海伦市实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

海伦市实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得e 1[,1]x e
∈[1,1]y ∈-2ln 1y
x x a y e -++=成立，则实数的取值范围是（
）
a A.
B.
C.
D.1[,]e e
2(,]e e
2(,)e +∞21(,e e e
+【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，函数的最值的关系，函数与方程的关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力．2． 已知表示数列
的前项和，若对任意的
满足
，且
，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=
，且f （x ）=f （x+2），g （x ）=
，则方程g （x ）=f （x ）﹣g （x ）在区间[﹣3，7]上的所有零点之和为（ ）
A ．12
B ．11
C ．10
D ．9
4． 若函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
2
()48f x x kx =--[5,8]k A ． B ． C ．
D ．(][),4064,-∞+∞U [40,64](],40-∞[)
64,+∞5． 如图，长方形ABCD 的长AD=2x ，宽AB=x （x ≥1），线段MN 的长度为1，端点M 、N 在长方形ABCD 的四边上滑动，当M 、N 沿长方形的四边滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 的周长与G 围成的面积数值的差为y ，则函数y=f （x ）的图象大致为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 若不等式1≤a ﹣b ≤2，2≤a+b ≤4，则4a ﹣2b 的取值范围是（ ）
A ．[5，10]
B ．（5，10）
C ．[3，12]
D ．（3，12）
7． 下列命题中正确的是（ ）
A ．复数a+bi 与c+di 相等的充要条件是a=c 且b=d
B ．任何复数都不能比较大小
C ．若
=
，则z 1=z 2
D ．若|z 1|=|z 2|，则z 1=z 2或z 1
=
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
8． 点A 是椭圆上一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，I 是△AF 1F 2的内心．若，则该椭圆的离心率为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 已知等差数列{a n }中，a 6+a 8=16，a 4=1，则a 10的值是（ ）
A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
10．已知函数f （x ）=
是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．﹣3≤a ＜0
B ．﹣3≤a ≤﹣2
C ．a ≤﹣2
D ．a ＜0　11．在中，、、分别为角
、
、所对的边，若，则此三角形的形状一定是
（ ）A ．等腰直角B ．等腰或直角C ．等腰
D ．直角
12．设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={2，5}，则B ∪（∁U A ）=（
）
A ．{5}
B ．{1，2，5}
C ．{1，2，3，4，5}
D ．∅
二、填空题
13．设全集U=R ，集合M={x|2a ﹣1＜x ＜4a ，a ∈R}，N={x|1＜x ＜2}，若N ⊆M ，则实数a 的取值范围是 ．14．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之．问底子在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，M 是BC 的中点，BM=2，AM=c ﹣b ，△ABC 面积的最大值为 ．　
15．设x ，y 满足的约束条件
，则z=x+2y 的最大值为 ．
16．等差数列的前项和为，若，则等于_________.
{}n a n S 37116a a a ++=13S 17．若点p （1，1）为圆（x ﹣3）2+y 2=9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为 18．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的一个面A 1B 1C 1D 1在半径为的半球底面上，A 、B 、C 、D 四个顶点都在
此半球面上，则正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为 ．
三、解答题
19．如图，四边形是等腰梯形，，四边形
ABEF ,2,AB EF AF BE EF AB ====P 是矩形，平面，其中分别是的中点，是的中点．
ABCD AD ⊥ABEF ,Q M ,AC EF P BM
（1）求证: 平面；PQ P BCE （2）平面.
AM ⊥BCM 20．已知函数f （x ）=alnx+，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y=2．
（I ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）当x ＞1时，不等式f （x ）＞恒成立，求实数k 的取值范围．
21．【南师附中2017届高三模拟二】已知函数．()()323
131,02
f x x a x ax a =+--+>（1）试讨论的单调性；
()()0f x x ≥（2）证明：对于正数，存在正数，使得当时，有；a p []0,x p ∈()11f x -≤≤（3）设（1）中的的最大值为，求得最大值．
p ()g a ()g a 22．函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示
（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式
（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，其中a ＜c ，f （A ）=，且a=，b=，求△ABC
的面积．
23．设集合.
{}
()(
){
}
2
2
2
|320,|2150A x x x B x x a x a =-+==+-+-=（1）若,求实数的值；{}2A B =I （2）,求实数的取值范围.1111]
A B A =U 24．已知函数f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣a|．（I ）若a=﹣1，解不等式f （x ）≥3；
（II ）如果∀x ∈R ，f （x ）≥2，求a 的取值范围．
海伦市实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】
2．【答案】C
【解析】
令得，所以，即，所以是以1为公差的等差数列，首项为
，所以，故选C
答案：C
3．【答案】B
【解析】解：∵f（x）=f（x+2），∴函数f（x）为周期为2的周期函数，
函数g（x）=，其图象关于点（2，3）对称，如图，函数f（x）的图象也关于点（2，3）
对称，
函数f（x）与g（x）在[﹣3，7]上的交点也关于（2，3）对称，
设A，B，C，D的横坐标分别为a，b，c，d，
则a+d=4，b+c=4，由图象知另一交点横坐标为3，
故两图象在[﹣3，7]上的交点的横坐标之和为4+4+3=11，
即函数y=f（x）﹣g（x）在[﹣3，7]上的所有零点之和为11．
故选：B ．
【点评】本题考查函数的周期性，函数的零点的概念，以及数形结合的思想方法．属于中档题．　
4． 【答案】A 【解析】
试题分析：根据可知，函数图象为开口向上的抛物线，对称轴为，所以若函数()2
48f x x kx =--8
k
x =
()f x 在区间上为单调函数，则应满足：
或，所以或。

