中考数学二轮复习第八章 二元一次方程组复习题含答案

中考数学二轮复习第八章二元一次方程组复习题含答案
一、选择题
1．已知关于x，y的方程x2m﹣n﹣2＋4y m＋n＋1＝6是二元一次方程，则m，n的值为（）
A．m＝1，n＝－1 B．m＝－1，n＝1 C．
14
m,n
33
==-D．
14
,
33
m n
=-=
2．若
24
46
x y
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
，则x+y的值是（）
A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4
3．小明、小颖、小亮玩飞镖游戏，他们每人投靶5次，中靶情况如图所示．规定投中同一圆环得分相同，若小明得分21分，小亮得分17分，则小颖得分为（）
A．19分B．20分C．21分D．22分
4．已知方程组
43
235
x y k
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
的解满足x y
=，则k的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4 5．二元一次方程2x+3y=15的正整数解的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．在关于x、y的二元一次方程组
3
21
x y a
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
中，若232
x y
+=，则a的值为（）
A．1 B．-3 C．3 D．4
7．如果方程组
2
23
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
的解为
5
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，那么“口”和“△”所表示的数分别是( )
A．14，4 B．11，1 C．9，-1 D．6，-4
8．将一张面值50元的人民币，兑换成5元和2元的零钱，兑换方案有（）
A．4种B．5种C．6种D．7种
9．现有如图（1）的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a，宽为b．用3个如图（2）的全等图形和8个如图（1）的小长方形，拼成如图（3）的大长方形，若大长方形的宽为30cm，则图（3）中阴影部分面积与整个图形的面积之比为()
A ．
15
B ．
16
C ．
17
D ．
18
10．小明出门时身上带了100元，下表记录了他今天所有支出，其中饮料与饼干支出的金额被涂黑．若每瓶饮料5元，每包饼干8元，则小明不可能．．．
剩下多少元？( )
A ．4
B ．15
C ．22
D ．44
二、填空题
11．一个两位数的数字和为14，若调换个位数字与十位数字，新数比原数小36，则这个两位数是_____．
12．三位先生A 、B 、C 带着他们的妻子a 、b 、c 到超市购物，至于谁是谁的妻子现在只能从下列条件来推测：他们6人，每人花在买商品的钱数（单位：元）正好等于商品数量的平方，而且每位先生都比自己的妻子多花48元钱，又知先生A 比b 多买9件商品，先生B 比a 多买7件商品．则先生C 购买的商品数量是________．
13．某餐厅以A 、B 两种食材，利用不同的搭配方式推出了两款健康餐，其中，甲产品每份含200克A 、200克B ；乙产品每份含200克A 、100克B ．甲、乙两种产品每份的成本价分别为A 、B 两种食材的成本价之和，若甲产品每份成本价为16元．店家在核算成本的时候把A 、B 两种食材单价看反了，实际成本比核算时的成本多688元，如果每天甲销量的4倍和乙销量的3倍之和不超过120份，那么餐厅每天实际成本最多为______元． 14．假设北碚万达广场地下停车场有5个出入口，每天早晨6点开始对外停车且此时车位空置率为75%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满．2019年元旦节期间，由于商场人数增多，早晨6点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放2个进口和1个出口，则从早晨6点开始经过________小时车库恰好停满． 15．一人驾驶快船沿江顺流而下，迎面遇到一艘逆流而上的快艇．他问快艇驾驶员：“你后面有轮船开过吗”快艇驾驶员回答：“半小时前我超过一艘轮船”．快船继续航行了半小时，遇到了迎面而来的轮船．已知轮船静水速度是快船静水速度的2倍，那么快艇静水速度是快船的静水速度的____倍．
