运动的合成和分解 平抛运动

运动的合成和分解·平抛运动
【基础知识归纳】
一、运动的合成和分解
1．运动的独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，互不影响．2．运动的合成：加速度、速度、位移都是矢量，遵守矢量的合成法则．
（1）两分运动在同一直线上时，同向矢量大小相加，反向矢量大小相减．
（2）两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图4—1—1所示．
图4—1—1
（3）两分运动垂直时或正交分解后的合成
a合＝
2
2
y x
a a+
v合＝
2
2
y x
v v+
s合＝
2 2
y x
s s+
3．运动的分解：是运动合成的逆过程．
分解原则：根据运动的实际效果分解或正交分解．
二、曲线运动
1．曲线运动的特点：运动质点在某一点的瞬时速度的方向，就是通过这一点的曲线的切线方向．因此，质点在曲线运动中的速度方向时刻在改变．所以曲线运动一定是变速运动．但是，变速运动不一定是
曲线运动．
2．物体做曲线运动的条件：从运动学角度说，物体的加速度方向跟速度方向不在一条直线上时，物体就做曲线运动．从动力学的角度说，如果物体所受合外力的方向跟物体的速度方向不在一条直线上时，
物体就做曲线运动．
三、平抛运动
1．定义：水平抛出的物体只在重力作用下的运动．
2．性质：是加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．3．处理方法：可分解为（1）水平方向速度等于初速度的匀速直线运动．v x＝v0，x＝v0t．（2）竖直
方向的自由落体运动．v y＝gt，y＝2
1
gt2．
下落时间t＝
g
y/
2
（只与下落高度y有关，与其他因素无关）．任何时刻的速度v及v与v0的夹角θ：
v＝
2
2
)
(
)
(gt
v+
，θ＝arctan（gt/v0）任何时刻的总位移：
s＝
2
2
2
2
2)
2
1
(
)
(gt
t
v
y
x+
=
+
【方法解析】
1．匀变速曲线运动与非匀变速曲线运动的区别：
加速度a恒定的曲线运动为匀变速曲线运动，如平抛运动．
加速度a变化的曲线运动为非匀变速曲线运动，如圆周运动．
2．对运动的合成和分解的讨论
（1）合运动的性质和轨迹
两直线运动合成，合运动的性质和轨迹由分运动的性质及合初速度与合加速度的方向关系决定：两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动．一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动仍是匀变速运动：二者共线时为匀变速直线运动；二者不共线时为匀变速曲线运动．两个匀变速直线运动的合运动仍为匀变速运动：当合初速度与合加速度共线时为匀变速直线运动；当合初速度与合加速度不共线时为匀变
速曲线运动．
（2）轮船渡河问题的分解
方法1：将轮船渡河的运动看做水流的运动（水冲船的运动）和轮船相对水的运动（即设水不流动时
船的运动）的合运动．
方法2：将船对水的速度沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解如图4—1—2所示，则v1－v2cosθ为轮船实际上沿水流方向的运动速度，v2sinθ为轮船垂直于河岸方向的运动速度．
图4—1—2
①要使船垂直横渡，则应使v1－v2cosθ＝0，此时渡河位移最小为d．
②要使船渡河时间最短，则应使v2sinθ最大，即当θ＝90°时，渡河时间最短为t＝d/v2．
（2）物体拉绳或绳拉物体运动的分解——按运动的实际效果分解．例如，图4—1—3中，人用绳通过定滑轮拉物体A，当人以速度v0匀速前进时，求物体A的速度．
图4—1—3
首先要分析物体A的运动与人拉绳的运动之间有什么样的关系．物体A的运动（即绳的末端的运动）可看做两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速度即等于v0；二是垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值．这样就可以将v A按图示方向进行分解，很容
