 静电场力的性质
[目标定位] 1.会处理电场中的平衡问题.2.会处理库仑力与牛顿第二定律结合的综合问题.
1.共点力的平衡条件：物体不受力或所受外力的合力为零.
2.物体运动的加速度相同时，常用整体法求加速度，隔离法求相互作用力.
3.F ＝k q 1q 2
r 2，适用条件：(1)真空中；(2)点电荷.
4.电场强度
(1)E ＝F
q ，适用于任何电场，是矢量，单位：N/C 或V/m.
(2)E ＝kQ
r
2，适用于计算真空中的点电荷产生的电场.
(3)规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点的电场强度方向.电场中某一点的电场强度E 与试探电荷q 无关，由场源电荷(原电场)和该点在电场中位置决定. 5.电场的叠加原理和应用
(1)如果在空间同时存在多个点电荷，这时在空间某一点的场强等于各个电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和，这叫做电场的叠加原理， (2)场强是矢量，遵守矢量合成的平行四边形定则. 6.合力指向曲线凹的一侧，速度的方向沿轨迹切线方向.
一、库仑力作用下的平衡
1.两带电体间的静电力遵循牛顿第三定律.处理过程中选取研究对象时，要注意整体法和隔离法的灵活运用；常用的数学知识和方法有直角三角形、相似三角形和正交分解法等.
2.三电荷系统的平衡问题
同一直线上的三个自由点电荷，彼此间存在相互作用的库仑力，都处于平衡的情况下，每个电荷受其余两个电荷的作用力的合力为零，因此可以对三个电荷分别列平衡方程求解(解题时只需列其中两个电荷的平衡方程即可).
例1 如图1所示，光滑水平面上相距为L 的A 、B 两个带正电小球，电荷量分别为4Q 和Q .要在它们之间引入第三个带电小球C ，使三个小球都只在相互库仑力作用下而处于平衡，求：
图1
(1)小球C 带何种电；
(2)C 与A 之间的距离x 等于多大； (3)C 球的电荷量q 为多大. 答案 (1)负电 (2)23L (3)4
9
Q
解析 (1)要使三个小球都只在相互库仑力作用下而处于平衡状态，且A 、B 两个小球带正电，故C 为负电荷.
(2)对C ，设C 与A 之间的距离为x ， 则：4kQq x 2＝kQq (L －x )2，解得：x ＝2
3L
(3)对B 球，由平衡关系
则有：4kQq x 2＝4kQ 2L 2，解得：q ＝49
Q
借题发挥 同一直线上的三个自由点电荷都处于平衡状态时，电荷间的关系为：“两同夹异”、“两大夹小”、“近小远大”.
例2 如图2所示，真空中两个相同的小球带有等量同种电荷，质量均为m ，分别用绝缘细线悬挂于绝缘天花板上同一点，平衡时，B 球偏离竖直方向θ角，A 球竖直且与墙壁接触，此时A 、B 两球位于同一高度且相距L .求：
图2
(1)每个小球所带的电荷量q ； (2)B 球所受绳的拉力T . 答案 (1)L mg tan θ
k
(2)mg
cos θ
解析 (1)对B 球受力分析如图所示：B 球受三个力而保持平衡，其中重力与库仑力的合力大小等于绳子拉力大小，方向与绳子拉力方向相反，
由图可知：F 库＝mg tan θ＝kq 2
L
2，解得：q ＝L
mg tan θ
k
.
(2)对B 球受力分析，由平衡条件知： T ＝mg cos θ
.
二、电场线与运动轨迹
1.物体做曲线运动的条件：合力在轨迹曲线的内侧，速度方向沿轨迹的切线.
2.由轨迹的弯曲情况结合电场线确定电场力的方向；由电场力和电场线的方向可判断电荷的正负；由电场线的疏密程度可确定电场力的大小，再根据牛顿第二定律F ＝ma 可判断运动电荷加速度的大小.