故选A 。

[]5,858k ≤88
k
≥40k ≤64k ≥考点：二次函数的图象及性质（单调性）。

5． 【答案】 C
【解析】解：∵线段MN 的长度为1，线段MN 的中点P ，∴AP=
，
即P 的轨迹是分别以A ，B ，C ，D 为圆心，半径为的4个圆，以及线段GH ，FE ，RT ，LK ，部分．∴G 的周长等于四个圆弧长加上线段GH ，FE ，RT ，LK 的长，
即周长=
=π+4x ﹣2+2x ﹣2=6x+π﹣4，
面积为矩形的面积减去4个圆的面积，即等于矩形的面积减去一个整圆的面积为
，
∴f （x ）=6x+π﹣4﹣=，是一个开口向下的抛物线，
∴对应的图象为C ，故选：C ．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件确定点P的轨迹是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
6．【答案】A
【解析】解：令4a﹣2b=x（a﹣b）+y（a+b）
即
解得：x=3，y=1
即4a﹣2b=3（a﹣b）+（a+b）
∵1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，
∴3≤3（a﹣b）≤6
∴5≤（a﹣b）+3（a+b）≤10
故选A
【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划，其中令4a﹣2b=x（a﹣b）+y（a+b），并求出满足条件的x，y，是解答的关键．
7．【答案】C
【解析】解：A．未注明a，b，c，d∈R．
B．实数是复数，实数能比较大小．
C．∵=，则z1=z2，正确；
D．z1与z2的模相等，符合条件的z1，z2有无数多个，如单位圆上的点对应的复数的模都是1，因此不正确．故选：C．
8．【答案】B
【解析】解：设△AF1F2的内切圆半径为r，则
S△IAF1=|AF1|r，S△IAF2=|AF2|r，S△IF1F2=|F1F2|r，
∵，
∴|AF1|r=2×|F1F2|r﹣|AF2|r，
整理，得|AF1|+|AF2|=2|F1F2|．∴a=2，
∴椭圆的离心率e===．
故选：B．
9．【答案】A
【解析】解：∵等差数列{a n}，
∴a6+a8=a4+a10，即16=1+a10，
∴a10=15，
故选：A．
10．【答案】B
【解析】解：∵函数是R上的增函数
设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）=（x＞1）
由分段函数的性质可知，函数g（x）=﹣x2﹣ax﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h（x）=在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1）
∴
∴
解可得，﹣3≤a≤﹣2
故选B
11．【答案】B
【解析】
因为，所以由余弦定理得，
即，所以或，
即此三角形为等腰三角形或直角三角形，故选B
答案：B
12．【答案】B
【解析】解：∵C U A={1，5}
∴B∪（∁U A）={2，5}∪{1，5}={1，2，5}．
故选B．
二、填空题
13．【答案】　[，1]　．
【解析】解：∵全集U=R，集合M={x|2a﹣1＜x＜4a，a∈R}，N={x|1＜x＜2}，N⊆M，
∴2a﹣1≤1 且4a≥2，解得2≥a≥，故实数a的取值范围是[，1]，
故答案为[，1]．
14．【答案】　2　．
【解析】解：在△ABM中，由余弦定理得：
cosB==．
在△ABC中，由余弦定理得：
cosB==．
∴=．
即b2+c2=4bc﹣8．
∵cosA==，∴sinA==．
∴S=sinA=bc=．
∴当bc=8时，S取得最大值2．
故答案为2．
【点评】本题考查了余弦定理得应用，根据余弦定理得出bc的关系是解题关键．
15．【答案】　7　．
【解析】解：作出不等式对应的平面区域，
由z=x+2y，得y=﹣，
平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，
即B（3，2），
此时z的最大值为z=1+2×3=1+6=7，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．　
16．【答案】26【解析】
试题分析：由题意得，根据等差数列的性质，可得，由等差数列的求和
371177362a a a a a ++==⇒=．
11313713()
13262
a a S a +=
==考点：等差数列的性质和等差数列的和．17．【答案】：2x ﹣y ﹣1=0
解：∵P （1，1）为圆（x ﹣3）2+y 2=9的弦MN 的中点，∴圆心与点P 确定的直线斜率为=﹣，
∴弦MN 所在直线的斜率为2，
则弦MN 所在直线的方程为y ﹣1=2（x ﹣1），即2x ﹣y ﹣1=0．故答案为：2x ﹣y ﹣1=018．【答案】　2　．
【解析】解：如图所示，连接A 1C 1，B 1D 1，相交于点O ．则点O 为球心，OA=
．
设正方体的边长为x ，则A 1O=
x ．
在Rt △OAA 1中，由勾股定理可得： +x 2=
，
解得x=
．
∴正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积V==2．
故答案为：2
．
三、解答题
19．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定.
20．【答案】
【解析】解：（I）∵函数f（x）=alnx+的导数为
f′（x）=﹣，且直线y=2的斜率为0，又过点（1，2），
∴f（1）=2b=2，f′（1）=a﹣b=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解得a=b=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（II ）当x ＞1时，不等式f （x ）＞
，即为（x ﹣1）lnx+＞（x ﹣k ）lnx ，即（k ﹣1）lnx+＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
令g （x ）=（k ﹣1）lnx+
，g ′（x ）=+1+=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令m （x ）=x 2+（k ﹣1）x+1，
①当≤1即k ≥﹣1时，m （x ）在（1，+∞）单调递增且m （1）≥0，
所以当x ＞1时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）单调递增，
则g （x ）＞g （1）=0即f （x ）＞
恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当＞1即k ＜﹣1时，m （x ）在上（1，
）上单调递减，且m （1）＜0，故当x ∈（1，
）时，m （x ）＜0即g ′（x ）＜0，所以函数g （x ）在（1，
）单调递减，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当x ∈（1，）时，g （x ）＜0与题设矛盾，
综上可得k 的取值范围为[﹣1，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
21．【答案】（1）证明过程如解析；（2）对于正数，存在正数，使得当时，有a p []0,x p ∈
；（3）()11f x -≤≤()g a 【解析】【试题分析】（1）先对函数进行求导，再对导函数的值的()()323131,02
f x x a x ax a =+--+>符号进行分析，进而做出判断；（2）先求出函数值
，进而分和两种情形进行()01,f =()3213122f a a a =--+=()()211212
a a -+-()1f a ≥-()1f a <-分析讨论，推断出存在使得，从而证得当时，有成立；（3）()0,p a ∈()10f p +=[]0,x p ∈()11f x -≤≤借助（2）的结论在上有最小值为，然后分两种情形探求的解析表()f x ：[)0,+∞()f a 011a a ≤，()g a 达式和最大值。

