高等数学等价无穷小替换_极限的计算

⾼等数学等价⽆穷⼩替换_极限的计算
讲义
⽆穷⼩极限的简单计算
【教学⽬的】
1、理解⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念;
2、掌握⽆穷⼩的性质与⽐较会⽤等价⽆穷⼩求极限;
3、不同类型的未定式的不同解法。

【教学内容】
1、⽆穷⼩与⽆穷⼤;
2、⽆穷⼩的⽐较;
3、⼏个常⽤的等价⽆穷⼩等价⽆穷⼩替换;
4、求极限的⽅法。

【重点难点】
重点就是掌握⽆穷⼩的性质与⽐较⽤等价⽆穷⼩求极限。

难点就是未定式的极限的求法。

【教学设计】⾸先介绍⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念与性质(30分钟),在理解⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念与性质的基础上,让学⽣重点掌握⽤等价⽆穷⼩求极限的⽅法(20分钟)。

最后归纳总结求极限的常⽤⽅法与技巧(25分钟),课堂练习(15分钟)。

【授课内容】
⼀、⽆穷⼩与⽆穷⼤
1、定义
前⾯我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x (+∞→x 、+∞→x )函数()
x f 的极限、0x x →(+→0x x 、-
→0x x )函数()f x 的极限这七种趋近⽅式。

下⾯我们
⽤
→x ＊表⽰上述七种的某⼀种趋近⽅式,即
＊{
}
-
+
→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00
x x x x x x x x x n
定义:当在给定的→x ＊下,()f x 以零为极限,则称()f x 就是→x ＊下的⽆穷⼩,即()0lim =→x f x ＊。

例如, ,0sin lim 0
=→x x Θ .0sin 时的⽆穷⼩是当函数→∴x x
,01lim
=∞→x x Θ .1
时的⽆穷⼩是当函数∞→∴x x
,0)1(lim =-∞→n
n n Θ .})1({
时的⽆穷⼩是当数列∞→-∴n n n
【注意】不能把⽆穷⼩与很⼩的数混淆;零就是可以作为⽆穷⼩的唯⼀的数,任何
⾮零常量都不就是⽆穷⼩。

定义: 当在给定的→x ＊下,()x f ⽆限增⼤,则称()x f 就是→x ＊下的⽆穷
⼤,即()∞=→x f x ＊
lim 。

显然,∞→n 时,Λ、
、、32n n n 都就是⽆穷⼤量, 【注意】不能把⽆穷⼤与很⼤的数混淆;⽆穷⼤就是极限不存在的情形之⼀。

⽆
穷⼩与⽆穷⼤就是相对的,在不同的极限形式下,同⼀个函数可能就是⽆穷⼩也可能就是⽆穷⼤,如
0lim =-∞
→x x e , +∞=+∞
→x x e lim ,
所以x e 当-∞→x 时为⽆穷⼩,当+∞→x 时为⽆穷⼤。

2.⽆穷⼩与⽆穷⼤的关系:在⾃变量的同⼀变化过程中,如果()x f 为⽆穷⼤, 则
()x f 1为⽆穷⼩;反之,如果()x f 为⽆穷⼩,且()0≠x f ,则()
x f 1为⽆穷⼤。

⼩结:⽆穷⼤量、⽆穷⼩量的概念就是反映变量的变化趋势,因此任何常量都不就是⽆穷⼤量,任何⾮零常量都不就是⽆穷⼩,谈及⽆穷⼤量、⽆穷⼩量之时,⾸先应给出⾃变量的变化趋势。