易求得物体A的速度v A＝
cos
v
．当物体A向左移动，θ将逐渐变大，v A逐渐变大．虽然人做匀速运动，但物体A却在做变速运动．
在进行速度分解时，要分清合速度与分速度．合速度就是物体实际运动的速度，是平行四边形的对角线．虽然分速度的方向具有任意性，但只有按图示分解时，v1才等于v0，才能找出v A与v0的关系，因此，分速度方向的确定要视题目而具体分析．在上述问题中，若不对物体A的运动认真分析，就很容易得出v A
＝v0cosθ的错误结果．
3．平抛运动中，任何两时刻（或两位置）的速度变化量Δv＝gΔt，方向恒为竖直向下．如图4—1—4
所示．
【典型例题精讲】
［例1］一艘小船从河岸的A处出发渡河，小船保持与河岸垂直方向行驶，经过10 min到达正对岸下游120 m的C处，如图4—1—5所示．如果小船保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成α角方向行驶，则
经过12.5 min恰好到达正对岸的B处，求河的宽度．
图4—1—5
【解析】解决这类问题的关键是画好速度合成的示意图，画图时首先要明确哪是合运动哪是分运动．对本题来讲，AC和AB是两个不同运动过程中船相对于岸的实际运动方向，那么AB和AC就是速度合成平行四边形的对角线．一旦画好平行四边形，剩下的工作就是根据运动的等时性以及三角形的边角关
系列方程求解了．
设河宽为d，河水流速为v水，船速为v船，船两次运动速度合成如图4—1—6和4—1—7所示
第一次渡河与第二次渡河在垂直岸的方向上位移相等，则
v船t1＝v船sinαt2①
第一次渡河沿水流方向上位移为BC，则
BC＝v
水t1②由图4—1—7可得船的合速度：v＝v水tanα，所以河的宽度为：d＝v t2＝v水tanα·t2③
由①式得sinα＝0.8 故tanα＝3
4
由②式得v水＝12 m/min
代入③式可得河宽d＝１2×3
4
×１2.5 m＝200 m
【思考】（1）若渡河过程中水流的速度突然变大了，是否影响渡河时间?是否影响到达对岸的地点?
（2）如果v船＜v水，小船还能不能到达对岸的B点?这时的最小位移该如何求?
【思考提示】（1）水流的速度增大，不影响过河的时间，但影响到达对岸的地点．（2）当v船＜v水时，小船不能到达对岸B点．当v船跟船的合速度垂直时，船过河的位移最小．【设计意图】通过本例说明运动合成与分解的方法，并进一步说明分析小船过河问题的方法．［例2］在高空匀速水平飞行的飞机，每隔1 s投放一物体，则
A．这些物体落地前排列在一条竖直线上
B．这些物体都落在地面上的同一点
C．这些物体落地时速度大小和方向都相同
D．相邻物体在空中距离保持不变
【解析】这些物体离开飞机后均做平抛运动．在水平方向上，物体与飞机的速度相同，所以所有物体在落地前均处在飞机的正下方．故A选项正确．
物体下落的总时间相同，水平方向最大位移也相同，由于不同物体的抛出点不同，所以落地点也不
同．故Ｂ选项错．
物体落地时的水平分速度v0均相同，竖直分速度v y＝
gh
2
也相同，所以这些物体落地速度的大小
和方向都相同．故C选项正确．
任两个相邻物体在空中的距离Δh＝h1－h2＝2
1
gt2－2
1
g（t－1）2＝2
1
g（2t－1），即随着t的增大，
Δh也逐渐增大．Ｄ选项错．
故正确选项为AC
【思考】（1）飞机上的人看物体做什么运动?地面上的人又认为物体做什么运动?
（2）若某时刻一物体刚离开飞机，试画出此前四个物体的运动轨迹示意图．
（3）若物体在落地前的最后10 s内，其速度方向由跟竖直方向成60°变为45°．那么，飞机的高度和
速度多大?相邻物体落地点间的距离多大?
【思考提示】（1）飞机上的人看物体做自由落体运动，地面上的人看物体做平抛运动．
（2）如图a所示．（3）如图b所示．v y1＝v0tan30°
v y2＝v0tan45°
v y2－v y1＝gΔt
求得v0＝236.6 m/s v y2＝v0＝236.6 m/s 飞机的飞行高度为
h＝
10
2
6.