16．已知三个方程构成的方程组230xy y x --=，350yz z y --=，520xz x z --=，恰有一组非零解x a =，y b =，z c =，则222a b c ++=________．
17．已知关于x 、y 的方程组343x y a
x y a +=-⎧-=⎨⎩
，其中31a -≤≤，有以下结论：①当2
a =-时，x 、y 的值互为相反数；②当1a =时，方程组的解也是方程4x y a +=-的解；③若1x ≤，则 4.l y ≤≤其中所有正确的结论有______(填序号)
18．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在
后轮，则自行车行驶3000km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶___km ． 19．已知|x ﹣z+4|+|z ﹣2y+1|+|x+y ﹣z+1|=0，则x+y+z=________．
20．南岸区近年修建和完善了不少道路，其中一段道路两侧的绿化任务计划由甲、乙、丙、丁四个人完成．道路两侧的植树数量相同，如果乙、丙、丁同时开始植树，丁在道路左侧，乙和丙在道路右侧，2小时后，甲加入，在道路左侧与丁一起植树．这样恰好能保证道路两侧的植树任务同时完成．已知甲、乙、丙、丁每小时能完成的植树数量分别为6、7、8、10棵．实际在植树时，四人一起开始植树，甲和丁在道路左侧、乙和丙在道路右侧，为保证右侧比左侧提前5小时完成植树任务，甲中途转到右侧与乙和丙一起按要求完成了任务，左侧剩下的任务由丁独自完成、则在本次植树任务中，甲比丁少植树_____棵．
三、解答题
21．当,m n 都是实数，且满足28m n =+，就称点21,
2n P m +⎛⎫
- ⎪⎝⎭
为“爱心点”． （1）判断点()5,3A 、()4,8B 哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点(),4A a -、()4,B b 是“爱心点”，请判断A 、B 两点的中点C 在第几象限？并说明理由；
（3）已知P 、Q 为有理数，且关于x 、y
的方程组3x y q x y q
⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩解为坐标的点
(),B x y 是“爱心点”，求p 、q 的值．
22．对x ，y 定义一种新运算T ，规定()22,ax by
T x y a y
+=+（其中a ，b 是非零常数且
0x y +≠），这里等式右边是通常的四则运算．
如：()223193,1314a b a b T ⨯+⨯+==
+，()24,22
am b
T m m +-=-． （1）填空：()4,1T =_____（用含a ，b 的代数式表示）； （2）若()2,02T -=-且()5,16T -=． ①求a 与b 的值；
②若()()310,33,310T m m T m m --=--，求m 的值．
23．新定义，若关于x ，y 的二元一次方程组①111
222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是00x x y y =⎧⎨=⎩，关于
x ，y 的二元一次方程组②111222e x f y d e x f y d +=⎧⎨+=⎩的解是11
x x y y =⎧⎨=⎩，且满足
10
00.1x x x -≤，
10
00.1y y y -≤，则称方程组②的解是方程组①的模糊解．关于x ，y 的二元一次方程组222104x y m x y m +=+⎧⎨
-=+⎩的解是方程组10
310
x y x y +=⎧⎨+=-⎩的模糊解，则m 的取值范围是________． 24．数轴上有两个动点M ，N ，如果点M 始终在点N 的左侧，我们称作点M 是点N 的“追赶点”．如图，数轴上有2个点A ，B ，它们表示的数分别为-3，1，已知点M 是点N 的“追赶点”，且M ，N 表示的数分别为m ，n ．
（1）由题意得：点A 是点B 的“追赶点”，AB =1-(-3)=4(AB 表示线段AB 的长，以下相同)；类似的，MN =____________．
（2）在A ，M ，N 三点中，若其中一个点是另外两个点所构成线段的中点，请用含m 的代数式来表示n ． （3）若AM =BN ，MN =
4
3
BM ，求m 和n 值．
