凸优化（二）凸锥与常见凸集

凸优化（⼆）凸锥与常见凸集
1. 概述
\(\quad\)那么开始第⼆期，介绍凸锥和常见的集合，这期⽐较短(因为公式打得太累了)，介绍凸集和凸锥与仿射集的意义在哪呢，为的就是将很多⾮凸集合转化为凸集的⼿段，其中，⼜以凸包（包裹集合所有点的最⼩凸集）为最常⽤的⼿段，在细节⼀点，闭凸包（闭合的凸包）是更常⽤的⼿段。

2. 凸锥（convex cone）：
2.1 定义
（1）锥（cone）定义：对于集合\(C\subseteq{R^n},\forall x \in C,\theta \ge0,有\theta x \subseteq C\)则x构成的集合称为锥。

说明⼀下，锥不⼀定是连续的（可以是数条过原点的射线的集合）。

（2）凸锥（convex cone）定义：凸锥包含了集合内点的所有凸锥组合。

若\(C\subseteq{R^n}\),\(x_1,x_2...x_n\in C,\theta_i\ge0\)，则\ (\theta_1{x_1}+\theta_2{x_2}+...+\theta_n{x_n}\)也属于凸锥集合C。

这⾥说明⼀下，就是说⼀个集合既是凸集⼜是锥，那么就是凸锥（废话）。

（3）凸锥包（convex cone hull）定义：凸锥包是包含C的最⼩的凸锥，假设\(x_1,x_2...x_n\in C\)，凸锥包表⽰为：
$${\theta_1{x_1}+\theta_2{x_2}+...+\theta_n{x_n}|x_1,x_2...x_n\in C，\theta_i\ge0}$$
3. 常⽤凸集
3.1 常⽤集合
集合是否属于凸集、仿射集、凸锥
点凸集、仿射集，不⼀定是凸锥（在原点上是凸锥）
空集凸集、仿射集、凸锥
\(R^n\)n维空间凸集、仿射集、凸锥
\(R^n\)的⼦空间凸集、仿射集、凸锥
\(\forall\)任意直线凸集、仿射集、不⼀定是凸锥（过原点上是凸锥）\(\{x_0+\theta v|\theta\ge0\},x\in R^n,\theta\in R,v\in R^n\)的⼦空间凸集、仿射集(是点的时候)、凸锥（过原点时）
以上是⽐较简单的集合，接下来来看看稍微复杂的常⽤集合。

（1）超平⾯：\(\{x|a^{T}x=b,x\in R^n,b\in R,a\in R^n\}\)，其中a和x为n维向量，b为常数。

解释⼀下就是，想想初中学的直线为\(kx-y=-b\),⾼中学的平⾯为\(Ax+By+Cz=-D\)。

拓展到n维空间就是超平⾯啦。

超平⾯是凸集、仿射集，只有在过原点的时候是个凸锥。

（2）球：\(B（x_c,r）=\{x||x-x_c||_2\le r\}\),即点到圆⼼的距离的⼆范数⼩于半径的点构成的集合。

那么解释⼀下⼆范数的求法：\
(||A||_2=\sqrt{A^T A}\)。

球是凸集、当是个点的时候是仿射集、凸锥。

（3）椭球：\(B（x_c,P）=\{x|(x-x_c)^T P^{-1}(x-x_c)\le 1,P\in S^{n}_{++}\}\),其中P为正定对称矩阵，正定就是其特征值全⼤于0.相关概念不再赘述。

同理，椭球是凸集，当是个点的时候是仿射集、凸锥。

（4）多⾯体（polyhedron）：\(P=\{a_j^Tx\le b_j,c_i^Tx= d_j\}\)，多⾯体由半空间与超平⾯的交集组成。

依旧是凸集。

（5）单纯形（simplex）：特殊多⾯体，\(R^n空间中选择v_0...v_k共k+1个点，满⾜v_1-v_0,...v_k-v_0线性⽆关\)则构成单纯形为\(C=conv\ {v_0...v_k\}=\{\theta_0v_0+...+\theta_kv_k,\theta\ge0,1^T\theta=1\}\)。

看起来⽐较绕，其实想想就明⽩了，就是找两两组合起来构成的线不平⾏的点，然后找这些点的凸包集合。

当然有⼀种情况需要说明，就是在\(R^n\)空间中，由于⽆法找到n+1个向量线性⽆关，所以点也是有个数限制的。

即不超过n+2个。

举个例⼦，就是⼆维空间中，不存在四边形的单纯形，三维空间没有五⾯体的单纯形。

（6）这⾥开始介绍三个不太能想像出具体形式的集合，对称矩阵集合\(S^n=\{x\in R^n_n|x=x^T\}\)，是凸锥。

（7）对称半正定矩阵集合\(S^n_+=\{x\in R^n_n|x=x^T,且x半正定\}\)来简单证明⼀下它是凸锥，半正定矩阵有个特点，假设半正定矩阵A，则有\(\forall x\in R^n，x^TAx\ge 0\),那么证明开始，有两个矩阵A、B集合在C中，满⾜\(x^TAx\ge 0,x^TBx\ge 0\)则
$$x T\theta_1Ax+x T\theta_2Bx=x^T(\theta_1A+\theta_2B)x\ge0\tag{1}$$显然成⽴，得到\(\theta_1A+\theta_2B\)仍在集合C中，得证。

（8）对称正定矩阵集合\(S^n_+=\{x\in R^n_n|x=x^T,且x正定\}\)，（其实表⽰正定有个数学符号，表⽰其特征值⼤于0,和⼤于号很像，但是markdown我不会打那个符号），不是凸锥！，具体看（7）的证明，这⾥（1）式依旧成⽴，但是⽆法满⾜⼤于0,因为当两个\(\theta\)参数为0时就会有等于0的情况。

反例也可以找到，当n=1时，此矩阵集合则变为了\(S^1_{++}=R_{++}\)显然不包含原点，则不是凸锥。

那么这次写到这⾥，下次介绍啥呢（其实我想跳⼀跳的）。