山东高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第11讲导数的概念及运算课

• (3)曲线平行于直线5x－y＋1＝0的切线方程为 5_x－__y_－__4__2_＝__0_或__5_x_－__y_＋_4__2_＝__0_________.
• [分析] (1)解决曲线的切线问题直接利用导数的几何意义求切线斜率可得； • (2)由于在点P处的切线平行于直线5x－y＋1＝0，则在点P处的切线斜率为5. • [解析] f′(x)＝3x2－1. • (1)曲线在点(1,0)处切线的斜率为k＝f′(1)＝2. • ∴所求切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
④y′＝(x2＋2x－1)′e2－x＋(x2＋2x－1)(e2－x)′ ＝(2x＋2)e2－x＋(x2＋2x－1)·(－e2－x) ＝(3－x2)e2－x. ⑤y′＝[ln2x＋3]′x2＋x12＋－1ln22x＋3x2＋1′ ＝2x2＋x＋33′·x2x＋2＋11－2 2xln2x＋3 ＝2x2＋12－x＋2x32xx＋2＋31ln22x＋3.
(2)当把上式中的 x0 看作变量 x 时，f′(x)即为 f(x)的导函数，简称导数，即 y′＝ fx＋Δx－fx
f′(x)＝___Δ_lix_m→_0_____Δ_x________.
3．基本初等函数的导数公式
(1)C′＝___0___(C 为常数)；(2)(xn)′＝_____n_x_n_－_1_____(n∈Q*)
• 3．(选修2－2P18AT5改编)已知函数f(x)＝2xf′(1)＋xln x，则f′(1)＝( C )
• A．e
B．1
• C．－1 D．－e
• [解析] f′(x)＝2f′(1)＋ln x＋1，
• 当x＝1时，f′(1)＝2f′(1)＋1，
• ∴f′(1)＝－1，故选C．
• 题组三 考题再现 • 4．(2019·全国卷Ⅰ，5分)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为
2x2＋1－2x2x＋3ln2x＋3 ⑤若 y＝lnx22＋x＋13，则 y′＝__________2_x_＋__3__x_2_＋__1_2__________.
• •
((32))f若(x函)＝数x(f(2x0)＝18a＋x4l＋n xb)x，2＋若cf满′(x足0)＝f′(12)＝0129，，则则fx′(0－＝1_)_＝_1______.__－_2__.
• 5．(2019·江苏，5分)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线 在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是 ___(_e_,1_)___.
[解析] 设 A(x0，ln x0)，又 y′＝1x，则曲线 y＝ln x 在点 A 处的切线方程为 y－ln
[解析] (1)①y′＝(ln x＋1x)′＝(ln x)′＋(1x)′＝1x－x12. ②因为 y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1， 所以 y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′ ＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3. 另解：y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′ ＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝12x2＋4x＋6x2－3 ＝18x2＋4x－3.
题组一 走出误区
1．(多选题)下列结论不正确的是(ABC)
A．在曲线 y＝f(x)上某点处的切线与曲线 y＝f(x)过某点的切定是曲线的切线
C．(sin
π3)′＝cos
π 3
D．[ln(－x)]′＝1x
[解析] 对于 A，曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线，点 P 在曲线上，而过点 P(x0，y0)的切线，点 P 可以在曲线外．
_y_＝__3_x_______.
• [解析] 因为y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以曲线在点(0,0)处 的切线的斜率k＝y′|x＝0＝3，所以所求的切线方程为y＝3x.
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐 对身体不好哦~
(3)(sin x)′＝_____c_o_s__x_____；(4)(cos x)′＝____－__s_i_n_x______；
(5)(ax)′＝______a_xl_n_a_______；(6)(ex)′＝____ex____；
(7)(logax)′＝xln1 a；
1 (8)(ln x)′＝___x___.
• (4)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝____2__.
[解析] (1)①y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，所以 y′＝3x2＋12x＋11. ②y′＝exln x＋ex·1x＝ex(1x＋ln x)． ③y＝tanx＝csoinsxx，∴y′＝cosx·cosx－ cos2－x sinxsinx＝cos2cxo＋s2sxin2x＝co1s2x.
4．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝________f_′(_x_)±__g_′_(x_)__________. (2)[f(x)·g(x)]′＝_______f′_(x_)_g_(_x)_＋__f_(x_)_g_′(_x_)______.
特别地：[C·f(x)]′＝______C_f_′(_x_)______(C 为常数) (3)[gfxx]′＝__f_′__x__g__[xg_－_x_f]_2x__g_′___x_(_g_(_x)_≠__0_)___.
5．复合函数的导数(理) 复 合 函 数 y ＝ f(g(x)) 的 导 数 和 函 数 y ＝ f(u) ， u ＝ g(x) 的 导 数 间 的 关 系 为 ____y_x_′＝__y_u_′·_u_x_′ ___.即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积． 知识点二 导数的几何意义
③因为 y＝x－sin2xcos2x＝x－12sinx， 所以 y′＝(x－12sinx)′＝x′－(12sinx)′ ＝1－12cosx. ④y′＝(coesx x)′＝cosx′exe－xc2 osxex′ ＝－sinx＋excosx.