25．据永川区农业信息中心介绍，去年永川生态枇杷园喜获丰收，个体商贩张杰准备租车把枇杷运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满枇杷一次可运货12吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满枇杷一次可运货17吨，现有21吨枇杷，计划同时租用甲型车m 辆，乙型车n 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满枇杷，根据以上信息，解答下列问题:
(1)1辆甲型车和1辆乙型车都装满枇杷一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮个体商贩张杰设计共有多少种租车方案？
26．已知：用3辆A 型车和2辆B 型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A 型车和3辆B 型车载满货物一次可运货l8吨，某物流公刊现有35吨货物，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物. 根据以上信息，解答下列问题：
(1)l 辆A 型车和l 辆B 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案；
(3)若A 型车每辆需租金200元／次，B 型车每辆需租金240元／次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
根据二元一次方程的概念列出关于m 、n 的方程组，解之即可． 【详解】
∵关于x ，y 的方程x 2m
﹣n ﹣2
＋4y m
＋n ＋1
＝6是二元一次方程，
∴22111m n m n --=⎧⎨++=⎩即230m n m n -=⎧⎨+=⎩，
解得：1
1m n =⎧⎨=-⎩
， 故选：A ． 【点睛】
本题考查了二元一次方程的定义、解二元一次方程组，理解二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键．
2．B
解析：B 【分析】
①+②得：2x+2y ＝10，进而即可求得x+y ＝5． 【详解】
解：2446x y x y -=⎧⎨+=⎩
①②，
①+②得：2x+2y ＝10， ∴x+y ＝5． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意加减法和代入法的应用．
3．A
解析：A 【分析】
设投中外环得x 分，投中内环得y 分，根据所给图信息列一个二元一次方程组，解出即可得出答案． 【详解】
解：设投中外环得x 分，投中内环得y 分，根据题意得
2321
417x y x y +=⎧⎨
+=⎩
， 解得：35x y =⎧⎨=⎩
，
32332519x y ∴+=⨯+⨯=分
即小颖得分为19分， 故选A ．
本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键．
4．A
解析：A 【分析】
把x y =代入方程组43235x y k
x y -=⎧⎨+=⎩
，得到关于x 、k 的二元一次方程组，即可求解.
【详解】
x y =代入方程组43235x y k x y -=⎧⎨+=⎩，得43235x x k x x -=⎧⎨+=⎩，即1
x k
x =⎧⎨=⎩，
所以k=1， 故选：A 【点睛】
此题考查了解二元一次方程组.把x=y 代入到方程组，消去y 是解答此题的关键.
5．B
解析：B 【详解】 解：2x+3y=15， 解得：x=
315
2
y -+， 当y=1时，x=6；当y=3时，x=3， 则方程的正整数解有2对． 故选：B
6．C
解析：C 【解析】
分析：上面方程减去下面方程得到2x +3y =a ﹣1，由2x +3y =2得出a ﹣1=2，即a =3． 详解：3{
21x y a x y +=-=①②
，①﹣②，得：2x +3y =a ﹣1．
∵2x +3y =2，∴a ﹣1=2，解得：a =3． 故选C ．
点睛：本题主要考查解二元一次方程组，观察到两方程的系数特点和等式的基本性质是解题的关键．
7．B
解析：B 【分析】
把5
x y =⎧⎨=⎩
x=5代入方程x-2y=3可求得y 的值，然后把x 、y 的值代入2x+y=口即可求得答案.
把x=5代入x-2y=3，得5-2y=3，解得：y=1，即△表示的数为1， 把x=5，y=1代入2x+y=口，得10+1=口, 所以口=11， 故选B. 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解，熟知二元一次方程组的解满足方程组中每一个方程是解题的关键.
