频域性能指标和时域性能指标的关系

5.7 频域性能指标和时域性能指标的关系
频率响应法是通过系统的开环频率特性和闭环频率特性的一些特征量间接地表征系统的瞬(暂)态响应的性能，因而这些特征量又被称为频域性能指标。

常用的频域性能指标有幅值裕度、相位裕度、谐振峰值、谐振频率和频带宽度等。

虽然这些指标没有时域性能指标那样直观，但在二阶系统中，它们与时域性能指标有着确定的对应关系，对于高阶系统，也有近似的关系。

5.7.1频域指标和二阶系统的过渡过程指标
设二阶单位反馈系统的方框图如图5-80所示。

图 5-80 二阶单位反馈系统的方框图
此系统的闭环传递函数为
2
222)()
(n
n n s s s X s Y ωξωω++= 其中ξ为阻尼比，n ω为无阻尼自然振荡频率。

令s j =ω代入上式，可得系统的闭环频率响应为:
ja n n
M j j X j Y e 2)1(1
)
()
(22=+-=
ωωξ
ωωωω
式中 M n
n =
-
+1
122
2
22
()()ωωξωω
2
2
12a r c t a n n
n ωωω
ωξα--= 根据式(5-67)可知，当00707≤≤ξ.时，在谐振频率ωr 处，M 出现峰值
ωωξr n =-122
M r =-1212
ξξ
二阶系统的闭环频率特性如图5-81所示。

图 5-81 图5-80所示系统的闭环频率特性
对于二阶系统，在01
2
≤<
ξ时，频率特性的谐振峰值M r 可以反映系统的阻尼系数ξ，而其谐振频率ωr 可以反映给定ξ对应的自然频率ωn ,从而也能反映响应速度。

这样就可把二阶系统闭环频率特性的M r 和ωr 当作性能指标用。

系统的频带宽度(带宽)
由图5-81可见，当ωω>r 时，闭环频率特性的幅值M 单调下降。

当闭环频率特性的
幅值下降到707.02
1
==M 时，或者说，当闭环频率特性的分贝值下降到零频率时分
贝值以下3分贝时，对应的频率ωb 称为截止频率，又称带宽频率。

此时有
b j M j M ωωω>-<3
)0(lg 20)(lg 20
对于0)0(lg 20=j M ，有
b j M ωωω>-<3
)(lg 20
系统对频率高于ωb 的输入衰减很大，只允许频率低于ωb 的输入通过。

闭环频率特性的分贝值不低于3-分贝时，对应的频率范围b ωω≤≤0称为系统的带
宽。

带宽是一个重要的频域性能指标。

带宽反映了系统在一定频带范围内比较满意地复现输入信号的能力。

带宽大，表明系统能通过较高频的输入;带宽小，表明系统只能通过较低频的输入。

因此，带宽大的系统，一方面重现输入信号的能力强; 另一方面，抑制输入端高频噪声的能力弱。

为了使系统准确地跟踪任意的输入，带宽大好; 而从抑制噪声考虑，带宽又不能太大。

因此，对带宽要求是有矛盾的，设计中应根据具体情况折衷考虑。

对于一阶系统和二阶，带宽和系统参数具有解析关系。

设一阶系统的闭环传递函数为
1
1
)()()(+==
Ts s X s Y s φ 因为1)0(=j φ，根据带宽的定义
2
1lg
201
1lg
20)(lg 2022
=+=b
b T j ωωφ (5-141)
根据式(5-141)可求得带宽频率
T
b 1=
ω 在第三章中，我们研究一阶系统的暂态响应时，有这样的结论:取%5的误差带时，T t s 3=，上升时间T t r 2.2=。

因此
b
s T t ω3
3=
= (5-142) b
r T t ω2
.22.2=
= (5-143)
从式(5-142)和(5-143)可以看出，系统的带宽频率和上升时间r t 成反比，也和调节时间s
t 成反比。

