2020年河北省沧州市数学高二(下)期末达标测试试题含解析

2020年河北省沧州市数学高二(下)期末达标测试试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．已知5
,6()(2),6x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩
，则(3)f 为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】A 【解析】 【分析】
根据自变量范围代入对应解析式，解得结果. 【详解】
(3)(32)(52)752f f f =+=+=-=
故选：A 【点睛】
本题考查分段函数求值，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A ．24 B ．48 C ．60 D ．72
【答案】D 【解析】
试题分析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有4
4A 种
排法，所以奇数的个数为4
43A 72=，故选D.
【考点】排列、组合
【名师点睛】利用排列、组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．
3．设3log 43a -=，
1
2b a -=，
2log c a =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．c b a >>
【答案】B 【解析】 【分析】
根据对数运算法则求得a ，进而求得,b c ，由此得到结果. 【详解】
3
31log log 4
4
13
3
4a -===Q ，1
2
124b -
⎛⎫∴== ⎪⎝⎭
，2
1
log 24
c ==-，b a c ∴>>. 故选：B . 【点睛】
本题考查指数、对数比较大小的问题，涉及到对数的运算，属于基础题. 4．已知,a b 均为实数，若111a b i i
+=-+（i 为虚数单位），则a b +=（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．-1
【答案】C 【解析】 【分析】
将已知等式整理为()()2a b a b i ++-=，根据复数相等可求得结果. 【详解】
由题意得：()()112i a i b ++-=，即：()()2a b a b i ++-=
则：2
0a b a b +=⎧⎨
-=⎩
2a b ∴+=
本题正确选项：C 【点睛】
本题考查复数相等的定义，涉及简单的复数运算，属于基础题.
5．由①安梦怡是高二（1）班的学生，②安梦怡是独生子女，③高二（1）班的学生都是独生子女，写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为（ ） A ．②①③ B ．②③①
C ．①②③
D ．③①②
【答案】D 【解析】 【分析】
根据三段论推理的形式“大前提，小前提，结论”，根据大前提、小前提和结论的关系，即可求解. 【详解】
由题意，利用三段论的形式可得演绎推理的过程是： 大前提：③高二（1）班的学生都是独生子女； 小前提：①安梦怡是高二（1）班的学生； 结论：②安梦怡是独生子女，故选D. 【点睛】
本题主要考查了演绎推理中的三段论推理，其中解答中正确理解三段论推理的形式是解答的关键，着重考
查了推理与论证能力，属于基础题.
6．已知函数，若函数与函数有相同的值域，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意首先确定函数的单调性和值域，然后结合题意确定实数的取值范围即可.
【详解】
由函数的解析式可得：，
在区间上，单调递减，
在区间上，单调递增，
易知当时，，且，
故函数的值域为，
函数与函数有相同的值域，
则函数在区间上的值域为，
结合函数的定义域和函数的单调性可得：，解得：.
故实数的取值范围是.
本题选择B选项.
【点睛】
本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的值域，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．有一项活动,在4名男生和3名女生中选2人参加,必须有男生参加的选法有（）种.
A．18 B．20 C．24 D．30
【答案】A
【解析】
【分析】
分类：（1）2人中有1人是男生；（2）2人都是男生. 【详解】
若2人中有1人是男生，则有1
1
43C C =12⨯种；若2人都是男生，则有2
4C =6种；则共有24种选法. 【点睛】
排列组合中，首先对于两个基本原理：分类加法、分步乘法，要能充分理解，它是后面解答排列组合综合问题的基础.
8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：2
2
1x y +＝经过伸缩变换'2'x x y y =⎧⎨=⎩
后得到线C 2，则曲线C 2的方程为
（ ） A ．4x 2
+y 2
＝1 B ．x 2+4y 2
＝1
C ．2
24+=x y 1
D ．x 2
2
4
+=y 1
【答案】C 【解析】 【分析】
根据条件所给的伸缩变换'2'x x
y y
=⎧⎨=⎩，反解出x 和y 的表达式，然后代入到1C 中，从而得到曲线2C .