236
2
2
2
2
⨯
=
g
v
y
m＝2799 m
相邻物体落地点间的距离为236.6 m．
【设计意图】复习平抛运动的规律及研究方法．
［例3］如图4—1—8所示，排球场总长为18 m，设网的高度为2 m，运动员站在离网3 m远的线上正对网前竖直跳起把球垂直于网水平击出．（g＝10 m/s2）
图4—1—8
（1）设击球点的高度为2.5 m，问球被水平击出时的速度在什么范围内才能使球既不触网也不出界?
（2）若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度多大，球不是触网就是出界，试
求出此高度?
【解析】水平击出的排球其运动情况虽然受空气阻力的影响，但是当这类题目出现在中学物理中时仍然可以简化为只受重力做用，因此在这里可以认为其运动为平抛运动．第（1）问中击球点位置确定之后，恰不触网是速度的一个临界值，恰不出界则是击球速度的另一个临界值．第（2）问中确定的则是临界轨迹，当击球点、网的上边缘和边界点三者位于临界轨迹上时，如果击球速度变小则一定触网，否则速
度变大则一定出界．
（1）如图4—1—9所示，排球恰不触网时其运动轨迹为Ⅰ．排球恰不出界时其轨迹为Ⅱ．根据平抛
物体的运动规律：x＝v0t和h＝2
1
gt2可得，当排球恰不触网时有：
图4—1—9
x 1＝3 m x 1＝v 1t 1 ①
h 1＝2.5 m －2 m ＝0.5 m ，h 1＝21gt 12
② 由①②可得：v 1＝9.5 m/s 当排球恰不出界时有：
x 2＝3 m ＋9 m ＝12 m ，x 2＝v 2t 2 ③
h 2＝2.5 m ，h 2＝21
gt 22
④ 由③④可得：v 2＝17 m/s
所以既不触网也不出界的速度范围是：
9.5 m/s ＜v ≤17 m/s
（2） 图4—1—10所示为排球恰不触网也恰不出界的临界轨迹．设击球点的高度为h ，根据平抛运
动的规律则有：
图4—1—10
x 1＝3 m ，x 1＝v t 1′ ⑤
h 1′＝h －2 m ，h 1′＝21
gt 1′2
⑥ x 2＝3 m ＋9 m ＝12m ，x 2＝v t 2′ ⑦ h 2′＝h ＝21
gt 2′2
⑧ 解⑤～⑧式可得所求高度h ＝2.13 m ．
【说明】 本题涉及的物理过程并不复杂，但每当遇到类似的题目时常常又感到无从下手，因此能养成一个良好的分析问题解决问题的思路特别重要．结合本题的解题过程不难看出，解决本题的关键有三点：其一是确定运动性质——平抛运动；其二是确定临界状态——恰不触网或恰不出界；其三是确定临界轨迹
——轨迹示意图．
【设计意图】 （1）通过本例说明平抛运动中临界问题的分析方法；（2）练习应用平抛运动规律分
析实际问题的方法．
【达标训练】
【基础练习】
1．做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是
A ．大小相等，方向相同
B ．大小不等，方向不同
C ．大小相等，方向不同
D ．大小不等，方向相同
【解析】 平抛运动是匀变速运动，加速度为重力加速度，速度的改变量为Δv ＝gt
故平抛运动的物体每1 s 速度的增量大小为9.8 m/s ，方向竖直向下，A 选项正确．
【答案】 A
2．对平抛运动的物体，若g 已知，再给出下列哪组条件，可确定其初速度大小
A ．水平位移
B ．下落高度
C ．落地时速度的大小和方向
D ．落地时位移的大小和方向
【解析】 平抛运动的物体水平方向为匀速直线运动，竖直方向为自由落体运动．已知落地时速度大小和方向，则初速度为落地速度的水平分速度．
【答案】 C