8．C
解析：C 【分析】
设可以兑换m 张5元的零钱，n 张2元的零钱，根据零钱的总和为50元，即可得出关于m ，n 的二元一次方程，结合m ，n 均为非负整数，即可得出结论． 【详解】
设可以兑换m 张5元的零钱，n 张2元的零钱， 依题意，得：5m+2n ＝50， ∴m ＝10﹣
2
5
n ． ∵m ，n 均为非负整数， ∴当n ＝0时，m ＝10； 当n ＝5时，m ＝8； 当n ＝10时，m ＝6； 当n ＝15时，m ＝4； 当n ＝20时，m ＝2； 当n ＝25时，m ＝0． ∴共有6种兑换方案． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
9．B
解析：B 【分析】
观察图③可知3个小长方形的宽与1个小长方形的长的和等于大长方形的宽，小长方形的4个长等于小长方形的3个长与3个宽的和，可列出关于a ，b 的方程组，解方程组得出a ，b 的值；利用a ，b 的值分别求得阴影部分面积与整个图形的面积，即可求得影部分面积与整个图形的面积之比． 【详解】
解：根据题意、结合图形可得：
330
433a b a a b +=⎧⎨
=+⎩
，
解得：155a b =⎧⎨=⎩
，
∴阴影部分面积223()310300=-=⨯=a b ， 整个图形的面积304304151800=⨯=⨯⨯=a ， ∴阴影部分面积与整个图形的面积之比3001
18006
==， 故选B ． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意并利用大长方形的长与宽和小长方形的关系建立二元一次方程组是解题的关键．
10．C
解析：C 【分析】
设买了x 瓶饮料，y 盒饼干，求出买三餐所剩的钱数，对四个选项分别讨论，得到买饮料、饼干的总钱数，列出关于,x y 二元一次方程，若这个方程有自然数解，则可能，反之，不可能. 【详解】
解：设买了x 瓶饮料，y 盒饼干，,x y 为自然数， 买三餐还剩100-10-15-18=57元
A. 若剩4元，则 58574x y +=-，有整数解9,1x y ==；
B. 若剩15元，则 585715x y +=-，有整数解2,4x y ==；
C. 若剩22元，则 585722x y +=-，无整数解；
D. 若剩44元，则 585744x y +=-，有整数解1,1x y ==； 故选：C. 【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是读懂题意，列出二元一次方程，把问题转化为二元一次方程的整数解的问题.
二、填空题 11．95 【详解】
设十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意所述的等量关系可得出方程组，求解即可得，即这个两位数为95． 故答案为95. 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知
解析：95
【详解】
设十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意所述的等量关系可得出方程组
14101036x y x y y x +=⎧⎨
+--=⎩，求解即可得9
5x y =⎧⎨=⎩
，即这个两位数为95． 故答案为95. 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，注意掌握二位数的表示方法．
12．7件． 【分析】
设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，妻子买了y 件商品，列出关于x 、y 的二元二次方程，再根据x 、y 都是正整数，且x+y 与x-y 有相同的奇偶性，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，求出x 、y
解析：7件． 【分析】
设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，妻子买了y 件商品，列出关于x 、y 的二元二次方程，再根据x 、y 都是正整数，且x+y 与x-y 有相同的奇偶性，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，求出x 、y 的值，再找出符合x-y=9和x-y=7的情况即可进行解答． 【详解】
解：设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，妻子买了y 件商品． 则有x 2-y 2=48，即（x 十y ）（x-y ）=48．
∵x 、y 都是正整数，且x+y 与x-y 有相同的奇偶性， 又∵x+y ＞x-y ，48=24×2=12×4=8×6，
∴242x y x y +⎧⎨-⎩＝＝或124x y x y +⎧⎨-⎩＝＝或86x y x y +⎧⎨-⎩
＝＝．
解得x=13，y=11或x=8，y=4或x=7，y=1．
符合x-y=9的只有一种，可见A 买了13件商品，b 买了4件． 同时符合x-y=7的也只有一种，可知B 买了8件，a 买了1件． ∴C 买了7件，c 买了11件． 故答案为：7件． 【点睛】
此题考查了非一次不定方程的性质．解题的关键是理解题意，根据题意列方程，还要注意分类讨论思想的应用．
13．824 【分析】
先求出100克A 原料和100克B 原料的成本和，再设100克A 原料的成本为m 元，则100克B 种原料的成本为元，生产甲产品x 份，乙产品y 份，根据题意
列方程求出 【详解】 解：∵甲产品每
解析：824 【分析】
先求出100克A 原料和100克B 原料的成本和，再设100克A 原料的成本为m 元，则100克B 种原料的成本为(8)m -元，生产甲产品x 份，乙产品y 份，根据题意列方程求出 【详解】
解：∵甲产品每份含200克A 、200克B ，甲产品每份成本价为16元 ∴100克A 原料和100克B 原料的成本为8元
设100克A 原料的成本为m 元，则100克B 种原料的成本为(8)m -元，生产甲产品x 份，乙产品y 份，根据题意可得出：
[]4312016(28)162(8)688x y x m m y x m m y +≤⎧
⎨
++-=+-++⎩
整理得出：4344my y =+
∴餐厅每天实际成本16(8)1612344W x m y x y =++=++ ∵43120x y +≤ ∴1612480x y +≤
∴餐厅每天实际成本的最大值为：480344824+=（元）． 故答案为：824． 【点睛】