【详解】
因为圆2
2
1:1C x y +=，经过伸缩变换'2'x x
y y
=⎧⎨
=⎩
所以可得2x x y y ''⎧=⎪⎨⎪=⎩，代入圆22
1:1C x y +=
得到2
212x y '⎛⎫'+= ⎪⎝⎭
整理得22
14x y ''+=，即2214
x y +=
故选C 项. 【点睛】
本题考查通过坐标伸缩变换求曲线方程，属于简单题. 9．若390︒角的终边上有一点(),3P a ，则a 的值是（ ） A
．B
C
．-D
．
【答案】A 【解析】
由题意利用任意角的三角函数的定义，求出a 的值. 【详解】
解：若390︒角的终边上有一点(),3P a ，
则 3tan 390tan 30a
︒︒===， ∴
a =故选：A. 【点睛】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题. 10．若(2)(1)i z m m =-++为纯虚数，则实数m 的值为 A ．2- B ．1- C ．1 D ．2
【答案】D 【解析】 【分析】
由复数z 为纯虚数，得出实部为零，虚部不为零，可求出实数m 的值． 【详解】
z 为纯虚数，所以20
10
m m -=⎧⎨
+≠⎩，解得=2m ，故选D ．
【点睛】
本题考查复数的概念，考查学生对纯虚数概念的理解，属于基础题．
11．甲、乙两支球队进行比赛，预定先胜 3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.结束除第五局甲队获胜的概率是
12
外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是2
3.假设各局比赛结果相互独立.则甲队以3：2获得比
赛胜利的概率为（ ） A ．
281
B ．4
27
C ．
827
D ．
1681
【答案】B 【解析】
若是3:2获胜，那么第五局甲胜，前四局2:2，所以概率为2
2
24121423327P C ⎛⎫
⎛⎫=⋅⋅=
⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，故选B. 12．若圆22240x y x y ++-=关于直线l ：30x y a ++=对称，则直线l 在y 轴上的截距为（ ） A ．-l
B ．l
C ．3
D ．-3
【解析】 【分析】
圆22
240x y x y ++-=关于直线l ：30x y a ++=对称,等价于圆心(1,2)-在直线l ：30x y a ++=上,
由此可解出a .然后令0x = ,得1y =-,即为所求. 【详解】
因为圆22
240x y x y ++-=关于直线l ：30x y a ++=对称,
所以圆心(1,2)-在直线l ：30x y a ++=上,即320a -++= ,解得1a =. 所以直线:310l x y ++=,令0x = ,得1y =-. 故直线l 在y 轴上的截距为1-. 故选A . 【点睛】
本题考查了圆关于直线对称,属基础题.
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．为了宣传校园文化，让更多的学生感受到校园之美，某校学生会组织了6个小队在校园最具有代表性的3个地点进行视频拍摄，若每个地点至少有1支小队拍摄，则不同的分配方法有_____种（用数字作答） 【答案】540 【解析】 【分析】
首先将6个小队分成三组，有114,123,222++++++三种组合，然后再分配，即可求出结果． 【详解】
（1）若按照1:1:4进行分配有43
6390C A ⨯=种方案； （2）若按照1:2:3进行分配有323
633360C C A ⨯=种方案；
（3）若按照2:2:2进行分配有423
64333
90C C A A ⨯=种方案； 由分类加法原理，所以共有9036090540++=种分配方案． 【点睛】
本题主要考查分类加法计数原理，以及排列组合的相关知识应用．易错点是平均分配有重复，注意消除重复．
14．函数x y xe =在其极值点处的切线方程为____________.
【答案】1y e
=- 【解析】
()()(1)x x y f x xe f x x e ==⇒=+'，令()01f x x =⇒=-'，此时1
(1)f e
-=-
函数x
y xe =在其极值点处的切线方程为1y e
=-
考点：：导数的几何意义.
15．已知函数()ax
f x e =，且过原点的直线l 与曲线()y f x =相切，若曲线()y f x =与直线,l y 轴围成
的封闭区域的面积为2
e
，则a 的值为__________． 【答案】2
e e
-± 【解析】
分析：先根据导数几何意义求切点以及切线方程，再根据定积分求封闭区域的面积，解得a 的值. 详解：设切点1
1(,)ax x e
，因为()ax f x ae ='，
所以11
1111
=:(),.ax ax e ae x l y e ae x y aex x a a
∴=∴-=-= 所以当0a >时封闭区域的面积为1
2
012()()220
ax a
ax
e aex e e aex dx a a a --=-=⎰ 因此
22=22e e e a a e --∴=，当0a <时，同理可得2e a e -=-，即2
e a e
-=± 点睛：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．
16．已知幂函数()f x
的图象过点，则满足方程()8f x =的x 的值为______.