⑤y＝ln 1－2x2＝12ln(1－2x2)，令 u＝1－2x2， 则 y＝ln 1－2x2由 y＝12ln u 与 u＝1－2x2 复合而成， ∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(12ln u)′·(1－2x2)′＝21u·(－4x)＝1－－22xx2. ⑥y′＝(e2x)′cos3x＋e2x(cos3x)′ ＝2e2x·cos3x－3e2xsin3x＝e2x(2cos3x－3sin3x)． (2)对 f(x)求导，得 f′(x)＝1x－2f′(1)x＋3，所 f′(1)＝1－2f′(1)＋3，解得 f′(1) ＝43，所以 f′(x)＝1x－83x＋3，将 x＝3 代入 f′(x)，可得 f′(3)＝－134.
对于 B，如图所示，直线与曲线只有一个公共点，但不是切线．
对于 C，(sin π3)′＝0，D 正确；故选 A、B、C．
题组二 走进教材
2．(选修 2－2P18AT4 改编)计算： (1)(x4－3x3＋1)′＝_____4_x_3_－__9_x_2______； (2)(xex)′＝_____e_x＋__x_e_x______； (3)(sinx·cosx)′＝_____c_o_s_2_x_____； (4)(ln1x)′＝_－__x_l_n1_2x__.
函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即 曲 线 y ＝ f(x) 在 点 P(x0 ， f(x0)) 处 的 切 线 的 斜 率 k ＝ f′(x0) ， 切 线 方 程 为 ___y_－__y_0＝__f_′(_x_0_)(_x_－__x_0_) ___.
• 导数计算的原则和方法
• (1)原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、 商再求导．
• (2)方法：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察 函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式： 先化为和、差的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； ⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；(理)⑥复合函 数：由外向内，层层求导．
知识梳理 • 双基自测
知识点一 导数的概念与导数的运算 1．函数的平均变化率 一般地，已知函数 y＝f(x)，把式子fxx22－ －fx1x1称为函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变 化率，还可以表示为ΔΔyx＝fxx22－ －fx1x1.
2．导数的概念
(1)f(x)在 x＝x0 处的导数就是 f(x)在 x＝x0 处的__瞬__时__变__化__率____，记作：y′|x＝x0 或 f′(x0)，即 f′(x0)＝Δlixm→0fx0＋ΔΔxx－fx0.
x0＝x10(x－x0)，将(－e，－1)代入得，－1－ln x0＝x10(－e－x0)，化简得 ln x0＝xe0，解得
x0＝e，则点 A 的坐标是(e,1)．
考点突破 • 互动探究
考点一 导数的基本运算——师生共研
例 1 (1)求下列函数的导数． ①y＝ln x＋1x； ②y＝(2x2－1)(3x＋1)； ③y＝x－sin2xcos2x； ④y＝coesx x；
考点二 导数的几何意义——多维探究
角度1 求曲线的切线方程
• •
(1)曲线例在2 点已(1知,0)曲处线的f切(x)线＝方x3程－为x，__则__2_x_－__y_－_2_＝__0_______；
• (2)曲线过点(1,0)的切线方程为_____2_x_－__y－__2_＝__0_或__x＋__4_y_－__1_＝_0_______；
(2)f′(x)＝2 018＋ln x＋x·1x＝2 019＋ln x，故由 f′(x0)＝2 019，得 x0＝1.故填 1. (3)f′(x)＝4ax3＋2bx，因为 f′(x)为奇函数且 f′(1)＝2，所以 f′(－1)＝－2.故填 －2. (4)解法一：令 t＝ex，故 x＝ln t，所以 f(t)＝ln t＋t，即 f(x)＝ln x＋x，所以 f′(x) ＝1x＋1，所以 f′(1)＝2. 解法二：f′(ex)＝1＋ex，f′(1)＝f′(e0)＝1＋e0＝2.故填 2.
⑤y＝ln 1－2x2；
⑥y＝e2xcos3x. (2)若函数 f(x)＝ln
x－f′(1)x2＋3x－4，则
f′(3)＝__－__1_34___.
[分析] ①直接求导；②③化简后再求导；④利用商的导数运算法则求解；(理) ⑤⑥用复合函数求导法则求导．
(2)先求出 f′(1)得出导函数的解析式，再把 x＝3 代入导函数解析式得 f′(3)．
1．[f1x]′＝－f′f2xx. 2．f′(x0)不一定为 0，但[f(x0)]′一定为 0. 3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期 函数． 4．函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变 化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越 “陡”．
〔变式训练 1〕
(1)填空 ①若 y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)，则 y′＝___3_x_2＋__1_2_x_＋__1_1____； ②若 y＝exln x，则 y′＝___e_x_(1x_＋__l_n_x_)____；
1 ③若 y＝tanx，则 y′＝___c_o_s2_x___； ④若 y＝(x2＋2x－1)e2－x，则 y′＝_______(_3_－__x_2_)e_2_－_x_；
复习课件
山东高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第11讲导数的概念及运算课
2021/4/17
山东高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第11讲导数
1
的概念及运算课
第二章 函数、导数及其应用
第十一讲 导数的概念及运算
1 知识梳理 • 双基自测 2 考点突破 • 互动探究 3 名师讲坛 • 素养提升