2016届(新课标)高考数学(理)一轮复习课时跟踪检测60定点、定值、探索性问题

课时跟踪检测(六十) 定点、定值、探索性问题
(分A 、B 卷，共2页)
A 卷：夯基保分
1．已知F 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，抛物线上点G (2,2p )满足|GF |＝3.
(1)求抛物线的方程；
(2)M 点的坐标为(4,0)，过点F 作斜率为k 1的直线与抛物线交于A ，B 两点，A ，B 两点的
横坐标均不为4，连接AM ，BM 并延长交抛物线于C ，D 两点，设直线CD 的斜率为k 2，问k 1k 2
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
2．(2015·开封模拟)已知抛物线C ：x 2＝4y .
(1)设P 为直线l ：x －y －2＝0上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；
(2)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．
3．(2015·武汉调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，离心率为22
，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2，O 为坐标原点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设椭圆的上顶点为N ，是否存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使点F 为△PQN 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
B 卷：增分提能
1．(2014·山东高考改编)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．
(1)求C 的方程；
(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ，证明直线AE 过定点，并求出定点坐标．
2．已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2
＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．
3．(2014·福建高考)已知曲线Γ 上的点到点F (0,1) 的距离比它到直线y ＝－3 的距离小2.
(1)求曲线Γ的方程；
(2)曲线Γ在点 P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线y ＝3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N .以 MN 为直径作圆C ，过点A 作圆 C 的切线，切点为 B ．试探究：当点 P 在曲线Γ上运动(点 P 与原点不重合)时，线段 AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．
答案
A 卷：夯基保分
1．解：(1)根据抛物线定义知|GF |＝2＋p 2
＝3， 解得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，
则k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 2y 21－y 224
＝4y 1＋y 2，同理k 2＝4y 3＋y 4
. 设AC 所在直线的方程为x ＝ty ＋4，
与y 2＝4x 联立，得y 2－4ty －16＝0，所以y 1y 3＝－16，
同理y 2y 4＝－16，
所以k 2＝4－16y 1＋－16y 2
＝－14·y 1y 2y 1＋y 2. 设AB 所在直线的方程为x ＝my ＋1，与y 2＝4x 联立，
得y 2－4my －4＝0，所以y 1y 2＝－4，
所以k 2＝－14·y 1y 2y 1＋y 2＝1y 1＋y 2
， 所以k 1k 2是定值，且k 1k 2
＝4.
2．解：(1)抛物线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝14
x 2， 求导得y ′＝12
x . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)⎝
⎛⎭⎫其中y 1＝x 214，y 2＝x 224， 则切线P A ，PB 的斜率分别为12x 1，12
x 2， 所以切线P A 的方程为y －y 1＝x 12
(x －x 1)， 即y ＝x 12x －x 212
＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0. 同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0.
因为切线P A ，PB 均过点P (x 0，y 0)，
所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，
x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，
所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解．
故直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.
(2)由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，
所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)
＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，
联立方程⎩
⎪⎨⎪⎧
x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y 消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0，
由根与系数的关系可得y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20，
所以|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝y 0＋2，
所以y 20＋x 20－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2⎝⎛⎭⎫y 0＋122＋92
， 所以当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92
. 3．解：(1)设F (c,0)，则c a ＝22
，知a ＝2c . 过点F 且与x 轴垂直的直线方程为x ＝c ，代入椭圆方程，有(－c )2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±22
b . 于是2b ＝2，解得b ＝1.
又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝2，c ＝1.
所以椭圆C 的方程为x 22
＋y 2＝1. (2)假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 为△PQN 的垂心．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为N (0,1)，F (1,0)，所以k NF ＝－1.
由NF ⊥PQ ，知k PQ ＝1.设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋m ，x 2＋2y 2＝2，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0. 由Δ＞0，得m 2
＜3，且x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－23. 由题意，有·＝0.
因为＝(x 1，y 1－1)，＝(x 2－1，y 2)，
所以x 1(x 2－1)＋y 2(y 1－1)＝0，
即x 1(x 2－1)＋(x 2＋m )(x 1＋m －1)＝0，
所以2x 1x 2＋(x 1＋x 2)(m －1)＋m 2－m ＝0，
于是2×2m 2－23－43
m (m －1)＋m 2－m ＝0， 解得m ＝－43
或m ＝1. 经检验，当m ＝1时，△PQN 不存在，故舍去m ＝1.
当m ＝－43
时，所求直线l 存在， 且直线l 的方程为y ＝x －43
. B 卷：增分提能
1．解：(1)由题意知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0.
设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为⎝⎛⎭⎫p ＋2t 4，0.
因为|F A |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪
⎪t －p 2， 解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)．
由p ＋2t 4
＝3，解得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .
(2)证明：由(1)知F (1,0)，
设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)，
因为|F A |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1，
由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)．
故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02
. 因为直线l 1和直线AB 平行，
设直线l 1的方程为y ＝－y 02
x ＋b ， 代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0
＝0， 由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0
. 设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20
. 当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20
－y 204＝4y 0y 20－4， 可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4
(x －x 0)， 由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4
(x －1)，直线AE 恒过点F (1，0)．当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1，0)，所以直线AE 过定点F (1,0)．
2．解：(1)设椭圆半焦距为c ，
圆心O 到l 的距离d ＝61＋1
＝3， 则l 被圆O 截得的弦长为22，所以b ＝ 2.
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，
又b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.
∴椭圆E 的方程为y 23＋x 2
2
＝1. (2)证明：设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)， 整理得y ＝kx ＋y 0－kx 0，
联立直线l 0与椭圆E 的方程得
⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋y 0－kx 0，y 23＋x 22
＝1， 消去y 得2[kx ＋(y 0－kx 0)]2＋3x 2－6＝0，
整理得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0，
∵l 0与椭圆E 相切，
∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0，
整理得(2－x 20)k 2＋2x 0y 0k －(y 20－3)＝0，
设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2，
则k 1k 2＝－y 20－32－x 20
. ∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5，
∴k 1k 2＝－5－x 20－32－x 20
＝－1. ∴两条切线斜率之积为常数－1.
3．解：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，
依题意，点S 到F (0,1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等， 所以曲线Γ是以点F (0,1)为焦点、直线y ＝－1为准线的抛物线， 所以曲线Γ的方程为x 2＝4y .
(2)当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下：
由(1)知抛物线Γ的方程为y ＝14
x 2， 设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，
则y 0＝14x 20，由y ′＝12x ，得切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝12
x 0， 所以切线l 的方程为y －y 0＝12
x 0(x －x 0)， 即y ＝12x 0x －14
x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝12x 0x －14x 20，y ＝0，
得A ⎝⎛⎭⎫12x 0，0. 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝12x 0x －14x 20，y ＝3，
得M ⎝⎛⎭⎫12x 0＋6x 0，3. 又N (0,3)，所以圆心C ⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 0，3， 半径r ＝12
|MN |＝⎪⎪⎪⎪14x 0＋3x 0， |AB |＝|AC |2－r 2 ＝⎣⎡⎦⎤12
x 0－⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 02＋32－⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 02＝ 6. 所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．。