MATLAB语言控制系统分析与设计电机位置控制系统设计与仿真

电机位置控制系统设计与仿真
一、简介
直流电机是控制系统中常用的执行机构，它可以直接提供旋转运动，或和轮子、滚筒和皮带等耦合提供运动的传递。

电机的原理框图如图1所示。

图1 电机结构框图
电机的物理参数由电机生产厂家和实验获得。

电机转动惯量J =3.2284⨯10-6 kg.m 2/s 2；机械阻尼系数b=3.5077⨯10-6 Nms ；机电常数K=Ke=Kt=0.0274 Nm/Amp ；电枢电阻R=4ohm ；电枢电感L=2.75⨯10-6 H 。

输入信号电枢电压V ，输出信号为轴的位移θ。

假定转子和轴均为刚性。

1．电机数学模型的建立
分析电机工作原理，可根据基尔霍夫定理和牛顿定理建立电机的数学模型：
dt d K V Ri dt di L i
K dt d b dt
d J
e t θθθ-=+=+22 （1）
将式1-1取拉氏变换整理后可得电机的传递函数：
]
))([(2K R Ls b Js s K V +++=Θ （2） 如选择电机位置、速度和电枢电流作为状态变量，可建立其状态空间模型为：
[]⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡i y V
i i L L R L K J K J b θθθθθθ00100000101 （3）
2．设计目标
希望能精确控制电机的位置，即要求电机的稳态误差为零，同时希望因扰动引起的稳态误差也能为零。

对于动态性能的要求，希望电机能较快且平稳，期望调节时间T s 为40ms ，超调量小于16%。

根据时域和频域指标的关系，可将时域性能指标转换为频率响应的约束条件。

如系统的带宽与闭环系统自然振荡频率ωn 和阻尼比ζ有关，而ζωn 与调节时间有关。

相角裕度PM 和阻尼比ζ有关，进而与超调量相关。

()()2
44214 2
44212
42
242+-+
-=
+-+-=ζζζζ
ζζζωωS n bw T （4）
zeta = -log(.16)/sqrt(pi^2+(log(.16))^2); PM = 100*zeta;
wbw = (4/(0.04*zeta))*sqrt((1-2*zeta^2)+sqrt(4*zeta^4-4*zeta^2+2));
得 ζ>0.503，PM>50.3 deg ，wbw>252 rad/sec 3．校正前电机开环频率响应
首先用MATLAB 描述电机模型，并观察电机的开环频率特性。

J=3.2284e-6; b=3.5077e-6; K=0.0274; R=4;
L=2.75e-6; num=K;
den=[(J*L) ((J*R)+(L*b)) ((b*R)+K^2) 0]; motor=tf(num,den) bode(motor) margin(motor)
图2 电机开环频率特性曲线
由图2知原系统的相角裕度为61.9 deg，截止频率为31.6rad/sec，由此判断闭环系统的调节时间不能满足设计要求。

期望的截止频率为250rad/sec，相角裕度为50 deg，而校正前系统在250rad/sec处的幅度为-30dB，相角为-166 deg。

需增加系统截止频率和相角裕度。

二、闭环系统控制器设计
1．概述
将电机的位置信号用传感器测量，构成闭环，系统闭环控制框图如图3所示，控制器设计采用串联校正，设计思想采用开环频率特性设计方法，即根据系统的开环频率性能指标确定校正器参数。

图3 闭环系统控制框图
设计步骤：
（1）根据稳态误差要求确定系统控制器结构；根据调节时间的要求确定截止频率。

（2）确定未校正系统需增加的最大相位超前角及新的幅值穿越频率；
（3）确定控制器的传递函数；
（4）校验，验算校正后系统性能。

2．控制器设计
（1）确定控制器的结构
串联校正有相位超前、相位滞后和相位滞后-超前的不同结构，需根据性能指标的要求灵活确定。

根据扰动下系统无稳态误差的要求，控制器应含一个积分环节，但加一个积分环节，相角就增加了-90 deg ，为抵消积分环节的相位滞后，需添加一个零点，构成PI 控制器，零点的位置以低于截止频率10倍频程即可。

