山东大学《电磁学》课件07交流电

I
UR
R
7.3.4并联电路 （1）RC并联
I
IR
I
的长度为
C
I IR2 IC2
iC iR
IR
U ZR
U R
,
故 IC ZR CR, I U 1 (C)2
IR ZC
R2
IC
U ZC
CU
Z U I
1
, arctan IC arctan(CR)
1 R2
(C ) 2
IR
例.在 RC并联电路上加20V交流电压，已知电阻R=5.0, 容抗ZC 4.0,求各分支的电流和总电流。
IR
U R
20 5.0
4.0A
IC
U ZC
20 4.0
5.0A
总电流I IR2 IC2 =6.4A
（2）RL并联
I
IR2
I
2 L
U
11
R2 (L)2
Z U I
1
1 R2
1
( L)2
arctan IL arctan R
IR
L
7.3.5串、并联电路的应用（旁路、相移、滤波）
（1）旁路电容
t0 t dt
q(t) Q0 cost
i(t) I0 cos(t i )
u(t
)
U
0
cos(t
u
)
i(t)
dq dt
Q0
sin t
Q0
cos(t
2
)
u(t) q Q0 cost
CC
I0
Q0,U0
Q0 C
,i
2
,u
0
电容元件的阻抗（容抗）和相位差为
ZC
U0 I0
=1
C
=u
i
2
7.3.3串联电路 （1 ）RC串联
U UR UC， U的长度U
U
2 R
UC2
UR
IZ R
IR,UC
IZC
I
C
故UC ZC 1 ,U I R2 ( 1 )2
UR ZR CR
C
总阻抗Z U R2 ( 1 )2
I
C
arctan UC arctan 1
UR
CR
例1.在 RC串联电路上加35V的交流电压，已知电阻R=15.0, 容抗ZC 9.0,求电路中的电流和电压分配情况。
直流电相当。
电压的有效值为U
U0 2
0.70U
，
0
电流的有效值为I
I0 2
0.70I0
(3)相位
t e、t u、t i等叫做相位(phase)，其中e、 u、i叫做初相位(initial phase)。
两个同频简谐量的相位之差称为相位差(phase difference)，
用表示。如u与i的相位差为=(t u ) (t i ) u i
例1.电源提供500Hz、3mA的电容，未接电容C时电阻R=500
两端的交流电压为多少？当并联一个30F的电容C后，电阻R
两端的交流电压降落为多少？
3mA
没有电容时UR =IR 1.5V
加上电容以后，容抗为ZC =
1
2 fC
10
所以两分支的交流电流之比为 IC ZR 50
IR ZC
作为一种近似的估算IC I 3mA
（2）RC相移电路
例2.图中300Hz的输入信号通过RC串联电路，其中R=100.
要求输出信号与输入信号间有 4的相位差（即相移 4），
电容C应取多大？
输出电压与输入电压之间的相位差
arctan UR arctan R = arctan（2 fCR）
UC
ZC
C= 1 tan 1 5.3F
（1）容抗与频率成反比。 电容具有高频短路，直流开路的性质
（2）电容上电压的相位滞后于电流 2。
7.2.4交流电路中的电感元件
自感电动势eL
L
di ， dt
压降u eL
故可得u L di dt
i(t) I0 u(t) U
cos t 0 cos(t
u
)
则u(t)
L
di dt
LI 0
sin t
若 0，则说在相位上u比i超前角，或说i比u滞后角； 0时，二者同相； 时，二者反相。
频率、峰值和相位是交流电的三个特征量。
7.2 交流电路中的元件
7.2.1 概述 （1）在交流电路中有电阻(resistor)，电容和 电感三种元件。
（2）在交流电路中反映某一元件上的电压u(t) 和其中i(t)的关系，需要有两个量，一是二者 峰值之比（即有效值之比），叫做该元件的 阻抗(impedance)，用Z表示，Z U0 U ， I0 I
电路的总阻抗为Z R2 ZC2 17.5 电流为I U 35 2.0A
Z 17.5 电阻上的电压为UR =IR 30V 电容上的电压为UC =IZC 18V
