河北省石家庄市辛集中学2016-2017学年高二上学期第三次阶段考试数学(理)试题

河北辛集中学 2016-2017 学年度第一学期第三次阶段考试 高二数学（理科）
一、选择题：（每题 5 分，共 80 分）
1、某单位有工程师 6 人,技术员 12 人,技工 18 人,要从这些人中抽取一个容量为 的样本.
如果采用系统抽样和分层抽样抽取,则不用剔除个体;如果样本容量增加 1,则在采用系统
抽样时,需要在总体中先剔除 1 个个体,则 的值为(
)
A.3
B.6
C.12
D.18
2、若实数 满足
,则曲线
A.焦距相等
B.实半轴相等
与曲线 C.虚半轴长相等
3、设曲线
在点
处的切线方程为
A.0
B.1
C.2
D.3
4、某车间加工零件的数量 与加工时间 的统计数据如表:
零件数 (个) 18 20 22
加工时间 (分钟) 27 30 33
的(
)
D.离心率相等
,则 (
)
现已求得上表数据的回归方程
中的 值为 0.9,则据此回归模型可以预测,
加工 100 个零件所需要的加工时间约为(
)
A.84 分钟
B.94 分钟
C.102 分钟
D.112 分钟
5、设
是非零向量.已知命题 :若
,则
;命题 :若
, 则“ ”则下列命题中真命题是(
)
A. 6、设集合
B. ,
C.
D.
分别从集合 和 中随机取一个
数 和 ,确定平面上的一个点
记“点
落在直线
上”为事件
大,则 的所有可能值为( )
A.3
B.4
C.2 和 5
,若事件 的概率最 D.3 和 4
7、某程序框图如图所示,则该程序框图执行后输出的 值为( 表示
不超过 的最大整数)(
)
A.4
B.5
C.7
D.9
8、若曲线 A.-2
在
处的切线与直线
互相垂直,则实数 的值等于(
)
B.-1
C.1
D.2


9、如图,在一个长为 ,宽为 的矩形
内,曲线
与 轴围成如图所示的阴影部分,向矩形
内随机投一点(该点落在矩形
内任何一点是等可能
的),则所投的点落在阴影部分的概率是( )
A.
B.
C.
D.
10、过抛物线
的焦点 的直线 与拋物线在第一象限的交点为 ,与抛物
线的准线的交点为 ，过点 且平行于 轴的直线交拋物线的准线于点 ,若
,则抛物线的方程为(
)
A.
B.
C.
D.
11、若函数 , 满足 的一组正交函数,给出三组函数:
,则称 , 为区间
上
①
;
②
;
③
.
其中为区间
上的正交函数的组数是(
A.0
B.1
C.2
) D.3
12、棱长均为 3 三棱锥
,若空间一点 满
SP  xSA  ySB  zSC(x  y  z  1) 则 SP 的最小值为( )
A、
B、
C、
D、
13、已知 是△
所在平面内一点,
△
内,则红豆落在△
内的概率是( )
,现将一粒红豆随机撒在
A.
B.
14、已知椭圆 交椭圆 于
C.
D.
的右焦点为 ,短轴的一个端点为 ,直线
两点.若
,点 到直线 的距离不小于
,则椭圆 的离心率的取值范围是(
)


A.
B.
C.
D.
1 15、已知命题 p : “函数 f (x)  ax  ln x 在区间[1, ) 上单调递减”;命题 q : “存
2
在正数 x ,使得 2x (x  a)  1成立”,若 P  q 为真命题,则 a 的取值范围是(
)
1 A. (1,  ]
2
1 B. (1,  )
2
1 C. [1,  ]
2
1 D. [1,  )
2
16、已知函数 f (x) 的导数为 f ' (x) ，且 (x  1) f (x)  xf ' (x)  0 对 x [0,) 恒成立，
则下列不等式一定成立的是（ ）
A. f (1)  0
B. ef (1)  f (2)
C． f (1)  2ef (2) D. ef (e)  2 f (2)
二、填空题：(每题 5 分，共 30 分)
17、已知 2x1 1, 2x2 1, 2x3 1,......2xn 1的方差是 3,
则 x1, x2 , x3,......xn 的标准差为
.
 18、
2
(
4  x2  x)dx =
0
.
19、若“ x2  2x  3  0 ”是“ x  a ”的必要不充分
条件,则 a 的取值范围为
.
20、平面上一机器人在行进中始终保持与点 F (1, 0) 的距离和
到直线 x  1 的距离相等.若机器人接触不到过点
P(1, 0) 且斜率为 k 的直线,则 k 的取值范围是
.
21、执行如图的程序框图,输出的T 的值为
.
22、实数 a,b, c, d 满足| b  a  2 | (c  d 2  3ln d )2  0 则 (b  d )2  (a  c)2 的最小
值是
.
三、解答题：（共 50 分）
23、（12 分）已知函数 f (x)  x3  bx2  cx  d 的图象过点 P(0, 2) ,
且在点 M (1, f (1)) 处的切线方程为 6x  y  7  0 .
(1) 求函数 y  f (x) 的解析式；
(2) 求函数 y  f (x) 的单调区间.


24、（12 分）如图,几何体 EF  ABCD 中, CDEF 为边长为 2 的正方形, ABCD 为直角梯形, AB / /CD , AD  DC , AD  2, AB  4, ADF  900
(1) 求证: AC  FB (2) 求二面角 E  FB  C 的大小.
x2 y2
2
25、（12 分）已知椭圆   1(a  b  0) 的离心率 e  ,左、右焦点分别为
a2 b2
2
F1, F2 点 P(2, 3) ,点 F2 在线段 PF1 的中垂线上.
（1) 求椭圆 的方程；
（2）设直线 l : y  kx  m 与椭圆 C 交于 M , N 两点,直线 F2M 与 F2 N 的倾斜角互补,
求证:直线 l 过定点,并求该定点的坐标.
26、（14 分）已知函数 f (x)  1 ax2  (a 1)x  ln x (a  R, a  0) 2
（1） 求函数 f (x) 的单调减区间；
（2） 记函数 y  F (x) 的图象为曲线 C .设点 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 是曲线 C 上的不同两点.
如果在曲线 C
上存在点 M (x0 ,
y0 ) ,使得:①
x0

x1
 x2 2
;②曲线 C
在点 M
处的切线平行
于直线 AB ,则称函数 F (x) 存在“中值和谐切线”.当 a  2 时,函数 f (x) 是否存在“中
值和谐切线”,请说明理由.













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