例3 如图3所示，直线MN 是某电场中的一条电场线(方向未画出)，虚线是一带电的粒子只在电场力的作用下，由a 到b 的运动轨迹，轨迹为一抛物线.下列判断正确的是( )
图3
A.电场线MN 的方向一定是由N 指向M
B.带电粒子由a 运动到b 的过程中速度一定逐渐减小
C.带电粒子在a 点的速度一定小于在b 点的速度
D.带电粒子在a 点的加速度一定大于在b 点的加速度 答案 C
解析 由于该粒子只受电场力作用且做曲线运动，物体所受外力指向轨迹内侧，所以粒子所受电场力一定是由M 指向N ，但是由于粒子的电荷性质不清楚，所以电场线的方向无法确定，故A 错误；粒子从a 运动到b 的过程中，电场力与速度成锐角，粒子做加速运动，速度增大，B 错误，C 正确；b 点的电场线比a 点的密，所以带电粒子在a 点的加速度小于在b 点的加速度，故D 错误，故选C. 三、电场力与牛顿第二定律的结合
例4 如图4所示，光滑斜面倾角为37°，一带正电的小物块质量为m .电荷量为q ，置于斜面上，当沿水平方向加如图所示的匀强电场时，带电小物块恰好静止在斜面上，从某时刻开
始，电场强度变化为原来的1
2
，求：
图4
(1)原来的电场强度； (2)物块运动的加速度.
答案 (1)3mg 4q (2)3
10
g ，方向沿斜面向下
解析 (1)对小物块受力分析如图所示，物块静止于斜面上，则mg sin37°＝qE cos37°，E ＝mg tan37°q ＝3mg 4q
.
(2)当场强变为原来的12时，小物块受到的合外力F 合＝mg sin37°－12qE cos37°＝12mg sin37°，又
F 合＝ma ，所以a ＝3
10
g ，方向沿斜面向下.
库仑力作用下的平衡
1.两个通电小球带电后相互排斥，如图5所示.两悬线跟竖直方向各有一个夹角α、β，且两球在同一水平面上.两球质量用m 和M 表示，所带电量用q 和Q 表示.若已知α＞β，则一定有关系( )
图5
A.两球一定带同种电荷
B.m 一定小于M
C.q 一定大于Q
D.m 受到的电场力一定大于M 所受电场力 答案 AB
解析库仑力同样满足牛顿第三定律，满足共点力平衡条件.由图示可知两小球相互排斥，故A正确、D错误；偏角的大小与小球的质量有关，故B正确.
电场线与运动轨迹
2.一带电粒子从电场中的A点运动到B点，轨迹如图6中虚线所示.不计粒子所受重力，则()
图6
A.粒子带正电荷
B.粒子加速度逐渐减小
C.A点的速度大于B点的速度
D.粒子的初速度不为零
答案BCD
解析带电粒子所受合外力(即静电力)指向轨迹内侧，知静电力方向向左，粒子带负电荷.根据E A＞E B，知B项正确；粒子从A到B受到的静电力为阻力，C项正确.由于电场线为直线，故粒子在A点速度不为零，D正确.
电场力与牛顿第二定律的结合
3.如图7所示，用一条绝缘轻绳悬挂一个带电小球，小球质量为1.0×10－2kg，所带电荷量为＋2.0×10－8C.现加一水平方向的匀强电场，平衡时绝缘绳与竖直线成30°角，绳长L＝0.2m(取g＝10m/s2)，求：
图7
(1)这个匀强电场的电场强度大小；
(2)突然剪断轻绳，小球做什么运动？加速度大小和方向如何？
答案(1)
3
6×10
7N/C(2)203
3m/s
2与绳子拉力方向相反
解析(1)根据共点力平衡得，qE＝mg tan30°
解得E＝3
6×10
7N/C.
(2)突然剪断轻绳，小球受重力和电场力，初速度为零，做匀加速直线运动. F 合＝mg
cos30°＝ma
a ＝2033
m/s 2
加速度方向与绳子拉力方向相反.