由期望的截止频率wc 所对应的幅值Mag （wc ），确定PI 的增益Kp ，Ki 。

20
10
Mag
P
K -= （5）
P C i K K ω1.0= （6）
由此确定PI 控制器的传递函数为：
s
s K s K K G P
i
K K P i P sysc
)(+=+= （7）
w=logspace(0,4,101);
[mag,phase,w]=bode(num,den,w) L=find(w>250); wc=w(L(1))
Mag=20*log10(mag(L(1))) Kp=10^(-Mag/20) Ki=0.1*wc*Kp
sysc=tf([Kp Ki],[1 0]) bode(sysc*motor)
根据图4所示，加PI 校正后系统的截止频率满足要求，但相角裕度仅为7 deg ，需增加超前校正环节，欲增加的相角由超调量的要求确定。

图4 PI 校正后系统BODE 图
（2）确定超前校正环节参数
根据超前校正步骤，已知待补偿相角和计算校正器参数α和T 。

)sin(1)
sin(1PM PM -+=
α （8）
α
ωgc T 1
=
（9）
由此确定超前校正控制器的传递函数为：
Ts
Ts
G con ++=
112α （10）
a = (1+sin(PM*pi/180))/(1-sin(PM*pi/180)); [mag0,phase0,w0]=bode(sysc*motor); adb=20*log10(mag0); am=-10*log10(a);
wgc=spline(adb,w0,am); T = 1/(wgc*sqrt(a)); con2 = tf([a*T 1],[T 1]); w = logspace(2,3,101); bode(con2*sysc*motor,w)
图5 加超前校正的系统BODE 图
观察波形, 截止频率右移，在250 rad/sec 附近的幅值为+8dB ，故减小增益。

（3）确定控制器的零极点和增益
通过调整增益K1使系统的截止频率在指定范围。

[mag1,phase1,w1]=bode(con2*sysc*motor,w) L1=find(w1>250); wc1=w1(L1(1))
Mag1=20*log10(mag1(L1(1))) K1=10^(-Mag1/20)
bode(K1*con2*sysc*motor,w)
图6 校正后的系统BODE图
（4）校验校正后闭环系统动态和稳态指标
将控制器与电机构成闭环系统后用阶跃响应来验证设计的正确性。

sys_cl = feedback(K1*sysc*con2*motor,1); %CLOSED-LOOP SYSTEM
t = 0:0.001:0.1;
step(sys_cl,t)
图7 校正后闭环系统阶跃响应
根据图7可知，系统的调节时间和稳态误差均满足系统设计要求。

调节时间27ms，稳态误差为0。

但超调量超标为23%，需调整控制器设计。

（1）增加相角裕度补偿角度。

重复上述设计步骤。

发现超调量减小到13%但调节时间随之延长为41ms。

（2）将截止频率右移到300。

再重复上述设计步骤。

（3）校验扰动下的稳态误差。

d_cl=feedback(motor,K1*sysc*con2); % DISTRUBANCE STEP
sys_d=zpk(d_cl)
figure(2)
step(sys_d,t)
图8 校正后闭环系统阶跃响应
图9 校正后扰动输入系统阶跃响应
三、结论
根据以上设计与仿真分析,设计的闭环控制系统完全满足系统性能参数的要求。

控制器为
controller= K1*sysc*con2
Transfer function:
0.1333 s^2 + 21.06 s + 514.5
----------------------------
0.0002432 s^2 + s
性能指标为超调量15.7%，调节时间30ms，单位阶跃输入和扰动输入的稳态误差均为0。

频率特性设计指标和时域指标的关系在二阶系统才有准确的对应关系,三阶以上关系就较复杂, 而工程上用二阶系统来近似，给设计带来一定误差，需根据实际情况做出调整。

一般而言，幅值穿越频率反映系统快速性，与调节时间、峰值时间有关，相角裕度表示系统相对稳定性，与超调量有关，低频特性反映了系
统的控制精度稳态误差。

四、课程学习体会（要求200字）
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五、附录
本文所设计程序清单。