证明：（1）由于，且，
()()23313f x x a x a =+--'()()31x x a =+-0a >故在上单调递减，在上单调递增．
()f x []0,a [),a +∞
（3）由（2）知在上的最小值为．
()f x [)0,+∞()f a 当时，，则是方程满足的实根，
01a <≤()1f a ≥-()g a ()1f p =p a >即满足的实根，()223160p a p a +--=p a >
所以．
()g a =
又在上单调递增，故()g a (]0,1()()max 1g a g ==
当时，，由于，1a >()1f a <-()()()901,11112f f a ==
--<-故．此时，．
][0,0,1p ⎡⎤⊂⎣⎦()1g a ≤
综上所述，．
()g a 22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵由图象可知，T=4（
﹣）=π，∴ω=
=2，
又x=时，2×
+φ=+2k π，得φ=2k π﹣，（k ∈Z ）又∵|φ|＜，∴φ=﹣，
∴f （x ）=sin （2x ﹣）…6分
（Ⅱ）由f （A ）=，可得sin （2A ﹣
）=，∵a ＜c ，
∴A 为锐角，
∴2A ﹣
∈（﹣，），∴2A ﹣=，得A=，
由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，可得：7=3+c 2﹣2
，即：c 2﹣3c ﹣4=0，∵c ＞0，∴解得c=4．
∴△ABC 的面积S=bcsinA=
=…12分
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识的应用，属于基本知识的考查．
23．【答案】（1）或；（2）．
1a =5a =-3a >【解析】
（2） .
{}{}1,2,1,2A A B ==U ①无实根,, 解得; ()()
22
,2150B x a x a =∅+-+-=0∆<3a >② 中只含有一个元素，仅有一个实根, B ()()222150x a x a +-+-=故舍去;
{}{}0,3,2,2,1,2a B A B ∆===-=-U ③中只含有两个元素，使 两个实根为和, B ()()
222150x a x a +-+-=需要满足方程组无根，故舍去, 综上所述]()2212121=a 5
a ⎧+=--⎪⎨⨯-⎪⎩3a >考点：集合的运算及其应用.
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f （x ）=|x+1|+|x ﹣1|，
由f （x ）≥3即|x+1|+|x ﹣1|≥3
当x ≤﹣1时，不等式可化为﹣x ﹣1+1﹣x ≥3，解得x ≤﹣；
当﹣1＜x＜1时，不等式化为x+1+1﹣x≥3，不可能成立，即x∈∅；
当x≥1时，不等式化为x+1+x﹣1≥3，解得x≥．
综上所述，f（x）≥3的解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）；
（Ⅱ）由于|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|，
则f（x）的最小值为|a﹣1|．
要使∀x∈R，f（x）≥2成立，
则|a﹣1|≥2，解得a≥3或a≤﹣1，
即a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，运用分类讨论和绝对值不等式的性质，是解题的关键．。