3．物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角α的正切tan α随时间t 变化的图象是如图
4—1—11中的
图4—1—11
【解析】 由下图中可看出平抛物体速度与水平方向夹角α正切即为：tan α＝
000,v g t v g v v y
为定值，
则tan α与t 成正比．
【答案】 B
4．有关运动的合成，以下说法正确的是
A ．两个直线运动的合运动一定是直线运动
B ．两个不在一直线上的匀速直线运动的合运动一定是直线运动
C ．两个匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动
D ．匀加速直线运动和匀速直线运动的合运动一定是直线运动
【解析】 判断合运动是直线运动还是曲线运动，依据是物体所受的合外力或物体的合加速度与合速度方向是否在一条直线上．
【答案】 B
5．甲乙两人在一幢楼的三层窗口比赛掷垒球，他们都尽力沿水平方向掷出同样的垒球，不计空气阻力．甲掷的水平距离正好是乙的两倍．若乙要想水平掷出相当于甲在三层窗口掷出的距离，则乙应
A ．在5层窗口水平掷出
B ．在6层窗口水平掷出
C ．在9层窗口水平掷出
D ．在12层窗口水平掷出
【解析】 由于h 甲＝h 乙，x 甲＝2x 乙，所以v 甲＝2v 乙；由x ＝v 0t 得为使x 甲′＝x 乙′，须使 t 甲′＝21t 乙′；由h ＝21gt 2得h 甲′＝41h 乙′，故为使甲、乙掷出球的水平距离相等，乙应在12层窗口水
平抛出．
【答案】 D
6．从倾角为θ的足够长的斜面上的A 点，先后将同一小球以不同的初速度水平向左抛出．第一次初速度为v 1，球落到斜面上的瞬时速度方向与斜面夹角为α1，第二次初速度为v 2，球落到斜面上的瞬时速度
方向与斜面夹角为α2，若v 1＞v 2，则
A ．α1＞α2
B ．α1＝α2
C ．α1＜α2
D ．无法确定
【解析】 如下图所示，由平抛运动的规律知
l sin θ＝21
gt 2
l cos θ＝v 0t 解得:t ＝
g v
tan 20
由图知
tan （α＋θ）＝00v gt v v y =＝2tan θ
所以α与抛出速度 v 0无关，故α1＝α2，选项B 正确．
【答案】 B
7．炮台高出海面45 m ，炮弹的水平出口速度为600 m/s ，如果要使炮弹击中一艘正以
36 km/h 的速度沿直线远离炮台逃跑的敌舰，那么应在敌舰离炮台____ m 处开炮．（g ＝10 m/s 2）
【解析】 击中敌舰用时间：21
gt 2＝h ，t ＝3 s ，则有v 敌舰t ＋x ＝v 炮弹·t ，则x ＝v 炮弹·t －v 敌舰·t ＝1770 m
【答案】 1770
8．世界上第一颗原子弹爆炸时，恩里科·费米把事先准备好的碎纸片从头顶上方撒下，碎纸片落到他身后约2 m 处．由此，费米推算出那枚原子弹的威力相当于1万吨TNT 炸药．假设纸片是从1.8 m 高处撒
下．请你估算当时的风速是___m/s ，并简述估算的方法__________．
【答案】 310或3.3 把纸片的运动看做是平抛运动，由h ＝21gt 2，v ＝t
s 求出风速v
【能力突破】 9．玻璃生产线上，宽9 m 的成型玻璃板以2 m/s 的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚钻的走刀速度为10 m/s ，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚钻割刀的轨道应如何控制?切割一次
的时间多长?
