扬州中学高一第一学期期中考试(数学)

江苏省扬州中学 2008-2009 学年高一第一学期期中考试
数学试卷
11月7日
（注：本试卷满分
160 分，考试时间 120 分钟，请将答案写在答题纸上）
一、填空题（本大题共 14 小题，每题
5 分，计 70 分）
1．函数 y log a (x 1)(0 a
1) 的定义域为
．
2．设
2, 1,0,1,2 ，则使函数 y x
的定义域为 R 且为偶函数的
的值为
．
3．设函数 f (x)
2x 3, g(x 2)
f (x) ，则
g (x) 的表达式是
．
1 1( x 0),
x
4．设函数 f ( x)
2 若 f (a) a. ，则实数 a 的取值范围是
．
1
( x 0).
x
5．方程 log 3 x x 3的解在区间（ n ， n ＋ 1）内， n
N * ，则 n ＝
．
6．已知会合
A
x
a
1有独一实数解 }，用列举法表示会
合
A 为
．
{ a |
2
2
x
7．已知函数 f ( x) 是定义在
R 上的奇函数，当
x 0时 , f (x)
(1
) x ，那么 f 1 (
9) 的值
3
为
．
8．若定义在 R 上的二次函数
f ( x) ax 2 4ax
b 在区间 [0,2]
上是增函数，且
f (m)
f (0) ，则实数 m 的取值范围是
．
9．定义运算 “ *，”对于 n N * ，知足以下运算性质：①
1 1=1 ②（ n+1）
1=3（ n 1 ），则
f (n) n
1的表达式为 f (n)
．
10
f ( x)
ln x+x 2
+2 的零点的个数是
．
．函数
11．若函数 f ( x) lg( ax 2 2x
1) 的值域是 R ，则 a 的取值范围是
．
12．已知函数 y f (x)，在同一坐标系里，函数
y
f (1
x) 和 y f (1
x) 的图象对于
直线
对称 .
13．若 y log 2 (x 2 ax
a) 在区间 ( ,1
3) 上是减函数，则 a 的取值范围是
．
14 ．已知
f ( x) 是定义在
R 上的偶函数，定义在
R 上的奇函数 g ( x) 过点 ( 1, 3)且
g( x) f ( x 1) ，则 f (2007)
f (2008) =
．
二、解答题（本大题共
6 小题，计 90 分）
15．（此题满分14分）已知 x | x2ax b x a,M b,a , 求M .
16．（此题满分14分）已知函数 f ( x)log a x1(a0 且 a1) .
x1
（1）求 f ( x)的定义域；
（2）判断 f ( x) 的单一性，写出你的结论，不要求证明。

17．（此题满分 14 分）已知函数 f ( x)x 33x .
（ 1）判断 f ( x) 的奇偶性，证明你的结论；
（ 2）当a在何范围内取值时，对于x 的方程 f ( x) a在x( 1,1]上有解？
18．（此题满分 14 分）为合理用电缓解电力紧张，某市将试行“峰谷电价”计费方法，在高峰用电时段，即居民户每天8 时至 22 时，电价每千瓦时为 0.56 元，其他时段电价每千瓦时
为 0.28 元.而当前没有推行“峰谷电价”的居民户电价为每千瓦时0.53 元 .若总用电量为S千瓦
时，设顶峰时段用电量为x 千瓦时.
（ 1）写出推行峰谷电价的电费y1g1 ( x) 及现行电价的电费 y2g2 (S) 的函数分析式及电费总差额 f ( x)y2y1的分析式；
（ 2）对于用电量准时均等的电器（在全天任何同样长的时间内，用电量同样），采纳峰谷电价的计费方法后能否能省钱？说明你的原因.
19．（此题满分16 分）定义在R上的函数f(x)知足 f(x+2)=－ f(x),且当 x∈ [－1， 1]时， f(x)=x3.
（ 1）求 f(x)在[1， 5]上的表达式；
（ 2）若 A={x|f(x)>a,x ∈ R},且 A，务实数 a 的取值范围 .
20．（此题满分18 分）设函数f ( x)x x a b .
(1)若
f ( x)
为奇函数求 a、 b ；
,
(2)设常数 b 2 2 3，且对随意x[0,1],f (x) 0 恒建立，务实数 a 的取值范围 .
命题：张福俭校正：侯绪兵
高一数学期中试卷答题纸
一、填空题：（本大题共14 小题，每题 5 分，计 70 分）成绩
1．2．3．
题
4．5．6．
_
_
_
_7．8．9．
_
_
_
_
_答
_
_
_
_
名
姓
10．11．12 ．
13．14．
三、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分）
15．解：
16．解：
17．解：
18．解：
19．解：
请将 20 题做在反面
高一数学期中试卷参照答案11月 7日
一、填空题：（每题 5分，计 70 分）
1．(1,2]2．2 3．2x 14．,1 5．26．{9,2,2}7．2
4
8．0 m 4 9．3n－110． 111．[0,1] 12．x0 13．[2 2 3,2]14．－ 3二、解答题：（计 90 分）
15．（此题满分14 分）
解：由已知得x2ax b x 的两个根x1x2 a ，
即 x 2
( a 1)x b 0 的两个根 x 1
x 2 a ，
∴ x 1 x 2
1 a 2a,得 a
1
， x 1 x 2 b
1 ，
3 9
∴
b,a
1 , 1 ．∴ M
或
1 , 1 ．
9 3
9 3
16．（此题满分 14 分）
解：（ 1）由
x
1 0 得 x
1 或 x 1，∴ f ( x) 的定义域为（
，-1） （ 1，
） .
x
1
（2）当0 a 1时， f ( x) 在
（
，-1）和（1，
）上都是增函数； 当 a 1 时， f ( x)
在（
， -1）和（ 1， ）上都是减函数 .
17．（此题满分 14 分）
解：（ 1）证明：明显 f ( x) 的定义域是 R 。