【答案】1 【解析】 【分析】
设()f x x α
=
，可得α=，解得α，即可得出．
【详解】 设()f x x α
=，
则α=，解得3α=．
()3f x x ∴=．
令38x =，解得2x =．
故答案为：1． 【点睛】
本题考查了幂函数的定义、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于容易题． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．选修4-5：不等式选讲
已知函数()121f x x x =--+的最大值为k . （1）求k 的值；
（2）若,,a b c ∈R ， 22
22
a c
b k ++=，求()b a
c +的最大值.
【答案】（1）2（2）2 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）根据绝对值定义，将函数化为分段函数形式，分别求各段最大值，最后取各段最大值的最
大者为k 的值；（2）利用基本不等式得()()()2
22
2
22
2
a b b
c b a c +++≤+=，即得()b a c +的最大值.
试题解析：（1）由于()()31,
()31(11),31,x x f x x x x x ⎧--≥⎪
=---<<⎨⎪+≤-⎩
当1x ≥时，()134f x ≤--=-， 当11x -<<时，()312f x <-=， 当1x ≤-时，()132f x ≤-+= 所以()max 2f x =.
（2）由已知22222
a c
b ++=,有()()
2222
4a b b c +++=，
因为222a b ab +≥(当a b =时取等号)，222b c bc +≥(当b c =时取等号)， 所以(
)()
()22
2
242a b
b
c ab bc +++=≥+，即2ab bc +≤，
故()b a c +的最大值为2.
18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥
，且AD CD ==
BC =2PA =，点M 在PD 上．
（1）求证：AB PC ⊥；
（2）若1
2PM MD =，求三棱锥M PBC -的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）169
. 【解析】 【分析】
（1）证明AB PC ⊥，转化成证明AB ⊥平面PAC 即可．
（2）根据1
2
PM MD =，可得1133M PBC D PBC P BCD V V V ---==，从而得出体积．
【详解】
证明：（1）取BC 中点E ，连结AE ， 则AD EC =，//AD EC ，
∴四边形AECD 为平行四边形，AD CD AE BC ⊥∴⊥Q ，
又22AE BE EC ===，
45ABC ACB ∴∠=∠=︒，
AB AC ∴⊥，又PA ABCD AB PA ⊥∴⊥Q 平面，AC PA A ⋂=，
AB ∴⊥平面PAC ，AB PC ∴⊥．
解：（2）Q 12PM MD =，13
PM PD ∴=，
∴三棱锥M PBC -的体积为：
11111116
224223333929
M PBC D PBC P BCD BCD V V V S PA ---∆===⨯⋅=⨯⨯=．
【点睛】
本题考查了线线垂直的证明，通常转化成证明线面垂直．三棱锥体积的计算，选择不同的底对应的顶点，得到的体积相同．那么通常选择已知的高和底从而求出体积．
19．已知函数3
21()(1)42,(3
f x x a x ax a =
-+++为实数）． （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若2
()(1)2ln 2f x a x x x >-+++在[1,]e 上恒成立，求a 的范围；
【答案】（I ）见解析；（Ⅱ）1
1
(ln 3,)44
-+? 【解析】 【分析】
(Ⅰ) 求得函数的导数()(2)(2)f x x x a ¢
=--令()0f x '=，解得2x =或2a ，根据根的大小三种情况分类讨论，即可求解．
（II ）依题意有
3
21(1)4+23x a x ax -++2(1)2ln 2a x x x >-+++在[1,]e 上的恒成立， 转化为211>ln 122a x x -+在[1,]e 上的恒成立，设211()ln 122
g x x x =-+，[1,e]x ∈，利用导数求得函数()g x 的单调性与最大值，即可求解． 【详解】
(Ⅰ) 由题意，函数3
21()(1)4+23
f x x a x ax =
-++， 则 2()2(1)4(2)(2)f x x a x a x x a ¢
=-++=-- 令()0f x '=，解得2x =或2a ，
①当1a =时，有22a =，有2()(2)0f x x ¢
=-?，故()f x 在R 上单调递增； ②当1a <时，有22a <，(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：
x
(,2)a -∞
2a
(2,2)a
2
(2,)+∞
()g x '
()g x
极大 极小
由上表可知()f x 在(,2)a -∞和(2,)+∞上单调递增，在(2,2)a 上单调递减； ③同②当1a >时，有22a >，
有()f x 在(,2)-∞和(2,)a +∞上单调递增，在(2,2)a 上单调递减；
综上，当1a >时，()f x 在(,2)-∞和(2,)a +∞上单调递增，在(2,2)a 上单调递减； 当1a =时，()f x 在R 上单调递增；
当1a <时，()f x 在(,2)a -∞和(2,)+∞上单调递增，在(2,2)a 上单调递减．
（II ）依题意有321(1)4+23x a x ax -++2(1)2ln 2a x x x >-+++在[1,]e 上的恒成立， 即314>2ln 3
ax x x x -+在[1,]e 上的恒成立， 故211>ln 122
a x x -+在[1,]e 上的恒成立， 设211()ln 122
g x x x =-+，[1,e]x ∈，则有max ()a g x >…（*） 易得2113()626x g x x x x
-+¢=-+=，令()0g x '=，有230x -+=，3x =， (),()g x g x '随x 的变化情况如下表：
x 1
(1,3) 3 (3,)e e ()g x ' 0