题组一 对电场强度的理解
1.下列关于电场强度的说法中正确的是( ) A.公式E ＝F
q
只适用于真空中点电荷产生的电场
B.由公式E ＝F
q 可知，电场中某点的电场强度E 与试探电荷在电场中该点所受的电场力成正
比
C.在公式F ＝k Q 1Q 2r 2中，k Q 2r 2是点电荷Q 2产生的电场在点电荷Q 1处的场强大小；而k Q 1
r 2是点
电荷Q 1产生的电场在点电荷Q 2处场强的大小
D.由公式E ＝k Q
r 2可知，在离点电荷非常近的地方(r →0)，电场强度E 无穷大
答案 C
解析 电场强度的定义式E ＝F
q 适用于任何电场，故A 错误；电场中某点的电场强度由电场
本身决定，而与电场中该点是否有试探电荷或引入试探电荷所受的电场力无关，故B 错误；点电荷间的相互作用力是通过电场产生的，故C 正确；公式E ＝kQ
r 2是点电荷产生的电场中
某点场强的计算式，当r →0时，所谓“点电荷”已不存在，该公式已不适用，故D 错误.故选C.
2.如图是电场中某点的电场强度E 与放在该点处的检验电荷q 及所受电场力F 之间的函数关系图象，其中正确的是( )
答案 AD
解析 电场中某点的电场强度与试探电荷无关，所以A 正确，B 错误；由F ＝qE 知F －q 图象为过原点的倾斜直线，故D 正确，C 错误.
3.如图1所示，金属板所带电荷量为＋Q ，质量为m 的金属小球所带电荷量为＋q ，当小球静止后，悬挂小球的绝缘细线与竖直方向间的夹角为α，小球与金属板中心O 恰好在同一条水平线上，且距离为L .下列说法正确的是( )
图1
A.＋Q 在小球处产生的场强为E 1＝kQ L 2
B.＋Q 在小球处产生的场强为E 1＝mg tan α
q
C.＋q 在O 点产生的场强为E 2＝kq
L 2
D.＋q 在O 点产生的场强为E 2＝mg tan α
Q
答案 BC
解析 金属板不能看作点电荷，在小球处产生的场强不能用E ＝kQ
r 2计算，故A 错误；根据
小球处于平衡状态得小球受电场力F ＝mg tan α，由E ＝F q 得：E 1＝mg tan α
q ，B 正确；小球可
看作点电荷，在O 点产生的场强E 2＝kq
L 2，C 正确；根据牛顿第三定律知金属板受到小球的
电场力大小为F ＝mg tan α，但金属板不能看作点电荷，故不能用E ＝F
Q 求场强，D 错误.故选
B 、C.
4.如图2所示，A 、B 、C 、D 、E 是半径为r 的圆周上等间距的五个点，在这些点上各固定一个点电荷，除A 点处的电荷量为－q 外，其余各点处的电荷量均为＋q ，则圆心O 处( )
图2
A.场强大小为kq
r 2，方向沿OA 方向
B.场强大小为kq
r 2，方向沿AO 方向
C.场强大小为2kq
r 2，方向沿OA 方向
D.场强大小为2kq
r 2，方向沿AO 方向
答案 C
解析 A 处放一个－q 的点电荷与在A 处同时放一个＋q 和－2q 的点电荷的效果相当.因此可以认为O 处的场强是五个＋q 和一个－2q 的点电荷产生的场强合成的，五个＋q 处于对称位置上，在圆心O 处产生的合场强为0，所以O 点的场强相当于－2q 在O 处产生的场强.故选C.
题组二 电场线及带电体在电场中的运动轨迹
5.如图3所示的电场中，虚线为某带电粒子只在电场力作用下的运动轨迹，a 、b 、c 是轨迹上的三个点，则( )
图3
A.粒子一定带正电
B.粒子一定是从a 点运动到b 点
C.粒子在c 点加速度一定大于在b 点加速度
D.粒子在电场中c 点的速度一定大于在a 点的速度 答案 AC
解析 曲线运动的物体，合力指向运动轨迹的内侧，由此可知，带电粒子受到的电场力的方向为沿着电场线向左，所以粒子带正电，A 正确；粒子不一定是从a 点沿轨迹运动到b 点，也可能从b 点沿轨迹运动到a 点，B 错误；由电场线的分布可知，粒子在c 点的受力较大，
加速度一定大于在b 点加速度，C 正确；若粒子从c 运动到a ，电场力与速度成锐角，所以粒子做加速运动，若粒子从a 运动到c ，电场力与速度成钝角，所以粒子做减速运动，综上所述，粒子在c 点的速度一定小于在a 点的速度，D 错误；故选A 、C.