设二阶欠阻尼系统的闭环传递函数为
2
2
22)(n
n n
s s s ωξωωφ++= 则系统的幅频特性为
2
2
2
211)(⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
n n
j ωωξωωωφ
因为1)0(=j φ，根据带宽的定义，
2
1lg 20211
lg
20)(lg 202
2
2
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=n b
n
b
j ωω
ξωω
ωφ
所以有
24122
22
22=+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-n b n b ωωξωω
因而有
2/1222]1)21()21[(+-+-=ξξωωn b (5-144)
由式(5-144)可知，二阶系统的带宽频率ωb 和无阻尼自然振荡频率n ω成正比。

设2
)/(n b A ωω=，则有
)10(0)]21(1)21([1
)21(4d d 22222<<<-++-+--=ξξξξξξA (5-145)
由(5-145)可知，A 为阻尼比ξ的减函数，即带宽频率ωb 和阻尼比ξ成反比。

根据第三章中二阶系统的上升时间r t 和调节时间s t 和无阻尼自然振荡频率n ω、阻尼比ξ的关系式(3-42)、式(3-52)及式(3-53)可知，？？？系统的带宽频率ωb 和上升时间r t 和过渡过程时间s t 成反比。

这一结论也适用于高阶系统。

？？？？ ？？？？？
在第三章中曾指出，在01≤≤ξ时系统的阻尼振荡频率为
ωωξd n =-12
阶跃响应的最大超调量M p 为
2
1/
e ξπξ--=p M
M M r p 、和ξ的关系曲线如图5-82所示。

由图可见，当ξ愈小时，M M r p 、的值愈
大。

在00707<<ξ.的情况下，M M r p 和的值是逐一对应的。

而当ξ>0707.时，谐振峰值M r 不在存在。

图5-82 二阶系统p r 和的关系曲线
谐振频率ωr 和阻尼振荡频率ωd 之间存在一定的关系：
ωωξξr d =--1212
2
其关系如图5-83所示。

？？？？？？
r M
r d
下面研究二阶系统的相位裕度γ和阻尼比ξ的关系。

图5-80所示的二阶系统的开环频率特性为:
G j j j n
n ()()
ωωωωξω=
+22 在幅值穿越频率ωω=c 处，G j c ()ω=1,即
1)
4(22
2
2=+n
c
c n
ωξωωω
或
()()ωξωωωc n c n 222224
40+-=
所以有
ωωξξc n ⎛⎝ ⎫⎭
⎪=+-2
42412
二阶系统的相位裕度为
c
n
n c ωξωξωωγ2arctan 180)2arctan(
9000=+--= 2
1
2
4
)2141
(
2arctan ξ
ξξ-+=
二阶欠阻尼系统的γ和ξ在间的关系曲线如图5-84所示。

由图5-81可知,相位裕度γ
为阻尼比ξ的增函数。

在ξ≤07.的范围内，它们的关系可近似地表示为
ξγ≈001. (5-146)
通常，为使控制系统具有良好的动态性能，一般希望相位裕度为0
70~30，此时，对应二阶系统的阻尼比为7.03.0≤≤ξ。

5.7.2高阶系统
系统的时域响应和频率响应之间存在一定的数学关系，用复立叶积分式表示为
⎰
∞
+∞
-=
ωωπ
ωd e )(21
)(t j j Y t y
对于高阶系统，进行上述的变换十分困难。