例2.在 RC串联电路上加50Hz的交流电压，测得电阻上 的电压为30V,电容上的电压为40V,已知电阻值为200, , 求总电压、电流和电容。
7.3.1用矢量图解法计算串、并联电路 交流电压、电流在任何时刻t的 瞬时值都满足如下的关系： (1)串联电路：通过各元件 的电流i(t)一样，总电压 u(t) u1(t) u2 (t) (2)并联电路：各元件两端 的电压u(t)相同，总电流 i(t) i1(t) i2 (t)
7.3.2用矢量图解(vector diagram)法计算同频简谐量的叠加
直流电压全部集中在电容器上，所以输出的直流电压为240V。
容抗：ZC
=
1
2 fC
=32
总阻抗：Z
电容两端的交流输出为UC
ZC Z
U
16V
R2 ZC2 200
实际中为了进一步加强滤波的效果，往往采用多级的RC滤波电路
为了组成高频滤波电路，只需将图 中的电阻和电容位置对调（图a）； 或者利用电阻元件R和电感元件L之 间频率特性的差别，组成如图b所示 的高通滤波电路。
另一是二者相位之差 u i
7.2.2交流电路中的电阻元件
欧姆定律仍适用于交流电路中的电阻元件。
设u(t) U0 cost
则i(t)
u(t) R
U0 R
cos t
I0
cos t
ZR
U0 I0
R
=u i 0
对于电阻元件，其交流阻抗ZR就是它的电阻R， 电压、电流的相位一致
7.2.3交流电路中的电容元件 电路中电流i(t)= lim q dq
两元件上电压之比UR :UC R :1 C
如果输入的电压中包含直流成分和 交流成分，则直流成分将百分之百地 降落在电容两端，但从电容两端输出的交流成分将减少。
例3.已知电压中包含直流成分240V和500Hz的交流纹波100V。
将此电压输入图中的低通滤波电路，其中R=200，C=50F，
求输出电压中的交、直流成分各多少？
A e j(t2 ) 2
则A的模A A 即为合成简谐量a(t) a1(t) a2 (t)的峰值，A的
辐角t 即为a(t)的相位，t 0时的辐角即为a(t)的初相位。
例.用复数法求下列两个同频简谐量之和：
a1
(t
)
3
cos
t，a2
(t
)
4
cos(t
2
)
a1(t) 3cost A1 3e jt，
2 fR
2 fR
（3）低通和高通滤波电路
能够使某些频率的交流电信号顺利通过，而将另外一些 频率的交流电信号阻挡住，具有这种功能的电路叫做 滤波电路。能使低频信号顺利通过而将高频信号阻挡住 的电路，叫做低频滤波电路；能使高频信号顺利通过而 将低频信号阻挡住的电路，叫做高频滤波电路。
如图一单级的低频滤波电路，
总电压为U
U
2 R
UC2
50V
电流为I UR 30 150mA R 200
容抗为ZC =
1
2 fC
UC I
故电容为C
I
150 103
1.2105 F=12F
2 fUC 2 50 40
（2）RL串联
U
UR2
U
2 L
I
R2 (L)2
Z U R2 （L）2， arctan UL arctan L
电路上加有交变电压u(t) U0 cos(t u ) 通过的交变电流i(t) I0 cos(t i )
(argument)(t )等于简谐量的相位
用复数法计算同频简谐量叠加的基本步骤：
（1）将简谐量和复数量对应起来：
a1(t) A1 cos(t 1) A1 A1e j(t1)，
a2 (t)
A2
cos(t
2 )
A2
A e j(t2 ) 2
(2)求复数 A1和 A2之和：
A
A1
A2
A e j(t1 ) 1
具有简单的比例关系：U IZ或I = U . Z
电压、电流的瞬时值之间一般不具有简单的比例关系。
（3）电容有隔直流、通交流、高频短路的作用，电感有 阻高频、通低频的作用。 （4）相位差作为一种内在的因素，将在元件组合的电路中 起着突出的作用。
（5）一切实际元件都可以作为纯元件的适当组合来处理。
7.3 元件的串联和并联（矢量图解法）
本章讨论的是非恒定电路问题。严格地说，电路中的变化 与周围电磁场的变化密切不可分割，但是在随时间变化不 太快的情况下，电路可看成“似稳的”，即它保留了恒定 电路的许多重要特征。本章假定，似稳条件是满足的。
