山东省潍坊市昌乐二中2016届高三上学期期中数学模拟试卷(理科) 含解析

2015—2016学年山东省潍坊市昌乐二中高三（上）期中数学模
拟试卷（理科)
一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．集合A={x｜x2﹣2x＞0｝，B=｛y|y=2x，x＞0｝，R是实数集,则(∁R B)∪A等于（）A．R B．(﹣∞，0）∪1，+∞) C．（0，1） D．（﹣∞，1］∪（2,+∞）
2．已知，若共线，则实数x=（）
A． B．C．1 D．2
3．函数的定义域是（）
A．B． C．D．
4．已知角α的终边经过点P（﹣1,2)）,则的值是（）
A．3 B．﹣3 C．D．﹣
5．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为(）
A．m B．m C．m D．m
6．已知等比数列{a n}中，各项都是正数,且a1，，2a2成等差数列，则=（）A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣2
7．△ABC中,AB边的高为CD,若=，=，•=0，｜|=1，|｜=2,则=（）A． B． C． D．
8．下列命题错误的是(）
A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”B．若命题，则￢p：∀x∈R,x2﹣x+1＞0
C．若向量满足，则与的夹角为钝角
D．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件
9．已知函数，则y=f（x）的图象大致为（）
A． B．
C．D．
10．若不等式≤a≤在t∈(0，2]上恒成立，则a的取值范围是（）
A．［，1］B．[，1］ C．［，]D．[，2]
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．)
11．对任意x∈R，｜x+1｜+｜x+3｜≥a恒成立，则实数a的取值范围为．
12．函数的图象，其部分图象如图所示，则f(x）=．
13．已知函数f（x）=lnx+x﹣3的零点在区间（n，n+1）（n∈Z）内，则n=．14．若x，y满足约束条件．则的最大值为．
15．有下列命题：
①的图象关于直线x=对称；
②y=的图象关于点(﹣1,1)对称;
③关于x的方程ax2﹣2x+a=0有且仅有一个实根，则a=±1；
④满足条件AC=，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有一个．
其中真命题的序号是．
三、解答题：本大题6小题,共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．已知命题p：f（x）在R上为偶函数,在区间（﹣∞，0）上递增,且有f（2a2+a+1）＜f(2a2﹣2a+3)成立；命题q：不等式x2+2ax+2a≤0有解，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．
17．在△ABC中，角A,B，C的对边分别为a，b，c，bcosC=a﹣c．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=1，求a+c的最大值．
18．已知等差数列｛a n}满足：a5=11,a2+a6=18．
（Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ)若b n=a n•，求数列{b n}的前n项和S n．
19．已知向量(ω＞0)，函数f(x）=,若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．
（Ⅰ）求函数f（x)的单调增区间；
(Ⅱ）若将函数f(x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g(x）的值域．
20．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x(cm）．
（1）若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
21．已知函数．
（I）当a=1时，求f（x）在x∈［1，+∞）最小值；（Ⅱ)若f（x）存在单调递减区间,求a的取值范围; (Ⅲ)求证:（n∈N＊)．
2015—2016学年山东省潍坊市昌乐二中高三（上)期中数
学模拟试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)
1．集合A={x｜x2﹣2x＞0}，B={y｜y=2x,x＞0}，R是实数集，则（∁R B）∪A等于（）A．R B．（﹣∞，0）∪1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞,1］∪（2，+∞）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】集合．
【分析】化简A、B,求出∁R B，再计算（∁R B）∪A．
【解答】解:∵A={x|x2﹣2x＞0｝=｛x|x＜0或x＞2}
=（﹣∞，0）∪（2，+∞）,
B=｛y｜y=2x，x＞0}=｛y｜y＞1｝，
∴∁R B={y|y≤1｝=(﹣∞，1]，
∴(∁R B）∪A=(﹣∞，1]∪(2，+∞)．
故选：D．
【点评】本题考查了集合之间的基本运算问题,解题时应按照集合之间的运算法则进行计算即可，是基础题．
2．已知,若共线，则实数x=（）
A． B．C．1 D．2
【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示．