6.如图4所示，a 、b 两点为负点电荷Q 的电场中，以Q 为圆心的同一圆周上的两点，a 、c 两点为同一条电场线上的两点，则以下说法中正确的是( )
图4
A.a 、b 两点场强大小相等
B.同一检验电荷在a 、b 两点所受电场力相同
C.a 、c 两点场强大小关系为E a ＞E c
D.a 、c 两点场强方向相同 答案 AD
解析 负点电荷形成的电场中，各点的场强方向都由该点指向场源电荷，a 、c 两点在同一条电场线上，因此两点的场强方向相同，即选项D 正确；场强大小可以根据电场线的疏密程度加以判定，由于c 处电场线比a 处密，故a 、c 两点场强大小关系为E c ＞E a ，C 错误；a 、b 两点处在同一圆周上，电场线疏密程度相同，因此a 、b 两点场强大小相等，但方向不同，放同一检验电荷在a 、b 两点所受电场力大小相等，方向不同，故A 正确，B 错误. 题组三 电场力作用下的平衡
7.如图5所示，水平粗糙绝缘杆从物体A 中心的孔穿过，A 的质量为M ，用绝缘细线将另一质量为m 的小球B 与A 连接，整个装置所在空间存在水平向右的匀强电场E ，A 不带电，B 带正电且电荷量大小为Q ，A 、B 均处于静止状态，细线与竖直方向成θ角.则( )
图5
A.细线中张力大小为mg
cos θ
B.细线中张力大小为EQ
sin θ
C.杆对A 的摩擦力大小为QE
D.杆对A 的支持力大小为Mg
答案 ABC
解析 对小球B 受力分析有，重力mg 、电场力EQ ，绳子的拉力T ，根据平衡条件可知T cos θ＝mg ，所以细线中张力大小为T ＝mg cos θ，A 选项正确；由平衡条件知：EQ mg ＝tan θ，故EQ sin θ＝
mg cos θ＝T ，B 选项正确；以整体为研究对象，受重力、杆的支持力、电场力、摩擦力，摩擦力与电场力平衡，即杆对A 的摩擦力大小为QE ，故C 选项正确；杆对A 的支持力大小为(M ＋m )g ，D 选项错误；故选A 、B 、C.
8.如图6所示，三个点电荷q 1、q 2、q 3固定在一直线上，q 2与q 3间距离为2r, q 1与q 2间距离为r ，每个电荷所受静电力的合力均为零，由此可以判定，三个电荷的电荷量之比为( )
图6
A.(－9)∶4∶(－36)
B.9∶4∶36
C.(－3)∶2∶(－6)
D.3∶2∶6
答案 A
解析 分别取三个点电荷为研究对象，由于三个点电荷只在静电力(库仑力)作用下保持平衡，所以这三个点电荷不可能是同种电荷，这样可立即排除B 、D 选项，故正确选项只可能在A 、C 中.若选q 2为研究对象，由库仑定律知k q 1q 2r 2＝k q 2q 3
(2r )2知：q 3＝4q 1.选项A 恰好满足此
关系，显然正确选项为A.