当电源的频率f比较低、电磁波 波长远大于电路尺寸l时，
这类电路叫做似稳电路。保证电路似稳的基本条件是：
a2 (t)
4 cos(t
)
2
A2
4e
j
(t
2
)
=4e
j
2
e
jt
=4
je jt
A A1 A2 (3 4 j)e jt
A 3 4 j 32 42 5
t 0时，A=3 4 j，arg A arctan 4 53 8 3
即a(t)的峰值A 5，初相位=53 8
7.4.2复电压、复电流及复阻抗的概念
7.1.2 描述简谐交流电的特征量
交变电动势e(t)、交变电压u(t)和交变电流i(t)可表示为：
e(t) 0 cos(t e ) u(t) U0 cos(t u ) i(t) I0 cos(t i )
(1)频率
是角频率，它与频率(frequency)f 之间的关系是：
2 f 或f 2
(2)用矢量的加法（平行四边形法则）
求出合成矢量A A1 A2
O
2 1 A1 x
例.求下列两个同频简谐量之和：
a1 (t )
3
cos
t，a2
(t
)
4
cos(t
2
)
做出矢量图，A的长度为
A 32 42 5
arctan 4 53 8
3
a(t) 5cos(t 53 8)
A2
A
A
A1
O
f 与周期(period)T的关系是：f 1 或T = 1
T
f
频率的单位叫做赫兹（Hz）
(2)峰值和有效值
0、U
0、I
分别是电动势、电压和电流的幅值，或称
0
峰值(peak value)。应当说明，几乎所有的交流电表都
是按“有效值”(effective value)来刻度的。有效值是
指这一交流电通过电阻时产生的焦耳热与数值多大的
设有两个同频简谐量
a1(t) A1 cos(t 1)，a2 (t) A2 cos(t 2 )
求它们的合成：a(t) a1(t) a2 (t)
可以证明a(t)也是具有同一频率的简谐量，
则a(t)可写成a(t) Acos(t )
A
用矢量图解法求A和的步骤：
A2
(1)取原点O和一水平基准线Ox
虽然交流电的波形多种多样，但最重要的是简谐交流电。 （1）任何非简谐式的交流电都可分解为一系列不同频率 的简谐成分。
任何一个周期性的函数都可以分解成一系列频率成整数倍 的简谐函数（这在数学上叫做傅里叶分解(Fourieranalysis)）。 （2）不同频率的简谐成分在线性电路中彼此独立、互不干扰。
从而交流电压降落为U IC ZC 30mV
在RC并联电路中电流的交流成分主要通过 电容支路，而直流成分百分之百地通过电阻
支路，并联在R旁边的电容C就起到“交流旁 路”或者说“高频短路”的作用。所以叫做
“旁路电容”。由于旁路电容的交流阻抗
ZC
1
C
很小，在其两端的交流电压降很小，
起到稳定电压的作用。
7.4 交流电路的复数解法
7.4.1用复数法计算同频简谐量的叠加 设有复数A Ae j(t),将其展开
A Acos(t ) jAsin(t )
可见这一复数的实部为一简谐量
约定：如果一个简谐量与另一个复数对应，是 指这一复数的实部(real part)等于这一简谐量， 或复数的模(modulus)A等于简谐量的峰值，辐角
l或T l 或f c
c
l
7.1 交流电概述
在一个电路里，电源的电动势e(t)随时间做周期性变化， 则各段电路中的电压u(t)和电流i(t)都将随时间做周期性 变化，这种电路叫做交流电路。
7.1.1 各种形式的交流电
交流发电机产生的交变电动势随时间变化的关系基本上 是正弦或余弦函数，这样的交流电，叫做简谐交流电 (alternating current,A. C.)
LI 0
cos(t
)பைடு நூலகம்
2
U
0
=
LI0，u
=
2
电感元件的阻抗（感抗）和相位差为
ZL
U0 I0
= L
=u
i
2
（1）感抗随频率正比地增加。 电感元件具有阻高频、通低频的性质
（2）电感上的电压比电流超前 2。
7.2.5小结
（1）元件的性质用阻抗Z和相位差两个参量来标志，表7-1
（2）在交流电路中，电压、电流的峰值或有效值之间