实际上经常应用一些近似估计方法。

高阶系统的典型闭环幅频特性如图5-85所示。

实际中常用以下的频域指标表征系统性能。

图5-85 高阶系统的典型闭环幅频特性曲线
1 谐振峰值M r 闭环幅频特性M ()ω的最大值M r 称为谐振峰值。

它反映了系统的相
对稳定性。

一般而言，M r 的值愈大，则系统阶跃响应的最大超调量也愈大，因而系统的稳定程度较差。

通常希望系统的谐振峰值在1.1至1.4之间，相当于0407..<<ξ。

2 谐振频率ωr 谐振峰值出现时的频率称为谐振频率，它在一定程度上反映了系统暂
态响应的速度。

ωr 值愈大，则暂态响应愈快。

3 截止频率(带宽频率)ωb 当系统闭环幅频特性的幅值M ()ω降到零频率幅值的0.707(或零频率分贝值以下3dB)时，对应的频率ωb 称为截止频率。

0至ωb 的频率范围称为系统的带宽。

它反映了系统对噪声的滤波特性，同时也反映了系统的响应速度。

带宽愈大，暂态响应速度愈快。

4 剪切率 在剪切频率ωc 附近开环对数幅频特性的斜率称为剪切率，它即能反映系统的相位裕度，又能表征系统从噪声中辨别信号的能力。

而这两方面的要求是互相矛盾的。

当希望系统有较大相位裕度时，要求对数幅频特性的剪切率比较平缓，然而这对于抑制系统的噪声却不利。

这时，就需要根据具体情况折衷考虑。

上述几个频域指标是评价系统性能时比较常用的。

当高阶系统具有一对共轭复数的主导闭环极点时，可以近似地化为二阶系统来分析。

这时可以应用前面对于二阶系统所得到的基本结论。

5.7.3 Bode 图形状对系统性能指标的影响
系统开环Bode 图可以表征系统的性能。

工程上，通常将系统的开环对数幅频特性曲线划分为三个频段。

下面讨论单位反馈系统开环对数幅频特性曲线在三个频段上对闭环系统性能指标的影响。

1 低频段 低频段一般指开环对数幅频渐近线在第一个交接频率以前的频率区段。

低频段的开环频率特性可表示为
v
j K G )()(ωω=
(5-147)
式(5-146)表明，低频段的开环对数幅频特性曲线的形状完全由开环增益K 和系统的型号υ决定。

因此，开环对数幅频特性曲线低频段的形状表征了闭环系统的稳态性能。

如果低频段曲线较陡且位置较高，说明系统的型号υ和开环增益K 都较大，则系统的稳态误差ss e 较小;如果低频段曲线较平直且位置较低，说明系统的型号υ和开环增益K 都较小，则系统的稳态误差ss e 较大。

2 中频段
中频段是指开环对数幅频渐近线在0dB 线附近的频率区段，即剪切频率c ω附近的频率
区段。

中频段集中地反映了控制系统的动态性能。

为了使系统具有良好的相对稳定性，使相位裕度γ在0
30到0
70之间，一般要求最小相位系统的开环对数频率特性在c ω附近的斜率为dB/dec 20-，且该段的区域较宽。

如果在c ω附近的斜率为dB/dec 40-，则对应的系统可能不稳定，或者系统即使能稳定，但因为相位裕度较小，系统的稳定性也较差。

如果在c ω附近的斜率为dB /dec 60-，则对应的系统总是不稳定的。

下面通过例子给予说明。

设最小相位系统的开环对数幅频特性如图5-86所示。

图5-86 最小相位系统的开环对数幅频特性
设1ωω<部分的斜率为d B/d e c 20-，3ωω>部分的斜率为dB/dec 40-，且设
3//32==c c ωωωω，则
(1)当32ωωω<<，斜率为dB/dec 20-; 21ωωω<<, 斜率为dB/dec 40-, 则对应
的系统开环频率特性为
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+=312111)(ωωωωωωωωj j j j K j G
系统在c ω处的相角为
()3
102arctan arctan 90arctan
ωω
ωωωωωϕc c c c ---= (5-148) 式(5-148)中1ω虽然未确定，但角度)/arctan(1ωωc 的变化范围是072到0
90之间，则
()0000000126~10818)90~72(9072--=---=c ωϕ
所以相位裕度γ在0
54~72之间。

(2)当32ωωω<<，斜率为dB/dec 20-; 21ωωω<<, 斜率为dB /dec 60-, 应的系统开环频率特性为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+=
32
12
2111)(ωωωωωωωωj j j j K j G (5-149)
系统在c ω处的相角为
()3
102arctan arctan 290arctan
2ωω
ωωωωωϕc c c c ---= (5-150) 同样可确定)(c ωϕ的的变化范围为0
144~108--。

所以相位裕度γ在0
36~72之间。

(3) 当2ωω>，斜率为dB/dec 40-; 21ωωω<<, 斜率为dB /dec 60-。

对应系统的开环频率特性为
2
1211)(⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+=ωωωωωωj j j K j G (5-151)
系统在c ω处的相角为
()3
102arctan arctan 290arctan
2ωω
ωωωωωϕc c c c ---= (5-152) 同样可确定)(c ωϕ的的变化范围为0
198~162--。