设 x
R ，
f ( x)
( x) 3 3( x)
( x 3
3x)
f ( x) ，
函数 f ( x) 是奇函数 .
（2）解： 设
1 x 1 x
2 1 ，则
f ( x 1 ) f ( x 2 ) ( x 1 3 3x 1 ) ( x 2 3 3x 2 ) (x 1 x 2 )[3 ( x 1 2 x 1 x 2 x 2 2 )]
x 1 x 2 ， 3 ( x 12 x 1 x 2 x 22 ) 0
f (x 1 ) f (x 2 ) 0
，
∴
f ( x)
在
1,1 上是增函数.
∴函数 f ( x)
x 3 3 x 的值域是
2,2 .
∴当
a 在 2,2 内取值时，对于
x 的方程 f ( x ) a 在
x
上有解 .
( 1,1]
18．（此题满分 14 分）
（ 1）若总用电量为 S 千瓦时，设高锋时段用电量为 x 千瓦时，则低谷时段用电量为（S －x ）千瓦时 .
y 1 0.56x (S x) 0.28 0.28S 0.28x ；
y 2 0.53S ；
电费总差额
( ) 0.25 0.28 (0
)
f x y 2 y 1 S x
x S
（ 2）能够省钱 .
令 f ( x) 0 即 0.25S 0.28x 0
x 25 .
S 28
对于用电量准时均等的电器而言，顶峰用电时段的时间与总时间的比为
14725
.能保证 f (x)0,即 y1 y2.
241228
因此用电量准时均等的电器采纳峰谷电价的计费方法后能省钱. 19．（此题满分16 分）
解：∵ f(x+2)=-－f(x), x∈ R，∴ f(x)= －f(x－2).
当 x∈ [1， 3]时， x－ 2∈ [－ 1,1], ∴ f(x)= － f(x－2)= － (x－ 2)3=(2－ x)3.
又 f(x)= － f(x+2)=f(x+4), ∴ f(x)是以 4 为周期的函数 .
当 x∈ [3， 5]时， x－ 4∈ [－ 1,1], f(x)=f(x －4)= (x－ 4)3.
(2x)3x[1,3]
f ( x)
4)3x(3,5]
( x
（ 2）当x时y f x
) (2x3
,
y
[ 1,1],
[1,3] ,()
当 x∈（ 3,5]时， y= f(x)=(x－ 4)3,∴ y∈（－ 1,1],
∴f(x)在 [1，5]上的值域为 [ － 1,1].
又 f(x) 是以 4 为周期的函数，∴当x∈ R 时， f(x) ∈ [－1,1].
∴当 a<1 时，存在 x 使 f(x)>a，故 a 的取值范围为 a<1.
20．（此题满分18 分）
解：（ I）若f ( x)是奇函数，则对全部x∈ R，f ( x) f ( x) 恒建立，即x | x a | b x | x a | b.
令 x0,得 b b, 因此 b0.
再令 x a, 得2a | a | 0,a0.
（II）
b 2 23时， f ( x)x | x a |b0, x[0,1], 恒建立 ,即 x | x a | b.
因为 b 是负数，故2
,且2.
x ax b x ax b
（ 1）x
2
ax
b在
x b恒建立设g x x2ax b ，
[0,1], 2 23,()
g(0)0,b0,(1)
则
g(1)0,即 1 a b0, (2)
4b a2 a 24b.(3)
40.
此中（ 1），（3）明显建立，由（ 2 ），得a 1 b.（*）
（ 2）x2ax b0在 x[0,1]时恒建立 ,设 h( x)x2ax b ，
a 0, ①
2 即a 0.
h(0) 0,
综合（ * ），得 b
1时,1 b
a 0; 1 b
2 2 3时, a 值不存在
a
1,
2 0
a
2,
②
.
4b a
2
即
b a
2
2
b
4
0.
综合（ * ），得 b
1时,0 a
2; 1
b 2 2 3时, b 1 a
2 b.
a
1, a 2,
2
③
即
1 b.
h(1)
a
0.
综合（ * ），得 b
1时,2 a 1 b; 1 b
2 2 3时, a 不存在
综上，得
1 b
2 2 3时, b 1 a
2 b ;b
1时,b 1 a
1 b.
解法二：
b 2 2 3 0, 当x 0时, a 取随意实数不等式恒建立，
故考虑 x
0,1时 ,原不等式变成 | x a |
b
,即 x
b a x
b .
x
x
x
a
(x b
(1)
) max ,
只要对 x
0,1 ,知足
x
b
) min .
a
(x
(2)
x
对（ 1）式，由 b < 0 时，在 0,1 上 , x
b
为增函数，
x
b
) max
( x
1 b.
x
a
1 b.
（ 3）
对（ 2）式，当 1 b 0时, 在 0,1 上, x
b x b 2
b.
x
x
b
b
) min
当 x
b 时, x 2
b, ( x
2 b.
x x
a 2 b.
（4）
由（ 3）、（ 4），要使 a 存在，一定有
1 b 2
b,即 1 b 3
2 2.
1 b 0.
∴当 1 b 3 2 2时,1 b a 2 b.
当 b 1时 ,
在0,1 上, x
b
为减函数，（证明略）
x
( x b
f (1)1 b. ) min
x
当 b 1
时,1b a 1 b.
综上所述，当 1 b223时,a 的取值范围是 (1 b,2 b ) ；
当 b 1时 , a 的取值范围是
(1b,1 b).。