本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，读懂题意，理清题目中的各关系量是解此题的关键．
14．【解析】 【分析】
设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆，根据“如果开放2个进口和3个出口，8个小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2个小时车库恰好停满．”列出方程组求得x 解析：32
15
【解析】 【分析】
设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆，根据“如果开放2个进口和3个出口，8个小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2个小时车库恰好停满．”列出方程组求得x 、y ，进一步代入求得答案即可． 【详解】
设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆，车位总数为a ，由题意得：
82375%23275%x y a x y a （）（）-=⎧⎨-=⎩
解得：316332x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 则60%a ÷（2x -y ）=60%a ÷（316a ×2332-a ）＝3215
（小时）． 故答案为
3215
． 【点睛】 本题考查了二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 15．5
【解析】
设水流速度是a ，快船的静水速度是x ，快艇的静水速度是y ，依题意可得轮船的静水速度为2x ，
则：0.5（x+a ）+（2x-a ）=0.5（y-a ），
解得：y=5x
即快艇静水速度是快船的
解析：5
【解析】
设水流速度是a ，快船的静水速度是x ，快艇的静水速度是y ，依题意可得轮船的静水速度为2x ，
则：0.5（x+a ）+（2x-a ）=0.5（y-a ），
解得：y=5x
即快艇静水速度是快船的静水速度的5倍，
故答案为：5.
【点睛】本题考查了一次方程组的应用，找准等量关系是做本题的关键，借助图例可以帮助我们理解题意．题中虽然有三个未知数，但在计算过程中可以抵消一个．
16．152
【解析】
【分析】
先把xy-2y-3x=0，yz-3z-5y=0，xz-5x-2z=0建立三元方程组，再利用代入法求出x ，y ，z 的值，再根据x=a ，y=b ，z=c 求出a2+b2+c2的值．
解析：152
【解析】
【分析】
先把xy-2y-3x=0，yz-3z-5y=0，xz-5x-2z=0建立三元方程组，再利用代入法求出x ，y ，z 的
值，再根据x=a ，y=b ，z=c 求出a 2+b 2+c 2的值．
【详解】
xy 2y 3x 0--=，yz 3z 5y 0--=，xz 5x 2z 0--=组成方程组得
230350520xy y x yz z y xz x z --=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩
①②③， 由①得：x=23
y y -④， 把④代入③整理得：-10y+6z=0，
∴z=53
y ， 把z=
53y 代入②得：253
y -5y-5y=0， 解得：y 1=0 （舍去），y 2=6， ∴z=
53×6=10， x=2663
⨯-=4， 又∵x=a ，y=b ，z=c ，
∴a 2+b 2+c 2=x 2+y 2+z 2=42+62+102=16+36+100=152，
故答案为152.
【点睛】
本题考查了解三元方程组；解题的关键是通过建立三元方程组，再运用代入法进行消元求出方程组的解．
17．①②③
【分析】
解方程组得出x 、y 的表达式，根据a 的取值范围确定x 、y 的取值范围，再逐一判断即可．
【详解】
解方程组，得，
，
，，
当时，，，x ，y 的值互为相反数，结论正确；
当时，，，方程两
解析：①②③
【分析】
解方程组得出x 、y 的表达式，根据a 的取值范围确定x 、y 的取值范围，再逐一判断即
可．
【详解】
解方程组343x y a
x y a +=-⎧-=⎨⎩，得{
121x a y a =+=-， 31a -≤≤，
53x ∴-≤≤，04y ≤≤，
①当2a =-时，123x a =+=-，13y a =-=，x ，y 的值互为相反数，结论正确； ②当1a =时，23x y a +=+=，43a -=，方程4x y a +=-两边相等，结论正确； ③当1x ≤时，121a +≤，
解得0a ≤，且31a -≤≤，
30a ∴-≤≤，
114a ∴≤-≤，
14y ∴≤≤结论正确，
故答案为①②③．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次不等式组.关键是根据条件，求出x 、y 的表达式及x 、y 的取值范围．
18．3750
【解析】
设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ，则安装在前轮的轮胎每行驶1km 磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为．又设一对新轮胎交换位置前走了xkm ，交换位置后走了ykm ．分别以
解析：3750
【解析】
设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ，则安装在前轮的轮胎每行驶1km 磨损量为
5000k ，安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000
k ．又设一对新轮胎交换位置前走了xkm ，交换位置后走了ykm ．分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有
+=50003000+=50003000
kx ky k ky kx k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，两式相加，得()()250003000k x y k x y k +++=，则x+y=2
1150003000
+=3750（千米）. 故答案为：3750．
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出
的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
19．9
【解析】
由题意得,解得,
所以x+y+z=9.