9.如图7所示，在一条直线上有两个相距0.4m 的点电荷A 、B ，A 带电荷量＋Q ，B 带电荷量－9Q .现引入第三个点电荷C ，恰好使三个点电荷处于平衡状态，问：C 应带什么性质的电荷？应放于何处？所带电荷量为多少？
图7
答案 负电 A 的左边0.2m 处 －9
4
Q
解析 根据平衡条件判断，C 应带负电荷，放在A 的左边且和AB 在一条直线上.设C 带电荷量为q ，与A 点相距为x ，由平衡条件：以A 为研究对象，则 k qQ A x 2＝k Q A Q B r
2① 以C 为研究对象，则k qQ A x 2＝k qQ B (r ＋x )
2②
联立①②解得x ＝12r ＝0.2m ，q ＝－94
Q 故C 应带负电荷，放在A 的左边0.2m 处，电荷量为－94
Q . 题组四 电场力与牛顿第二定律的综合问题
10.长为L 的绝缘细线下系一带正电的小球，其电荷量为Q ，悬于O 点，如图8所示.当在O 点另外固定一个正电荷时，如果球静止在A 处，则细线拉力是重力mg 的两倍，现将球拉至图中B 处(θ＝60°)，放开球让它摆动，问：
图8
(1)固定在O 处的正电荷的电荷量为多少；
(2)摆球回到A 处时悬线拉力为多少.
答案 (1)mgL 2kQ
(2)3mg 解析 (1)球静止在A 处经受力分析知受三个力作用：重力mg 、静电力F 和细线拉力F 拉，
由受力平衡和库仑定律列式：F 拉＝F ＋mg F ＝k Qq L 2 F 拉＝2mg 三式联立解得：q ＝mgL 2kQ
. (2)摆回的过程只有重力做功，所以机械能守恒，规定最低点重力势能等于零，有：
mgL (1－cos60°)＝12m v 2，F 拉′－mg －F ＝m v 2L
由(1)知静电力F ＝mg ，
解上述三个方程得：F 拉′＝3mg .
11.竖直放置的两块足够长的平行金属板间有匀强电场.其电场强度为E ，在该匀强电场中，用丝线悬挂质量为m 的带电小球，丝线跟竖直方向成θ角时小球恰好平衡，如图9所示.请问：
图9
(1)小球带的电荷量是多少；
(2)若剪断丝线，小球碰到金属板需多长时间.
答案 (1)mg tan θE (2) 2b g
cot θ 解析 (1)由于小球处于平衡状态，对小球受力分析如图所示
T sin θ＝qE ①
T cos θ＝mg ②
由①②
得tan θ＝qE mg ，故q ＝mg tan θE . (2)由第(1)问中的方程②知T ＝mg cos θ
，而剪断丝线后小球所受电场力和重力的合力与未剪断丝线时丝线对小球的拉力大小相等，故剪断丝线后小球所受重力、电场力的合力等于mg cos θ
.小球的加速度a ＝F 合m ＝g cos θ
，小球由静止开始沿着丝线拉力的反方向做匀加速直线运动，当碰到金属板上时，它的位移为x ＝b sin θ，又由x ＝12at 2，得t ＝2x a ＝2b cos θg sin θ＝2b g
cot θ. 12.如图10所示，在竖直放置的光滑半圆弧绝缘细管的圆心O 处固定一点电荷，将质量为m 、电荷量为＋q 的小球从圆弧管的水平直径端点A 由静止释放，小球沿细管滑到最低点B 时，对管壁恰好无压力.求：
图10
(1)固定于圆心处的点电荷在AB 弧中点处的电场强度大小；
(2)若把O 处固定的点电荷拿走，加上一个竖直向下场强为E 的匀强电场，带电小球仍从A 点由静止释放，下滑到最低点B 时，小球对环的压力多大.
答案 (1)3mg q
(2)3(mg ＋qE ) 解析 (1)由A 到B ，由动能定理得：mgr ＝12
m v 2－0
在B 点，对小球受力分析，由牛顿第二定律有：
E 0－mg ＝m v 2r
联立以上两式解得：E 0＝3mg q
因为O 点固定的是点电荷－Q ，由E 0＝k Q r 2可知：等势面上各处的场强大小均相等， 即AB 弧中点处的电场强度为E 0＝3mg q
. (2)设小球到达B 点时的速度为v ′，
由动能定理得：(mg ＋qE )r ＝12
m v ′2 设在B 点处环对小球的弹力为N ，
由牛顿第二定律得：N －mg －qE ＝m v ′
2r 联立两式，解得
小球在B 点受到环的弹力为：N ＝3(mg ＋qE )
由牛顿第三定律得：小球在B 点对环的压力大小为 N ′＝3(mg ＋qE ).。