【专题】计算题．
【分析】利用向量共线时,坐标之间的关系,我们可以建立方程就可求实数x的值
【解答】解：∵,
∴
∵与共线，
∴1×1﹣2×（1﹣x）=0
∴x=
故选B．
【点评】向量共线时坐标之间的关系，与向量垂直时坐标之间的关系是我们解决向量共线、垂直的一种方法．
3．函数的定义域是（）
A．B． C．D．
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由函数的及诶小时可得可得,解方程组求得x的范围，即为所求．
【解答】解：由函数，可得．
解得﹣＜x＜2，
故选B．
【点评】本题主要考查求函数的定义域的方法，属于基础题．
4．已知角α的终边经过点P（﹣1,2）），则的值是（）
A．3 B．﹣3 C．D．﹣
【考点】两角和与差的正切函数．
【专题】三角函数的求值．
【分析】先根据题意求得tanα的值，进而利用正切的两角和公式求得答案．
【解答】解：由题意知tanα=﹣2,
∴===﹣,
故选：D．
【点评】本题主要考查了两角和与差的正切函数公式的应用．属于基础题．
5．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C,
测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（)
A．m B．m C．m D．m
【考点】解三角形的实际应用．
【专题】计算题;应用题．
【分析】依题意在A,B，C三点构成的三角形中利用正弦定理,根据AC，∠ACB，B的值求得AB
【解答】解:由正弦定理得,
∴,
故A，B两点的距离为50m，
故选A
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生对基础知识的综合应用．
6．已知等比数列{a n｝中，各项都是正数，且a1，,2a2成等差数列，则=(）A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣2
【考点】等差数列的性质；等比数列的性质．
【专题】计算题．
【分析】先根据等差中项的性质可知得2×()=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q,代入中即可求得答案．
【解答】解：依题意可得2×(）=a1+2a2，
即，a3=a1+2a2,整理得q2=1+2q，
求得q=1±，
∵各项都是正数
∴q＞0，q=1+
∴==3+2
故选C
【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理解．
7．△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0,||=1,|｜=2,则=（) A． B． C． D．
【考点】平面向量的综合题．
【分析】由题意可得，CA⊥CB，CD⊥AB，由射影定理可得，AC2=AD•AB可求AD，进而可求，从而可求与的关系,进而可求
【解答】解：∵•=0，
∴CA⊥CB
∵CD⊥AB
∵｜｜=1，||=2
∴AB=
由射影定理可得，AC2=AD•AB
∴
∴
∴==
故选D
【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用，向量的基本运算的应用，向量的数量积的性质的应用．
8．下列命题错误的是（）
A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0" B．若命题，则￢p：∀x∈R,x2﹣x+1＞0
C．若向量满足，则与的夹角为钝角
D．△ABC中,sinA＞sinB是A＞B的充要条件
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】转化思想；分析法；简易逻辑．
【分析】A．利用逆否命题的定义及其实数的性质即可判断出;
B．利用￢p的定义即可判断出;
C．由于，则与的夹角为钝角或为平角,即可判断出正误；
D．△ABC中，利用正弦定理可得sinA＞sinB=a＞b⇔A＞B，即可判断出正误．
【解答】解：A．“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0"，正确;
B．命题，则￢p:∀x∈R，x2﹣x+1＞0，正确;
C．向量满足，则与的夹角为钝角或为平角,因此不正确；
D．△ABC中,sinA＞sinB=a＞b⇔A＞B，因此正确．
故选：C．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、向量的夹角公式、正弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．已知函数,则y=f（x）的图象大致为（）
A． B．
C．D．
【考点】利用导数研究函数的单调性;函数的图象．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．
【解答】解：令g（x)=x﹣lnx﹣1，则,
由g'(x)＞0,得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，
由g'（x)＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在(0，1）上单调递减,
所以当x=1时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，
于是对任意的x∈（0,1)∪（1，+∞）,有g（x)≥0,故排除B、D,
因函数g(x)在（0，1）上单调递减，则函数f(x）在（0,1）上递增，故排除C，