解析：9
【解析】
由题意得4021010x z z y x y z -+=⎧⎪-+=⎨⎪+-+=⎩
,解得135x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩, 所以x+y+z =9.
20．90
【分析】
首先可设道路一侧植树棵树为x 棵，根据时间的等量关系列出方程求解；实际在植树时，可设甲在左侧植树的时长为y ，根据时间的等量关系列出方程求解；最后进一步求得丁植树的时长，从而可求得甲比丁
解析：90
【分析】
首先可设道路一侧植树棵树为x 棵，根据时间的等量关系列出方程求解；实际在植树时，可设甲在左侧植树的时长为y ，根据时间的等量关系列出方程求解；最后进一步求得丁植树的时长，从而可求得甲比丁少植树的棵树．
【详解】
解：设道路一侧植树棵数为x 棵，则
78x
+＝2+102610
x -⨯+， 解得x ＝180，
实际在植树时，设甲在左侧植树的时长为y ，则 ()18061010
y
-+﹣5＝()18078678y -+++， 解得y ＝5， 则丁植树的时长为1805610
-⨯＝15， 所以甲比丁少植树15×10﹣（15﹣5）×6＝90（棵）．
故答案为：90．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是直接求解两人植树棵树较困难时，可通过
计算两人的植树时间进行比较．
三、解答题
21．（1）()5,3A 为爱心点，理由见解析；（2）第四象限，理由见解析；（3）0p =，q =23
- 【分析】
（1）分别把A 、B 点坐标，代入（m ﹣1，
22n +）中，求出m 和n 的值，然后代入2m ＝8+n 检验等号是否成立即可；
（2）把点A （a ，﹣4）、B （4，b ）各自代入（m ﹣1，22
n +）中，分别用a 、b 表示出m 、n ，再代入2m ＝8+n 中可求出a 、b 的值，则可得A 和B 点的坐标，再根据中点坐标公式即可求出C 点坐标，然后即可判断点C 所在象限；
（3）解方程组，用q 和p 表示x 和y ，然后代入2m ＝8+n 可得关于p 和q 的等式，再根据p ，q 为有理数，即可求出p 、q 的值．
【详解】
解：（1）A 点为“爱心点”，理由如下：
当A （5，3）时，m ﹣1＝5，22
n +＝3， 解得：m ＝6，n ＝4，则2m ＝12，8+n ＝12，
所以2m ＝8+n ，
所以A （5，3）是“爱心点”；
当B （4，8）时，m ﹣1＝4，
22
n +＝8， 解得：m ＝5，n ＝14，显然2m ≠8+n ，
所以B 点不是“爱心点”； （2）A 、B 两点的中点C 在第四象限，理由如下：
∵点A （a ，﹣4）是“爱心点”，
∴m ﹣1＝a ，22
n +＝﹣4， 解得：m ＝a +1，n ＝﹣10．
代入2m ＝8+n ，得2（a +1）＝8﹣10，解得：a ＝﹣2，
所以A 点坐标为（﹣2，﹣4）；
∵点B （4，b ）是“爱心点”，
同理可得m ＝5，n ＝2b ﹣2，
代入2m ＝8+n ，得：10=8+2b ﹣2，解得：b ＝2．
所以点B 坐标为（4，2）．
∴A 、B 两点的中点C 坐标为（2442,22
-+-+），即（1，﹣1），在第四象限． （3）解关于x ，y
的方程组3x y q x y q
⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩，
得：2x q y q ⎧=-⎪⎨=⎪⎩． ∵点B （x ，y ）是“爱心点”，
∴m ﹣1
﹣q ，22
n +＝2q ， 解得：m
﹣q +1，n ＝4q ﹣2．
代入2m ＝8+n ，得：
﹣2q +2＝8+4q ﹣2，
整理得
﹣6q ＝4．
∵p ，q 为有理数，若使
p ﹣6q 结果为有理数4，
则P ＝0，所以﹣6q ＝4，解得：q ＝﹣
23． 所以P ＝0，q ＝﹣
23． 【点睛】
本题是新定义题型，以“爱心点”为载体，主要考查了解二元一次方程组、中点坐标公式等知识以及阅读理解能力和迁移运用能力，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键．
22．（1）
163a b +；（2）①11
a b =⎧⎨=-⎩；②53m = 【分析】
（1）把（4，-1）代入新运算中，计算得结果；
（2）①根据新运算规定和T （-2，0）=-2且T （5，-1）=6，得关于a 、b 的方程组，解方程组即可；
②把①中求得的a 、b 代入新运算，并对新运算进行化简，根据T （3m-10，m ）=T （m ，3m-10）得关于m 的方程，求解即可．
【详解】 解：（1）224(1)16(4,1)413