3、⽆穷⼩与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()()
(),x x x
f x A f x A x α?=?+其中)(x α就是⾃变量在同⼀变化
过程0x x →(或∞→x )中的⽆穷⼩、
证:(必要性)设0
lim (),x x f x A ?=令()(),x f x A α=-则有0
lim ()0,x x x α?=
).()(x A x f α+=∴
(充分性)设()(),f x A x α=+其中()x α就是当0x x ?时的⽆穷⼩,则
lim ()lim(())x
x x
x f x A x α=+ )(lim 0
x A x x α→+= .A =
【意义】
(1)将⼀般极限问题转化为特殊极限问题(⽆穷⼩);
(2)0()(),().f x x f x A x α?给出了函数在附近的近似表达式误差为 3、⽆穷⼩的运算性质
定理2 在同⼀过程中,有限个⽆穷⼩的代数与仍就是⽆穷⼩、【注意】⽆穷多个⽆穷⼩的代数与未必就是⽆穷⼩、
是⽆穷⼩，
时例如n
n 1
,,∞→ .11不是⽆穷⼩之和为个但n n 定理3 有界函数与⽆穷⼩的乘积就是⽆穷⼩、
如:01)1(lim =-∞→n n n ,01sin lim 0=→x
x x ,0sin 1
lim =∞→x x x 推论1 在同⼀过程中,有极限的变量与⽆穷⼩的乘积就是⽆穷⼩、
推论2 常数与⽆穷⼩的乘积就是⽆穷⼩、推论3 有限个⽆穷⼩的乘积也就是⽆穷⼩、
⼆、⽆穷⼩的⽐较
例如,221
0,,,sin ,sin
x x x x x x
当时都是⽆穷⼩，
观察各极限: x
x x 3lim 20→,0=;32要快得多⽐x x x
x
x sin lim
0→,1=;sin ⼤致相同与x x
2
201sin
lim
x x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可⽐、极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同、 1.定义: 设,αβ就是⾃变量在同⼀变化过程中的两个⽆穷⼩,且0.α1
(1)lim
0,,();o β
βαβαα==如果就说是⽐⾼阶的⽆穷⼩记作 ;),0(lim )2(是同阶的⽆穷⼩与就说如果αβαβ
≠=C C
lim 1,~;β
βααβα=特殊地如果则称与是等价的⽆穷⼩，记作
(3)lim (0,0),.k C C k k β
βαα
=?如果就说是的阶的⽆穷⼩
例1 .tan 4,0:3的四阶⽆穷⼩为时当证明x x x x →
证:430tan 4lim x x x x →3
0)tan (lim 4x
x x →=,4=.tan 4,03的四阶⽆穷⼩为时故当x x x x →例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→解30sin tan lim
x x x x -→Θ)cos 1tan (lim 20x
x x x x -?=→,21
=.sin tan 的三阶⽆穷⼩为x x x -∴ 2.常⽤等价⽆穷⼩:,0时当→x
(1)x sin ～x ; (2)x arcsin ～x ; (3)x tan ～x ; (4)x arctan ～x ; (5))1ln(x +～x ; (6)1-x e ～x (7)x cos 1-～2
2
x (8)1)1(-+µx ～x µ (9)1x a -～ln a x *
⽤等价⽆穷⼩可给出函数的近似表达式:
,1lim =αβΘ,0lim =-∴α
βα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有
例如),(sin x o x x +=).(2
11cos 22
x o x x +-
= 3.等价⽆穷⼩替换
定理:.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα'
'=''''则存在且设证:α
βlim
)lim(αααβββ'?''?'=αααβββ'?''?'=lim lim lim .lim αβ''
=
例3 (1).cos 12tan lim
2
0x
x x -→求; (2)1cos 1
lim 2
0--→x e x x 解: (1).2~2tan ,21~cos 1,02
x x x x x -→时当故原极限202(2)lim 12
x x x
== 8
(2)原极限=2lim
2
2
0x x x -→=2
1-
例4 .2sin sin tan lim
30x
x
x x -→求错解: .~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→3
0)2(lim
x x
x x -=→原式=0
正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,2
1~
3x 故原极限33012lim (2)x x
x ?=.16
1
=
【注意】与、差形式⼀般不能进⾏等价⽆穷⼩替换,只有因⼦乘积形式才可以进
⾏等价⽆穷⼩替换。

例5 .3sin 1
cos 5tan lim
0x
x x x +-→求
解: ),(5tan x o x x +=Θ),(33sin x o x x +=).(2
1cos 122
x o x x +=
- 原式22
015()()
2lim 3()x x o x x o x x o x ?+++=+x
x o x x o x x x o x )(3)(21)(5lim
20+
+++=→.35= 三、极限的简单计算
1、代⼊法:直接将0x x →的0x 代⼊所求极限的函数中去,若()0x f 存在,即为
其极限,例如92
4231232lim 3451=++++-→x x x x x x ;若()0x f 不存在,我们也能知道属于哪种未定式,便于我们选择不同的⽅法。

例如,3 9
lim 23--→x x x 就代不进去了,但我们瞧出了这就
是⼀个0
型未定式,我们可以⽤以下的⽅法来求解。

2、分解因式,消去零因⼦法
例如,()63lim 39
lim
3
23=+=--→→x x x x x 。

3、分⼦(分母)有理化法例如,()()()( )()()
355125125123
53
5lim
5
1235lim
2
2
2
2
22
++++-
+++++-+=-+-+→→x x x x x
x
x x x x
4
24
lim 22--=→x x x
()()()
2222lim
2--+=→x x x x 2= ⼜如,(
)
011lim
1lim
2
2=++=-++∞
→+∞
→x
x x x x x
4、化⽆穷⼤为⽆穷⼩法
例如,2
2221
7
3373lim lim 142422x x x x x x x x x
x
+
-+-==-+-+
,实际上就就是分⼦分母同时除以2x 这个⽆穷⼤量。

由此不难得出
<∞>==++++++--∞→m
n m n m n b
a b x b x b a x a x a n n n m m m x ，，，0lim 00
110110ΛΛ⼜如,12111lim
2
1lim
=+
+
=+++∞
→+∞
→x
x
x x x x ,(分⼦分母同除x )。