()g x 极大
由上表可知，2max ()(3)(3)ln 3ln 312244g x g ==-
?- 又由（*）式可知max
11()ln 344a g x >=-， 故a 的范围为11(ln 3,)44
-
+?． 【点睛】 本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
20．已知函数2()ln ()f x x ax x a =-+-∈R ．
（1）当3a =时，求函数()f x 在1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （2）当函数()f x 在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调时，求a 的取值范围． 【答案】 (1) 函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
最大值是2,最小值是2ln 2-；(2) (9,2,2⎡⎫
-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】
【分析】
(1)代入3a =,求导分析函数的单调性与最值即可.
(2)由题得'()0f x ≤或'()0f x ≥在区间1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
上恒成立,求导后参变分离求最值即可. 【详解】 (1) 3a =时, ()()22111231'()23x x x x f x x x x x
---+-=-+-==-. 函数()f x 在区间1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦仅有极大值点1x =,故这个极大值点也是最大值点, 故函数在1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦最大值是()12f =, 又()()15322ln 2ln 22ln 20244f f ⎛⎫⎛⎫-=--+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故()122f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭
, 故函数在1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()22ln 2f =-. 故函数在1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦最大值是2,最小值是2ln 2- (2) 1'()2f x x a x =-+-,令1()2=+g x x x ,则21'()2g x x
=-,
则函数在12⎛ ⎝⎭
递减,在2⎫⎪⎪⎝⎭递增,由132g ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()922g =,g =⎝⎭
故函数()g x 在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭的值域为92⎡⎫⎪⎢⎣⎭.
若'()0f x ≤在1
,22⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立,即12a x x ≤+在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
恒成立,只要a ≤若要'()0f x ≥在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
恒成立,即12a x x ≥+在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立,
只要92a ≥.即a 的取值范围是(
9,,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】
本题主要考查求导分析函数在区间内的最值问题以及根据函数的单调性求参数范围的问题.包括参变分离求函数最值问题等.属于中档题.
21．已知复数1212,34,z i z i i =-=+为虚数单位.
（1）若复数21z az + 对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围；
（2）若()1212z z z z z +=-，求z 的共轭复数.
【答案】（1）0a >；（2）1z i =-+ 【解析】
试题分析：（1）求出复数21z az +的代数形式，根据第四象限的点的特征，求出a 的范围；（2）由已知得出1212
z z z z z -=+ ，代入12,z z 的值，求出1,1z i z i =--=-+ ． 试题解析;（I ）
=， 由题意得 解得
（2）()()()()12121234261,123442i i z z i z i z z i i i
--+---====--+-+++ 1.z i =-+
22．甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望;
(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?
【答案】 (1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大．
【解析】
【分析】
（1）设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为，，由于，，分别写出分布列，再求期望值均为；
（2）由于均值相等，可通过比较各自的方差.
【详解】
（1）设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量，
依题意可得：
， ∴，，，
∴X 的分布列为：
X 1 2 3
P
∴．
，
∴，，
，，
∴Y的分布列为：
Y 0 1 2 3
P
∴．
（2），
，
∵，
∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大．
【点睛】
本题考查超几何分布和二项分布的应用、期望和方差的计算，考查数据处理能力，求解时注意概率计算的准确性.。