a b a b T ⨯+⨯-+-==-； 故答案为：163
a b +； （2）①∵()2,02T -=-且()5,16T -=， ∴42,225 6.4
a a
b ⎧=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪⎩
解得：1,1.a b =⎧⎨=-⎩
②∵a=1，b=1-，且x+y≠0， ∴22
()()
(,)x y x y x y T x y x y x y x y -+-===-++．
∴()310,33103610T m m m m m --=-+=-，
()3,3103310610T m m m m m --=--+=-+
∵()()310,33,310T m m T m m --=--，
∴610610m m -=-+， 解得：53
m =
． 【点睛】
本题考查了解一元一次方程、二元一次方程组的解法及新运算等相关知识，理解新运算的规定并能运用是解决本题的关键 23．952
m ≤≤ 【分析】
根据已知条件，先求出两个方程组的解，再根据“模糊解”的定义列出不等式组，解得m 的取值范围便可．
【详解】
解：解方程组222104x y m x y m +=+⎧⎨-=+⎩得 ：422x m y m
+⎧⎨-⎩＝＝， 解方程组10310x y x y +=⎧⎨+=-⎩得 ：2010
x y ⎧⎨-⎩＝＝， ∵关于x ，y 的二元一次方程组222104x y m x y m +=+⎧⎨
-=+⎩的解是方程组10310x y x y +=⎧⎨+=-⎩的模糊解， 因此有：42200.120m +-≤且2100.110
m -+≤， 化简得：821091122m m ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，即459112
2m m ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩ 解得：952
m ≤≤， 故答案为
952
m ≤≤． 【点睛】
本题主要考查了新定义，二元一次方程组的解，解绝对值不等式，考查了学生的阅读理解能力、知识的迁移能力以及计算能力，难度适中．正确理解“模糊解”的定义是解题的关键．
24．（1）n-m；（2）①M是AN的中点，n=2m+3；②A是MN中点，n=-m-6；③N是AM
的中点，
13 22 =-
n m；（3）
4
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
或
6
2
m
n
=-
⎧
⎨
=-
⎩
或
9
5
1
5
m
n
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
．
【解析】
【分析】
（1）由两点间距离直接求解即可；
（2）分三种情况讨论：①M是A、N的中点，n=2m+3；②当A点在M、N点中点时，n=﹣6﹣m；③N是M、A的中点时，n
3
2
m
-+
=；
（3）由已知可得|m+3|=|n﹣1|，n﹣m
4
3
=|m+3|，分情况求解即可．
【详解】
（1）MN=n﹣m．
故答案为：n﹣m；
（2）分三种情况讨论：
①M是A、N的中点，
∴n+(-3)=2m，
∴n=2m+3；
②A是M、N点中点时，m+n=-3×2，
∴n=﹣6﹣m；
③N是M、A的中点时，-3+m=2n，
∴n
3
2
m
-+
=；
（3）∵AM=BN，
∴|m +3|=|n ﹣1|．
∵MN 43
=BM ， ∴n ﹣m 43=
|m +3|， ∴3133412m n n m m +=-⎧⎨-=+⎩或3133412m n n m m +=-⎧⎨-=--⎩或3133412
m n n m m +=-+⎧⎨-=+⎩或3133412
m n n m m +=-+⎧⎨-=--⎩， ∴04m n =⎧⎨=⎩或62m n =-⎧⎨=-⎩或9515m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
或35m n =⎧⎨=-⎩． ∵n ＞m ，
∴04m n =⎧⎨=⎩或62m n =-⎧⎨=-⎩或9515m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
． 【点睛】
本题考查了列代数式，解二元一次方程组以及数轴上两点间的距离公式，解答本题的关键是：（1）根据两点间的距离公式求出线段AB 的长；（2）分三种情况讨论；（3）分四种情况讨论．解决该题型题目时，结合数量关系表示出线段的长度，再根据线段间的关系列出方程是关键．
25．(1)甲、乙两种车分别运载3吨，2吨；(2)共4种方案.