再如,11531
52lim 5352lim -=+??
- =+-∞
→∞→n n
n n n n n n ,(分⼦分母同除n 5)。

5、利⽤⽆穷⼩量性质、等价⽆穷⼩量替换求极限例如,()01
31arctan lim 2=+++∞→x x x x x ,(⽆穷⼩量乘以有界量)。

⼜如,.3
21
4lim 21-+-→x x x x 求
解:)32(lim 21
-+→x x x Θ,0=商的法则不能⽤
)14(lim 1-→x x Θ⼜,03≠=1432lim
21--+∴→x x x x .03
== 由⽆穷⼩与⽆穷⼤的关系,得.3
21
4lim
21∞=-+-→x x x x
再如,等价⽆穷⼩量替换求极限的例⼦见本节例3—例5。

6、利⽤两个重要极限求极限(例题参见§1、4例3—例5)
7、分段函数、复合函数求极限
例如,).(lim ,0
,10
,1)(0
2x f x x x x x f x →≥+<-=求设
解: 两个单侧极限为是函数的分段点,0=x
)1(lim )(lim 0
x x f x x -=--→→,1=)1(lim )(lim 20
+=++→→x x f x x ,1=
左右极限存在且相等, .1)(lim 0
=→x f x 故
【启发与讨论】思考题1:11
0,sin x y
x x
当时是⽆界变量吗？是⽆穷⼤吗？
解:),3,2,1,0(2
21)1(0Λ=+
=
k k x π
π取
,22)(0π
π+
=k x y .)(,0M x y k >充分⼤时当⽆界, ),3,2,1,0(21
)2(0Λ==k k x π
取
,,δ
结论:⽆穷⼤就是⼀种特殊的⽆界变量,但就是⽆界变量未必就是⽆穷⼤、思考题2:若0)(>x f ,且A x f x =+∞
→)(lim ,问:能否保证有0>A 的结论？试举例说明、
解:不能保证、例x x f 1)(=
,0>?x 01
)(>=x
x f =+∞→)(lim x f x
.01
lim ==+∞→A x
x 思考题3:任何两个⽆穷⼩量都可以⽐较不？
解:不能.例如当+∞→x 时,1)(x x f =x x
x g sin )(=都就是⽆穷⼩量
但=+∞
→)()
(lim x f x g x x x sin lim +∞
→不存在且不为⽆穷⼤,故当+∞→x 时)(x f 与)(x g 不能⽐较、
【课堂练习】求下列函数的极限
(1)x
x
e x x cos lim 0-→; 解:原极限=1cos 1lim 1lim cos lim
000=-+-=-→→→x
x
x e x x e x x x x x
(2)求)
1ln()cos 1(1cos
sin 3lim
20x x x x x x +++→【分析】 “0
”型,拆项。

解:原极限=?????? ??+→x x x x x 21cos sin 3lim 20=?????? ??+→x x x x x x 21cos 2sin 3lim 2
0=23
(3)1
42345lim 52
45+-++∞→x x x x x x ; 【分析】“抓⼤头法”,⽤于
∞
∞
型解:原极限=5
43
142345lim x
x x x x +-++∞→=25,或原极限555522lim x x x ==
(4))(lim 2x x x x -+∞
+;
【分析】分⼦有理化解:原极限=x
x x x x +++∞
→2lim
=1111
lim
+++∞
→x x =2
1
(5))2
1
4(lim 2
22---→x x x x 【分析】∞-∞型,就是不定型,四则运算法则⽆法应⽤,需先通分,后计算。

解:)214(lim 222---→x x x x =42lim 222---→x x x x =21lim 2++→x x x =4
3
(6)3
9lim
2
20
-+→x x x
【分析】“0
”型,就是不定型,四则运算法则失效,使⽤分母有理化消零因⼦。

解:原极限=(
)
2
22
3
9lim x x x x ++→=6
(7)).21(
lim 2
22n n n n n +++∞
→Λ求解: 是⽆穷⼩之和．时,∞→n 先变形再求极限、
222221lim )21(lim n n n n n n n n +++=+++∞→∞→ΛΛ2)
1(21
lim n n n n +=∞→)11(21lim n n +=∞→.21= 【内容⼩结】
⼀、⽆穷⼩(⼤)的概念
⽆穷⼩与⽆穷⼤就是相对于过程⽽⾔的、 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论、 2、⼏点注意:
(1) ⽆穷⼩( ⼤)就是变量,不能与很⼩(⼤)的数混淆,零就是唯⼀的⽆穷⼩的数;
(2) ⽆穷多个⽆穷⼩的代数与(乘积)未必就是⽆穷⼩、 (3) ⽆界变量未必就是⽆穷⼤、⼆、⽆穷⼩的⽐较:
1、反映了同⼀过程中, 两⽆穷⼩趋于零的速度快慢, 但并不就是所有的⽆穷⼩都可进⾏⽐较。

⾼(低)阶⽆穷⼩; 等价⽆穷⼩; ⽆穷⼩的阶。

2、等价⽆穷⼩的替换:
求极限的⼜⼀种⽅法, 注意适⽤条件、三、极限求法(不同类型的未定式的不同解法);
a 、多项式与分式函数代⼊法求极限;
b 、消去零因⼦法求极限;
c 、⽆穷⼩因⼦分出法求极限;
d 、利⽤⽆穷⼩运算性质求极限;
e 、利⽤左右极限求分段函数极限、。