故选A．
【点评】本题考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图形的判断，考查分析问题解决问题的能力．
10．若不等式≤a≤在t∈（0,2]上恒成立，则a的取值范围是()
A．[,1] B．[，1］ C．[,］D．[，2］
【考点】函数最值的应用．
【专题】计算题；函数的性质及应用;不等式的解法及应用．
【分析】由基本不等式，算出函数y=在区间(0，2]上为增函数,得到t=2时，的最大值为；根据二次函数的性质，算出t=2时的最小值为1．由此可得原不等式恒成立时，a的取值范围是[,1]．
【解答】解：∵函数y==+，在t∈(0，2］上为减函数
∴当t=2时，的最小值为1；
又∵≤=，当且仅当t=3时等号成立
∴函数y=在区间（0,2]上为增函数
可得t=2时，的最大值为
∵不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立,
∴(）max≤a≤（)min，即≤a≤1
可得a的取值范围是[，1]
【点评】本题给出不等式恒成立，求参数a的取值范围．着重考查了基本不等式、函数的单调性、函数最值的求法和不等式恒成立的处理等知识,属于中档题．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）
11．对任意x∈R，|x+1|+｜x+3｜≥a恒成立，则实数a的取值范围为（﹣∞，2］．【考点】函数恒成立问题．
【专题】转化思想；构造法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】设f（x）=｜x+1｜+|x+3｜，由绝对值不等式的性质,可得｜x+1|+｜x+3|≥|（x+1）﹣（x+3)｜=2，即有f（x）的最小值为2，再由恒成立思想即为a≤f（x）=｜x+1｜+｜x+3｜的最小值，可得a的范围．
【解答】解：设f（x）=｜x+1|+|x+3｜，
由绝对值不等式的性质，可得
|x+1|+|x+3|≥|（x+1）﹣（x+3）｜=2，
当且仅当（x+1）（x+3）≤0，即﹣3≤x≤﹣1时，取得等号．
则f(x)的最小值为2，
由任意x∈R，｜x+1｜+|x+3｜≥a恒成立,
即为a≤f（x)=|x+1|+｜x+3|的最小值,
则a≤2．
故答案为：（﹣∞，2]．
【点评】本题考查函数恒成立问题的解法,注意运用构造函数法，由绝对值不等式的性质求得最值,属于中档题．
12．函数的图象，其部分图象如图所示，则f（x）=2sin（x﹣）．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式;正弦函数的图象．
【专题】转化思想;综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值,可得函数的解析式．
【解答】解：由函数f（x）的图象可得A=2,=•=﹣，求得ω=1，
在根据五点法作图可得1×+φ=0，求得φ=﹣，故f（x）=2sin（x﹣），
故答案为：．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ)的部分图象求解析式,由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,属于基础题．
13．已知函数f(x）=lnx+x﹣3的零点在区间（n，n+1）（n∈Z）内，则n=2．
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】先判断该函数为增函数，再确定f（2）和f（3）的符号,进而得出函数的零点所在的区间．
【解答】解:f（x）=lnx+x﹣3的定义域为(0，+∞），
且f（x)在定义域上单调递增，
又∵f（2）=ln2+2﹣3=1﹣ln2＜0，
且f（3）=ln3＞0，
∴f（2）•f（3）＜0,
因此，函数f(x）的零点在区间（2，3)内，
所以,n=2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了函数零点的判定定理，涉及对数函数的单调性和数值大小的比较,属于基础题．
14．若x，y满足约束条件．则的最大值为3．
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
设k=,则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，
由图象知OA的斜率最大,
由，解得，即A（1，3）,
则k OA==3，
即的最大值为3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
15．有下列命题：
①的图象关于直线x=对称；
②y=的图象关于点（﹣1，1)对称；
③关于x的方程ax2﹣2x+a=0有且仅有一个实根，则a=±1；
④满足条件AC=，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有一个．
其中真命题的序号是①④．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】探究型；函数的性质及应用；推理和证明．
【分析】化简函数的解析式,结合余弦函数的对称性，可判断①；分析出函数对称中心坐标，可判断②;根据一元一次方程也只有一个实根，可判断③；判断三角形解的个数,可判断④．【解答】解:①=（cos2x﹣sin2x)=cos2x，
当x=时，y取最小值，故函数的图象关于直线x=对称，故正确；
②y==+1的图象由y=的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到,故关于点(1，1）对称，故错误；