【解析】
【分析】
（1）设甲、乙两种车分别运载x 吨，y 吨，根据题意列出二元一次方程组，求出x,y 即可得解；
（2）列出二元一次方程，根据m ，n 都是整数，可得到方案.
【详解】
解：(1)设甲、乙两种车分别运载x 吨，y 吨；
23123417x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩
； 答：1辆甲型车和1辆乙型车都装满枇杷一次可分别运货3吨，2吨；
(2)设租甲、乙两种车分别m 辆，n 辆，
由题意得：3m+2n=21.
19m n =⎧⎨=⎩
，36m n =⎧⎨=⎩，53m n =⎧⎨=⎩，70m n =⎧⎨=⎩共4种方案.
方案一：甲车1辆，乙车9辆；
方案二：甲车3辆，乙车6辆；
方案三：甲车5辆，乙车3辆
方案四：甲车7辆，乙车0辆.
答：甲车1辆，乙车9辆或甲车3辆，乙车6辆或甲车5辆，乙车3辆或甲车7辆，乙车0辆.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的实际应用，能够找到等量关系列出二元一次方程组是解题关键.
26．(1) A 型车、B 型车都装满货物一次可以分别运货3吨、4吨;(2) 最省钱的租车方案是方案一：A 型车8辆，B 型车2辆，最少租车费为2080元.
【分析】
（1）设每辆A 型车、B 型车都装满货物一次可以分别运货x 吨、y 吨，根据题目中的等量关系：用3辆A 型车和2辆B 型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A 型车和3辆B 型车载满货物一次可运货l8吨，列方程组求解即可；
（2）由题意得出3a+4b=35，然后由a 、b 为整数解，得到三中租车方案；
（3）根据（2）中的所求方案，利用A 型车每辆需租金200元／次，B 型车每辆需租金240元／次，分别求出租车费用即可.
【详解】
解：（1）设每辆A 型车、B 型车都装满货物一次可以分别运货x 吨、y 吨，
依题意列方程组为：32172318
x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得34
x y =⎧⎨=⎩ 答：1辆A 型车辆装满货物一次可运3吨，1辆B 型车装满货物一次可运4吨.
（2）结合题意，和（1）可得3a+4b=35
∴a=3543
b - ∵a、b 都是整数
∴92a b =⎧⎨=⎩或55a b =⎧⎨=⎩或18a b =⎧⎨=⎩
答：有3种租车方案：
方案一：A 型车9辆，B 型车2辆；
方案二：A 型车5辆，B 型车5辆；
方案三：A 型车1辆，B 型车8辆．
（3）∵A 型车每辆需租金200元/次，B 型车每辆需租金240元/次，
∴方案一需租金：9×200+2×240=2280（元）
方案二需租金：5×200+5×240=2200（元）
方案三需租金：1×200+8×240=2120（元）
∵2280＞2200＞2120
∴最省钱的租车方案是方案一：A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为2120元.
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程组以及二元一次方程的解法，关键是明确二元一次方程有无数解，但在解与实际问题有关的二元一次方程组时，要结合未知数的实际意义求解.。