【解析】 本题是研究分运动和合运动的问题．由题图可知：
cos θ＝m/s 10m/s
2＝0.2
则θ＝arccos0.2
v ⊥＝m/s 96m/s 21022=-
t ＝969
s≈0.92 s
【答案】 （1）轨道方向与玻璃板运动方向成arccos0.2．
（2）0.92 s
10．有一小船正在渡河，如图4—1—12所示，在离对岸30 m 时，其下游40 m 处有一危险水域．假若水流速度为5 m/s ，为了使小船在危险水域之前到达对岸，那么，从现在起，小船相对于静水的最小速度
应是多大？
图4—2—12
【解析】 如下图所示，当小船到达危险水域前，恰好到达对岸，其合速度方向沿AC 方向，sin α＝53．为使船速最小，应使v 1⊥v ，则
v 1＝v 2sin α＝53
v 2＝3 m/s ．
【答案】 3 m/s
11．五个直径均为d ＝5 cm 的圆环连接在一起，用细线悬于O 点．枪管水平时枪口中心与第五个环心在同一水平面上，如图4—1—13，它们相距100 m ，且连线与球面垂直．现烧断细线，经过0.1 s 后开枪射出子弹，若子弹恰好穿过第2个环的环心，求子弹离开枪口时的速度（不计空气阻力，g 取10 m/s 2）．
图4—1—13
【解析】 设从子弹射出到穿过环心所用时间为t ，则根据平抛运动在竖直方向上做自由落体运动的特
点，得竖直方向的位移关系：
s 弹＋0.05×（5－2） m ＝s 环
即21gt 2＋0.05×3 m ＝21
g （t ＋0.1 s ）2，
解得t ＝0.1 s ．
又据子弹水平方向做匀速直线运动：则
v 0＝
1.0100=t s m/s ＝1000 m/s
【答案】 1000 m/s
12．如图4—1—14，AB 为斜面，倾角为30°，小球从A 点以初速度v 0水平抛出，恰好落到B 点．求：
图4—1—14 （1）AB 间的距离； （2）物体在空中飞行的时间；
（3）从抛出开始经多少时间小球与斜面间的距离最大?
【解析】 （1）、（2）由题意，得：
21
gt 2＝l AB sin30°
①
v 0t ＝l AB cos30°
②
解得：t ＝g v 0
2tan30°＝g 332v 0
l AB ＝4v 02/3g
（3）将v 0和重力加速度g 沿平行于斜面和垂直于斜面方向正交分解如下图所示．则当物
体在垂直于斜面方向速度为零时与斜面距离最大，即：
v ⊥0－g ⊥t ′＝0
v 0sin30°－g cos30°t ′＝0
所以t ′＝
g v 3/30
或：当平抛运动的速度与斜面平行时，物体离斜面最远，如下图所示，
则v y ＝v 0tan30°＝gt ′
t ′＝
g v g v 3330tan 0
0=︒
【答案】（1）
g
v
3
42
；（2）
g
v
3
3
2
；（3）
g
v
3
3
※13．光滑斜面倾角为θ，长为L，上端一小球沿斜面水平方向以速度v0抛出，如图4—1—15所示．求
小球滑到底端时，水平方向位移多大?
图4—1—15
【解析】小球的运动可分解为两个分运动：①水平方向匀速直线运动；②沿斜面向下做初速度为零的匀加速直线运动，a＝g sinθ．水平方向：s＝v0t
沿斜面向下：L＝2
1
at2
解得S＝v0
θsin
2
g
L
．
【答案】v0
θsin 2
g
L
※14．飞机以恒定的速度v沿水平方向飞行，飞行高度为2000 m，在飞行过程中释放一炸弹，在30 s 后飞行员听见炸弹落地的爆炸声．假设此爆炸声向空间各个方向传播速度都为320 m/s，炸弹受到的空气阻力可以忽略，取g＝10 m/s2．则炸弹经_______s时间落地，该飞机的飞行速度v＝_______m/s．（答案保
留2位有效数字）
【解析】炸弹飞行时间由平抛运动规律可求．竖直方向为自由落体运动，则由h＝2
1
gt2，可求得t1
＝20 s．则：声音传播时间t2＝30 s－20 s＝10 s
飞机10 s内飞行距离为：
2
22000 3200-
由此可求飞行速度．
炸弹落地时，飞机在其正上方，在声音传播到飞机的10 s内飞机的位移为
x＝v0t2
如图所示，则
h2＋x2＝v2t22
即h2＋v02t22＝v2t22
解得v0＝
2
2 2
t
h v-
＝
2
2
2
10
2000
320-
m/s＝250 m/s
【答案】20 2.5×102。