所以相位裕度γ在0
18~18-之间。

上述的计算结果表明系统的开环对数幅频特性如果在c ω处中频段的斜率为
dB/dec 20-，系统就有可能稳定并具有足够大的相位裕度。

这个条件只是必要而不是充分
的。

在设计控制系统时，开环对数幅频特性在c ω处中频段的斜率和系统的相对稳定性的这
一关系通常是很有用的。

3 高频段 高频段是指中频段之后)10(c ωω>的频率区段。

开环对数幅频渐近线在高频段的形状表示了系统的复杂性和滤波性。

高频段曲线应尽量低些、陡些，这样可以使系统的输出幅值在高频段尽快衰减，以消除高频噪声的影响。

值得指出的是，这三个频段的划分并没有严格的确定准则。

但是，利用三个频段的概念，为直接利用开环对数频率特性来分析闭环系统的性能提供了方便。

小 结
1 频率特性是线性系统在正弦输入信号作用下的稳态输出与输入之比。

与传递函数一样，频率特性只取决于系统本身的结构与参数，而与输入无关。

它表达了系统本身的固有特性。

所以，频率特性是频率域里描述系统运动规律的又一种数学模型。

2通常可用分析法或实验法获得系统的频率特性。

分析法就是根据描述系统的微分方程求出系统的传递函数)(s G ，用ωj 取代s 即得到系统的频率特性。

实验法则是根据系统在频率由∞→0变化的正弦信号作用下，稳态输出与正弦输入的幅值比和相位差绘出系统的Bode 曲线，即可求出系统的频率特性。

3 在工程分析和设计中，通常把频率特性画成一些曲线，根据频率特性曲线可以对系统进行直观、简便的分析研究。

常用的几何表示法有三种：幅相频率特性曲线，对数频率特性曲线和对数幅相特性曲线。

和其它两种方法相比，采用对数频率特性曲线，环节串联组成的系统可分别由各环节对数幅、相频特性的叠加而得。

因而，掌握典型环节的对数频率特性曲线具有重要意义。

4 用奈奎斯特稳定判据可以根据系统的开环频率特性来判断闭环系统的稳定性。

奈奎斯特稳定判据是根据开环频率特性曲线包围(-1,j0)点的周数和开环传递函数在右半s 平面的极点数来判别对应闭环系统的稳定性。

该判据能从图形上直观地研究参数的变化对系统性能的影响，并提示改善系统性能的信息。

5 考虑到系统内部参数和外界环境的变化对系统稳定性的影响，要求系统不仅能稳定地工作，而且还需有足够的稳定裕量。

稳定裕量通常用幅值裕度和相位裕度来表示。

6 等M 圆图和等N 圆图将开环幅相频率特性曲线和闭环频率特性有机地联系在一起。

当闭环频率特性曲线难于直接画出时，可利用等M 圆图和等N 圆图根据开环幅相频率特性
曲线分别画出闭环幅频特性曲线和闭环相频特性曲线。

7 对于同一系统，无论在时域或频率研究，都应有相同的动态性能。

因此，二阶欠阻尼系统在时域中的动态性能指标，可以在频域中找出与之相对应的一些特征量，这就是系统的频域性能指标。

思考题
5-1 什么是控制系统的频率特性？
5-2 控制系统的频率特性都有哪些表示方法？ 5-3 对数频率特性有哪些优点？ 5-4 试画出各典型环节的波德图。

5-5 如何根据给定的系统的开环传递函数，画出其波德图？ 5-6 什么叫最小相位系统？最小相位系统有什么显著的特点？
5-7 如何根据给定最小相位系统的波德图，求出系统的开环传递函数？ 5-8 简述系统的开环频率特性与闭环频率特性之间的关系。

5-9 简述奈氏稳定性判据。

5-10当系统在原点有开环节点时，如何应用奈氏判据？ 5-11简述波德图上的奈氏判据？
5-12什么是系统的稳定裕度？如何用稳定裕度来描述系统的稳定性？
5-13系统的稳定裕度除了用于描述系统的稳定性之外，是如何用于描述系统的动态性能的？
5-14频率特性的两个基本性质是什么？
5-15从开环对数频率特性上如何获得系统的稳态性能？ 5-16从开环对数频率特性上如何获得系统的动态性能？ 5-17试用频率特性来解释比例环节对于系统性能的影响。