③关于x的方程ax2﹣2x+a=0有且仅有一个实根，则a=±1，或a=0，故错误；
④AC=,∠B=60°，AB=1时,sin∠C=且∠C＜∠B,此时三角形只有一解,故正确．
故正确的命题有：①④，
故答案为：①④
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的对称性，类一元二次方程根的个数，解三角形等知识点,难度中档．
三、解答题：本大题6小题，共75分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．16．已知命题p:f（x)在R上为偶函数，在区间(﹣∞，0）上递增，且有f(2a2+a+1）＜f（2a2﹣2a+3）成立；命题q：不等式x2+2ax+2a≤0有解，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．
【考点】函数恒成立问题．
【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】假设p真，由偶函数的性质可得f(x)在（0，+∞）上递减，f（2a2+a+1)＜f(2a2﹣2a+3）,可得2a2+a+1＞2a2﹣2a+3，解不等式可得a的范围；假设q真，可得判别式不小于0，解不等式可得a的范围；再由“p或q"是假命题，可得p假q假,可得不等式组,解得a的范围即可．【解答】解：若p真，有2a2+a+1=2(a+）2+＞0，
2a2﹣2a+3=2（a﹣）2+＞0，
由f（x）在R上为偶函数,在区间（﹣∞，0）上递增，
可得f（x）在（0，+∞）上递减,
由f（2a2+a+1)＜f（2a2﹣2a+3），可得
2a2+a+1＞2a2﹣2a+3，解得a＞；
若q真，不等式x2+2ax+2a≤0有解即为△≥0，
即有4a2﹣8a≥0，解得a≥2或a≤0．
由命题“p或q”是假命题，可得p假q假，
即有,解得0＜a≤．
则实数a的取值范围是（0，]．
【点评】本题主要考查命题的真假和运用，考查函数的性质和运用，考查不等式的解法,考查运算能力，属于中档题．
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcosC=a﹣c．
(Ⅰ)求角B的大小;
（Ⅱ）若b=1，求a+c的最大值．
【考点】余弦定理的应用．
【专题】方程思想；综合法；解三角形;不等式的解法及应用．
【分析】(Ⅰ）运用余弦定理化简整理，再由特殊角的三角函数值，即可得到所求角B; （Ⅱ）运用余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB,结合基本不等式即可得到a+c的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵，
∴b2﹣c2=a2﹣ac
∴b2=a2+c2﹣ac,
∴,
又∵；
（Ⅱ）∵b2=a2+c2﹣2accosB，
∴1=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac，
∵当且仅当a=c时等号成立，
∴，即a+c≤2．
即有a+c的最大值为2．
【点评】本题考查余弦定理的运用，考查运用基本不等式求最值的方法，以及运算化简能力，属于中档题．
18．已知等差数列{a n｝满足:a5=11，a2+a6=18．
（Ⅰ）求数列｛a n｝的通项公式；
（Ⅱ)若b n=a n•，求数列｛b n｝的前n项和S n．
【考点】数列的求和．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（1）由等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差,由此能求出数列{a n｝的通项公式．
（2)由b n=a n•=（2+1)•,利用错位相减法能求出数列｛b n｝的前n项和S n．
【解答】解：（1）设等差数列的首项为a1，公差为d,
∵a5=11，a2+a6=18,
∴，
解得a1=3，d=2，
∴a n=2n+1．
（2）b n=a n•=（2+1）•,
∴+…+（2n+1）•，①
∴=+…+,②
①﹣②,得：=++…+﹣(2n+1）•
=+﹣(2n+1）
=，
∴S n=5﹣．
【点评】本题考查数列的通项公式、前n项和公式的求法,是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．
19．已知向量（ω＞0），函数f （x)=，若函数f（x)的图象的两个相邻对称中心的距离为．
(Ⅰ）求函数f(x）的单调增区间；
（Ⅱ)若将函数f(x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的倍,得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数f（x)的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调增区间．
（2)由条件利用函数y=Asin(ωx+φ）的图象变换规律求得g（x)的解析式,再利用张弦函数的定义域和值域，求得g（x)的值域．
【解答】解：（1)f（x））==2cosωx（sinωx﹣cosωx)﹣2+3=sin2ωx﹣
cos2ωx=，
∵，∴．
令，求得f（x)的增区间为
．
(2）将函数f（x）的图象先向左平移个单位，得到y=sin[2（x+）﹣］=sin（2x+）的图象；
然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）=sin(4x+）的图象，故，
∵，
、∴,