5-18试用频率特性来解释积分环节对于系统性能的影响。

5-19试用频率特性来解释纯微分环节对于系统性能的影响。

5-20试用频率特性来解释一阶惯性环节对系统的作用。

5-21试用频率特性来解释比例微分环节对系统的作用 5-22试用频率特性来说明比例积分环节对系统的作用。

5-23在开环系统的波德图上，高频衰减率的不同对于时域的阶跃响应有什么影响？
习 题
5-1 单位反馈系统开环传递函数为 G s s ()=
+10
1
试求下列输入信号作用于系统时，闭环系统的稳态输出。

(1) r t t ()sin()=+
π
6
(2) r t t ()cos()=-
224
π
(3) )42cos(2)6sin()(π
π-++=t t t r 5-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试绘制其开环对数频率特性。

(1) G s s s ()()
=
+11 (2) G s s s ()()()
=++1121 (3) G s s s s ()()()
=++1121 (4) G s s s s ()()()=++11212 5-3 设控制系统的开环传递函数为
G s s s s ()(.)(.)
=++5061011 试绘制系统的伯德图，并确定系统的幅值裕量和相位裕量。

5-4 已知单位反馈系统的开环传递函数为
)
1005.0)(1001.0()102.0)(12.0()(2++++=s s s s s K s G 试绘制系统的伯德图，并确定闭环系统稳定时的K 值范围。

5-5 设单位反馈控制系统的开环传递函数为
)
1)(11.0(e )(1.0++=-s s s K s G s
试根据伯德图确定：
（1）系统的幅值裕量为20分贝时的K 值；
（2）系统的相位裕量为400时的K 值；
（3）系统的谐振峰值为1分贝时的K 值以及相应的谐振频率和带宽频率；
（4）系统的带宽频率为1弧度/秒时的K 值。

5-6设单位反馈系统的开环传递函数
)
12.0)(1()(++=s s s K s G (1) 求当1=K 时，系统的相位裕度;
(2) 求当10=K 时，系统的相位裕度;
(3) 讨论开环增益的大小对系统相对稳定性的影响。

5-7已知各单位反馈系统的开环幅相频率特性曲线如图5-87所示。

图中k p 为开环系统在右半s 平面的极点个数。

试用奈奎斯特稳定判据分别判定对应闭环系统的稳定性。

图5-87 题5-7图
5-8设单位反馈系统的开环传递函数
G s s s s ()(.)(.)
=++100051011 试绘制系统的伯德图，并求系统闭环频率特性的谐振峰值和谐振频率 。

5-9 设单位反馈控制系统的开环传递函数为
)
1()1)(1()(12+++=s T s s T s T K s G b a 试绘制下面两种情况下的开环对数频率特性曲线;
(1) 01>>T T a ,01>>T T b ;
(2) 01>>a T T ,01>>b T T 。

5-10设单位反馈控制系统的开环传递函数为
)
13)(11.0()(++=s s s K s G (1) 试绘制5=K 时的开环对数频率特性曲线;
(2) 求开环穿越频率及相位裕度;
(3) 用对数频率稳定性判据判断闭环系统的稳定性;
(4) 求使系统处于临界稳定状态的K 值。

5-11设单位反馈系统的开环传递函数为
2
1)(s Ts s G +=
试确定使相位裕度为045时的T 值。

5-12设单位反馈系统的开环传递函数为 )
11.0)(1()(++=s s s K s G 试确定:
(1)使系统的幅值裕度dB 20=g K 的K 值;
(2)使系统的相位裕度0
60=γ的K 值;
5-13 最小相位系统开环渐近对数幅频特性如图5-88所示，试求其传递函数。

图5-88 题5-13图
5-14 设二阶系统的闭环谐振峰值3=r M ，谐振频率15=r ω。

试求该系统在阶跃输入作用下暂态响应的超调量、调节时间。

5-15求开环频率特性为
G j j j j ()(.)(.)ωωωω=++100210051 的单位反馈系统的闭环幅频特性。