故函数g(x)的值域是．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式,三角恒等变换，正弦函数的单调性、定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
20．请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x(cm)．
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2)最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V(cm3）最大,试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）可设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），写出a,h与x的关系式,并注明x的取值范围．再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于x的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；
（2)利用体积公式表示出包装盒容积V关于x的函数解析式，最后利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．
【解答】解：设包装盒的高为h(cm），底面边长为a(cm），则a=x，h=（30﹣x），0＜x＜30．
（1）S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）2+1800，
∴当x=15时，S取最大值．
（2）V=a2h=2（﹣x3+30x2），V′=6x(20﹣x），
由V′=0得x=20，
当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈(20，30)时，V′＜0；
∴当x=20时，包装盒容积V（cm3）最大，
此时，．
即此时包装盒的高与底面边长的比值是．
【点评】考查函数模型的选择与应用，考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力．属于基础题．
21．已知函数．
（I）当a=1时，求f（x）在x∈［1，+∞）最小值；
（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
(Ⅲ）求证:（n∈N*）．
【考点】数学归纳法；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；证明题．
【分析】（I）可先求f′（x），从而判断f（x)在x∈［1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈［1，+∞）最小值；
（Ⅱ）求h′（x），可得，若f（x)存在
单调递减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为:ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通过对a分
a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；
（Ⅲ）（法一）根据(Ⅰ）的结论，当x＞1时,⇒,再构造函数，令，有,从而，问题可解决；(法二）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒,成立；设当n=k时，，再去证明n=k+1
时,即可（需用好归纳假设)．
【解答】解:（I）,定义域为（0，+∞)．
∵，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
当x≥1时，f（x）≥f（1）=1；
（Ⅱ）∵，
∵若f(x）存在单调递减区间,
∴f′（x）＜0有正数解．即ax2+2(a﹣1)x+a＜0有x＞0的解．
①当a=0时,明显成立．
②当a＜0时，y=ax2+2(a﹣1）x+a为开口向下的抛物线，ax2+2（a﹣1)x+a＜0总有x＞0的解；
③当a＞0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a开口向上的抛物线，
即方程ax2+2(a﹣1)x+a=0有正根．
因为x1x2=1＞0，
所以方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有两正根．
，解得．
综合①②③知：．
（Ⅲ）
（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时,，即．
令，则有，
∴．
∵，
∴．
（法二)当n=1时，ln（n+1）=ln2．
∵3ln2=ln8＞1,∴,即n=1时命题成立．
设当n=k时,命题成立，即．
∴n=k+1时，．根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．
令，则有，
则有，即n=k+1时命题也成立．
因此，由数学归纳法可知不等式成立．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及数学归纳法，难点之一在于（Ⅱ）中通过求h′(x)后，转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解的问题，再用分类讨论思想来解决；难
点之二在于(Ⅲ）中法一通过构造函数，用放缩法证得结论，法二通过数学归纳法，其中也有构造函数的思想,属于难题．。